§8.5　橢　圓考試要求　1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應(yīng)用．知識梳理1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1，F2的距離的和等于       (大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的          ，兩焦點間的距離叫做橢圓的           ．2．橢圓的簡單幾何性質(zhì)焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1(a>b>0)＋＝1(a>b>0)范圍  頂點  軸長短軸長為      ，長軸長為______焦點  焦距|F1F2|＝____對稱性對稱軸：________，對稱中心：______離心率 a，b，c的關(guān)系  常用結(jié)論橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.(1)當(dāng)P為短軸端點時，θ最大，最大．(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(6)焦點三角形的周長為2(a＋c)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．(　 　)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　 　)(3)＋＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(　 　)(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　 　)教材改編題1．橢圓＋＝1上點P到上焦點的距離為4，則點P到下焦點的距離為(　　)A．6  B．3  C．4  D．22．已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.3．若橢圓C：＋＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為(　　)A．3   B．2＋C．2   D.＋1題型一　橢圓的定義及其應(yīng)用例1　(1)(2022·麗江模擬)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內(nèi)切，那么動圓的圓心P的軌跡是(　　)A．橢圓   B．雙曲線C．拋物線   D．雙曲線的一支(2)設(shè)點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究　若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點三角形的周長和面積問題．跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為(　　)A.＋＝1(x≠0)  B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(x≠0)  D.＋＝1(y≠0)(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：＋＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為(　　)A．4  B．8  C．10  D．20題型二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點1　定義法例2　(2023·南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點2　待定系數(shù)法例3　已知橢圓的中心在原點，以坐標(biāo)軸為對稱軸，且經(jīng)過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________．聽課記錄：______________________________________________________________思維升華　根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點在哪一個坐標(biāo)軸上時，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．跟蹤訓(xùn)練2　(1)“1<k<5”是方程“＋＝1表示橢圓”的(　　)A．必要不充分條件   B．充分不必要條件C．充要條件  D．既不充分也不必要條件(2)(2022·南京師大附中模擬)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F1是線段AB的三等分點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1題型三　橢圓的幾何性質(zhì)命題點1　離心率例4　(1)(2022·太原模擬)設(shè)F1，F2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為(　　)A.＋1   B.－1C.   D.(2)(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解．(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝求解．(3)構(gòu)造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點2　與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問題例5　(1)(2023·長沙模擬)已知F1，F2為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動點，則∠F1MF2的最大值為(　　)A.  B.  C.  D.(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟蹤訓(xùn)練3　(1)(2023·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，射線AF1 交橢圓E于點B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，上頂點為A(0，b)，直線x＝上存在一點P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)A.   B.C.   D.

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