適用于新教材提優(yōu)版2024屆高考數(shù)學一輪復習學案第八章直線和圓圓錐曲線8.8直線與圓錐曲線的位置關系新人教A版-學案下載-教習網(wǎng)

知識梳理
1．直線與圓錐曲線的位置判斷
將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到關于x(或y)的一元二次方程，則直線與圓錐曲線相交?Δ0；直線與圓錐曲線相切?Δ0；直線與圓錐曲線相離?Δ0.
特別地，①與雙曲線漸近線平行的直線與雙曲線相交，有且只有一個交點．
②與拋物線的對稱軸平行的直線與拋物線相交，有且只有一個交點．
2．弦長公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的斜率為k(k≠0)，
則|AB|＝eq \r(?x1－x2?2＋?y1－y2?2)
＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|
＝___________________
或|AB|＝eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|
＝.
思考辨析
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)過點eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,2)))的直線一定與橢圓eq \f(x2,2)＋y2＝1相交．( )
(2)直線與拋物線只有一個公共點，則該直線與拋物線相切．( )
(3)與雙曲線漸近線平行的直線一定與雙曲線有公共點．( )
(4)圓錐曲線的通徑是所有的焦點弦中最短的弦．( )
教材改編題
1．直線y＝kx＋2與橢圓eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1有且只有一個交點，則k的值是( )
A.eq \f(\r(6),3)B．－eq \f(\r(6),3)
C．±eq \f(\r(6),3)D．±eq \f(\r(3),3)
2．已知直線l：y＝x－1與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，則線段AB的長是( )
A．2 B．4 C．8 D．16
3．已知點A，B是雙曲線C：eq \f(x2,2)－eq \f(y2,3)＝1上的兩點，線段AB的中點是M(3,2)，則直線AB的斜率為( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(4,9) D.eq \f(9,4)
題型一直線與圓錐曲線的位置關系
例1 (1)若直線mx＋ny＝9和圓x2＋y2＝9沒有交點，則過點(m，n)的直線與橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,16)＝1的交點有( )
A．1個 B．至多1個
C．2個 D．0個
(2)(多選)已知直線y＝x與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)無公共點，則雙曲線的離心率可能為( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(6),2) D.eq \r(3)
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思維升華 (1)直線與雙曲線只有一個交點，包含直線與雙曲線相切或直線與雙曲線的漸近線平行．
(2)直線與拋物線只有一個交點包含直線與拋物線相切、直線與拋物線的對稱軸平行(或重合)．
跟蹤訓練1 (1)(2023·梅州模擬)拋物線C：y2＝4x的準線為l，l與x軸交于點A，過點A作拋物線的一條切線，切點為B，則△OAB的面積為( )
A．1 B．2 C．4 D．8
(2)已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，經(jīng)過雙曲線C的右焦點F，且傾斜角為60°的直線l與雙曲線右支有兩個交點，則雙曲線離心率的取值范圍為________．
題型二弦長問題
例2 (2021·新高考全國Ⅱ)已知橢圓C的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，右焦點為F(eq \r(2)，0)，且離心率為eq \f(\r(6),3).
(1)求橢圓C的方程；
(2)設M，N是橢圓C上的兩點，直線MN與曲線x2＋y2＝b2(x>0)相切．證明：M，N，F(xiàn)三點共線的充要條件是|MN|＝eq \r(3).
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思維升華 (1)弦長公式不僅適用于圓錐曲線，任何兩點的弦長都可以用弦長公式求．
(2)拋物線的焦點弦的弦長應選用更簡捷的弦長公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)設直線方程時應注意討論是否存在斜率．
跟蹤訓練2 已知焦點在x軸上的橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，短軸長為2eq \r(3)，橢圓左頂點A到左焦點F1的距離為1.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)設橢圓的右頂點為B，過F1的直線l與橢圓C交于點M，N，且S△BMN＝eq \f(18\r(2),7)，求直線l的方程．
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題型三中點弦問題
例3 (2023·衡水模擬)已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為eq \f(\r(2),2)，短軸頂點分別為M，N，四邊形MF1NF2的面積為32.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)直線l交橢圓C于A，B兩點，若AB的中點坐標為(－2,1)，求直線l的方程．
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思維升華 (1)解決圓錐曲線“中點弦”問題的思路
①根與系數(shù)的關系法：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程得到方程組，消元得到一元二次方程后，由根與系數(shù)的關系及中點坐標公式求解．
②點差法：設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，將這兩點坐標分別代入圓錐曲線的方程，并對所得兩式作差，得到一個與弦AB的中點和直線AB斜率有關的式子，可以大大減少計算量．
(2)點差法常用結論
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)為圓錐曲線E上的兩點，AB的中點為C(x0，y0)，直線AB的斜率為k.
若E的方程為eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
則k＝－eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，
則k＝eq \f(b2,a2)·eq \f(x0,y0)；
若E的方程為y2＝2px(p>0)，則k＝eq \f(p,y0).
跟蹤訓練3 (1)(2022·石家莊模擬)已知傾斜角為eq \f(π,4)的直線與雙曲線C：eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，相交于A，B兩點，M(1,3)是弦AB的中點，則雙曲線的漸近線方程為________．
(2)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點到準線的距離為1，若拋物線C上存在關于直線l：x－y－2＝0對稱的不同的兩點P和Q，則線段PQ的中點坐標為( )
A．(1，－1) B．(2,0)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,2)))D．(1,1)