§8.8　直線與圓錐曲線的位置關系考試要求　1.了解直線與圓錐曲線位置關系的判斷方法.2.掌握直線被圓錐曲線所截的弦長公式.3.能利用方程及數(shù)形結合思想解決焦點弦、中點弦問題．知識梳理1．直線與圓錐曲線的位置判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ     0；直線與圓錐曲線相切?Δ     0；直線與圓錐曲線相離?Δ     0.特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．2．弦長公式已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，則|AB|＝＝|x1－x2|＝___________________或|AB|＝|y1－y2|＝                   .思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)過點的直線一定與橢圓＋y2＝1相交．(　 　)(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切．(　 　)(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點．(　 　)(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦．(　 　)教材改編題1．直線y＝kx＋2與橢圓＋＝1有且只有一個交點，則k的值是(　　)A.   B．－C．±   D．±2．已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是(　　)A．2  B．4  C．8  D．163．已知點A，B是雙曲線C：－＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3,2)，則直線AB的斜率為(　　)A.  B.  C.  D.題型一　直線與圓錐曲線的位置關系例1　(1)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓＋＝1的交點有(　　)A．1個   B．至多1個C．2個   D．0個(2)(多選)已知直線y＝x與雙曲線－＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率可能為(　　)A．1  B.  C.  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合)．跟蹤訓練1　(1)(2023·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為(　　)A．1  B．2  C．4  D．8(2)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過雙曲線C的右焦點F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線離心率的取值范圍為________．題型二　弦長問題例2　(2021·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F(，0)，且離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切．證明：M，N，F三點共線的充要條件是|MN|＝.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求．(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率．跟蹤訓練2　已知焦點在x軸上的橢圓C：＋＝1(a>b>0)，短軸長為2，橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.(1)求橢圓C的標準方程；(2)設橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝，求直線l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三　中點弦問題例3　(2023·衡水模擬)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.(1)求橢圓C的標準方程；(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為(－2,1)，求直線l的方程．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關系及中點坐標公式求解．②點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關的式子，可以大大減少計算量． (2)點差法常用結論已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上的兩點，AB的中點為C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.若E的方程為＋＝1(a>b>0)，則k＝－·；若E的方程為－＝1(a>0，b>0)，則k＝·；若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝.跟蹤訓練3　(1)(2022·石家莊模擬)已知傾斜角為的直線與雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)，相交于A，B兩點，M(1,3)是弦AB的中點，則雙曲線的漸近線方程為________．(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為(　　)A．(1，－1)   B．(2,0)C.   D．(1,1)

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