考試要求 1.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式.2.根據(jù)確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式)．
知識(shí)梳理
1．直線的方向向量
設(shè)A，B為直線上的兩點(diǎn)，則 就是這條直線的方向向量．
2．直線的傾斜角
(1)定義：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)， 與直線l 的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．
(2)范圍：直線的傾斜角α的取值范圍為 .
3．直線的斜率
(1)定義：把一條直線的傾斜角α的 叫做這條直線的斜率．斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即k＝ (α≠90°)．
(2)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式
如果直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
4．直線方程的五種形式
常用結(jié)論
1．直線的斜率k與傾斜角α之間的關(guān)系
牢記口訣：“斜率變化分兩段，90°是分界線；
遇到斜率要謹(jǐn)記，存在與否要討論”．
2．“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的坐標(biāo)值，它可正，可負(fù)，也可以是零，而“距離”是一個(gè)非負(fù)數(shù)．應(yīng)注意過(guò)原點(diǎn)的特殊情況是否滿(mǎn)足題意．
3．直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一個(gè)方向向量a＝(－B，A)．
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)坐標(biāo)平面內(nèi)的任何一條直線均有傾斜角與斜率．( )
(2)直線的斜率越大，傾斜角就越大．( )
(3)若直線的傾斜角為α，則斜率為tan α.( )
(4)直線y＝kx－2恒過(guò)定點(diǎn)(0，－2)．( )
教材改編題
1．已知點(diǎn)A(2,0)，B(3，eq \r(3))，則直線AB的傾斜角為( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
2．已知直線l過(guò)點(diǎn)(1,1)，且傾斜角為90°，則直線l的方程為( )
A．x＋y＝1 B．x－y＝1
C．y＝1 D．x＝1
3．過(guò)點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi)_______________________．
題型一 直線的傾斜角與斜率
例1 (1)若直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0)，且與以A(2,1)，B(0，eq \r(3))為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是( )
A．[－eq \r(3)，1] B．(－∞，－eq \r(3)]∪[1，＋∞)
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，1)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(\r(3),3)))∪[1，＋∞)
(2)直線2xcs α－y－3＝0eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3)))))的傾斜角的變化范圍是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,3)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(2π,3)))
聽(tīng)課記錄：______________________________________________________________
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思維升華 直線傾斜角的范圍是[0，π)，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此根據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))與eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))兩種情況討論．
跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2023·溫州模擬)直線x＋(m2＋1)y＋m2＝0(m∈R)的傾斜角的最小值是________．
(2)若正方形一條對(duì)角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為_(kāi)_______，________.
題型二 求直線的方程
例2 求符合下列條件的直線方程：
(1)直線過(guò)點(diǎn)A(－1，－3)，且斜率為－eq \f(1,4)；
(2)直線過(guò)點(diǎn)(2,1)，且橫截距為縱截距的兩倍；
(3)直線過(guò)點(diǎn)(5,10)，且原點(diǎn)到該直線的距離為5.
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思維升華 求直線方程的兩種方法
(1)直接法：由題意確定出直線方程的適當(dāng)形式．
(2)待定系數(shù)法：先由直線滿(mǎn)足的條件設(shè)出直線方程，方程中含有待定的系數(shù)，再由題設(shè)條件求出待定系數(shù)．
跟蹤訓(xùn)練2 (1)在△ABC中，已知點(diǎn)A(5，－2)，B(7，3)，且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸上，則MN所在直線的方程為( )
A．5x－2y－5＝0 B．2x－5y－5＝0
C．5x－2y＋5＝0 D．2x－5y＋5＝0
(2)已知直線l的一個(gè)方向向量為n＝(2,3)，若l過(guò)點(diǎn)A(－4,3)，則直線l的方程為( )
A．y－3＝－eq \f(3,2)(x＋4)
B．y＋3＝eq \f(3,2)(x－4)
C．y－3＝eq \f(3,2)(x＋4)
D．y＋3＝－eq \f(3,2)(x－4)
題型三 直線方程的綜合應(yīng)用
例3 已知直線l過(guò)點(diǎn)M(2,1)，且分別與x軸的正半軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，當(dāng)△AOB面積最小時(shí)，求直線l的方程．
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延伸探究
1．在本例條件下，當(dāng)|OA|＋|OB|取最小值時(shí)，求直線l的方程．
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2．本例中，當(dāng)|MA|·|MB|取得最小值時(shí)，求直線l的方程．
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思維升華 直線方程綜合問(wèn)題的兩大類(lèi)型及解法
(1)與函數(shù)相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用直線方程中x，y的關(guān)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x(或y)的函數(shù)，借助函數(shù)的性質(zhì)解決．
(2)與方程、不等式相結(jié)合的問(wèn)題：一般是利用方程、不等式的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
跟蹤訓(xùn)練3 (1)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋3－a＝0(a∈R)，直線l過(guò)定點(diǎn)________，若直線l不經(jīng)過(guò)第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)已知直線l過(guò)點(diǎn)M(1,1)，且分別與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)|MA|2＋|MB|2取得最小值時(shí)，則直線l的方程為_(kāi)_______．名稱(chēng)
方程
適用范圍
點(diǎn)斜式
不含直線x＝x0
斜截式
不含垂直于x軸的直線
兩點(diǎn)式
不含直線x＝x1和直線y＝y(tǒng)1
截距式
不含垂直于坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線
一般式
平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的直線都適用
α
0°
0°

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