§4.8　正弦定理、余弦定理考試要求　1.掌握正弦定理、余弦定理及其變形.2.理解三角形的面積公式并能應(yīng)用.3.能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．知識梳理1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝        ＝        ＝2Ra2＝               ；b2＝               ；c2＝                變形(1)a＝2Rsin A，b＝         ，c＝         ；(2)sin A＝，sin B＝        ，sin C＝        ；(3)a∶b∶c＝____________cos A＝          ；cos B＝          ；cos C＝           2．三角形解的判斷 A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin Absin A< a<ba≥ba>b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解 3．三角形中常用的面積公式(1)S＝aha(ha表示邊a上的高)；(2)S＝           ＝           ＝           ；(3)S＝           (r為三角形的內(nèi)切圓半徑)．常用結(jié)論在△ABC中，常有以下結(jié)論：(1)∠A＋∠B＋∠C＝π.(2)任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．(3)a>b?A>B?sin A>sin B，cos A<cos B.(4)sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；tan(A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin .(5)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.(6)三角形中的面積S＝.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写?/span>“√”或“×”)(1)三角形中三邊之比等于相應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角之比．(　 　)(2)在△ABC中，若sin A>sin B，則A>B.(　 　)(3)在△ABC的六個(gè)元素中，已知任意三個(gè)元素可求其他元素．(　 　)(4)當(dāng)b2＋c2－a2>0時(shí)，△ABC為銳角三角形．(　 　)教材改編題1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，則∠BAC等于(　　)A.  B.  C.  D.2．記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為4，a＝2，B＝30°，則c等于(　　)A．8 B．4C． D．3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，則C＝     .題型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形例1　(12分)(2022·新高考全國Ⅰ)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝.(1)若C＝，求B；[切入點(diǎn)：二倍角公式化簡](2)求的最小值．[關(guān)鍵點(diǎn)：找到角B與角C，A的關(guān)系]
思維升華　解三角形時(shí)，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考慮用正弦定理，以上特征都不明顯時(shí)，則要考慮兩個(gè)定理都有可能用到．跟蹤訓(xùn)練1　(2022·全國乙卷)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)．(1)證明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝，求△ABC的周長．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型二　正弦定理、余弦定理的簡單應(yīng)用命題點(diǎn)1　三角形的形狀判斷例2　(1)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c－acos B＝(2a－b)cos A，則△ABC的形狀為(　　)A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形(2)在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，＝sin2，則△ABC的形狀為(　　)A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究　將本例(2)中的條件“＝sin2”改為“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，試判斷△ABC的形狀．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　判斷三角形形狀的兩種思路(1)化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．(2)化角：通過三角恒等變換，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．命題點(diǎn)2　三角形的面積例3　(2022·浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知4a＝c，cos C＝.(1)求sin A的值；(2)若b＝11，求△ABC的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　三角形面積公式的應(yīng)用原則(1)對于面積公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一個(gè)角就使用哪一個(gè)公式．(2)與面積有關(guān)的問題，一般要用到正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．命題點(diǎn)3　與平面幾何有關(guān)的問題例4　(2023·廈門模擬)如圖，已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，b(1＋cos C)＝csin∠ABC且△ABC的外接圓面積為.(1)求邊c的長；(2)若a＝5，延長CB至M，使得cos∠AMC＝，求BM.________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　在平面幾何圖形中研究或求與角有關(guān)的長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計(jì)等問題時(shí)，通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運(yùn)算的方法加以解決．在解決某些具體問題時(shí)，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函數(shù)思想．跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)(2023·合肥模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，下列四個(gè)命題中正確的是(　　)A．若acos A＝bcos B，則△ABC一定是等腰三角形B．若bcos C＋ccos B＝b，則△ABC是等腰三角形C．若＝＝，則△ABC一定是等邊三角形D．若B＝60°，b2＝ac，則△ABC是直角三角形(2)在①b2＋ac＝a2＋c2；②cos B＝bcos A；③sin B＋cos B＝這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線中，并解決該問題．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，        ，A＝，b＝，求△ABC的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ (3)(2022·重慶八中模擬)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，在①c(sin A－sin C)＝(a－b)(sin A＋sin B)；②2bcos A＋a＝2c；③acsin B＝a2＋c2－b2三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并解答．①若        ，求角B的大小；②求sin A＋sin C的取值范圍；________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________③如圖所示，當(dāng)sin A＋sin C取得最大值時(shí)，若在△ABC所在平面內(nèi)取一點(diǎn)D(D與B在AC兩側(cè))，使得線段DC＝2，DA＝1，求△BCD面積的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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