高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第4節(jié)　余弦定理和正弦定理（講義）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.借助向量的運(yùn)算,通過對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能運(yùn)用正弦定理、余弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問題.
2.能運(yùn)用余弦定理、正弦定理解決三角形形狀的判斷問題.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,若內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,R為△ABC外接圓半徑,則
2.三角形常用面積公式
(1)S=12a·ha(ha表示邊 a上的高).
(2)S=12absin C=12acsin B=12bcsin A.
(3)S=12r(a+b+c)(r為三角形內(nèi)切圓半徑).
1.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cs(A+B)=-cs C;
(3)sinA+B2=csC2;
(4)csA+B2=sinC2.
2.三角形中的射影定理
在△ABC中,a=bcs C+ccs B;b=acs C+ccs A;c=bcs A+acs B.
3.在△ABC中,兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊,A>B?a>b?sin A>sin B?cs A1=a,所以B=45°或135°.
3.(2021·全國(guó)甲卷)在△ABC中,已知B=120°,AC=19,AB=2,則BC等于( D )
A.1B.2
C.5D.3
解析:法一由余弦定理AC2=AB2+BC2-2AB·BCcs B,
得BC2+2BC-15=0,
解得BC=3或BC=-5(舍去).
法二由正弦定理ACsinB=ABsinC,得sin C=5719,從而cs C=41919(C是銳角),所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C=32×41919-12×5719=35738.又ACsinB=BCsinA,所以BC=3.
3.在△ABC中,已知b=40,c=20,C=60°,則此三角形的解的情況是( C )
A.有一解
B.有兩解
C.無解
D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定
解析:由正弦定理bsinB=csinC,
得sin B=bsinCc=40×3220=3>1.
所以角B不存在,即滿足條件的三角形不存在.
4.在△ABC中,a=2,b=3,C=60°,則c= ,△ABC的面積= .
解析:易知c=4+9-2×2×3×12=7,
△ABC的面積等于12×2×3×32=332.
答案:7 332
5.在△ABC中,acs A=bcs B,則這個(gè)三角形的形狀為 .
解析:由正弦定理,得sin Acs A=sin Bcs B,即sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B=π2,所以這個(gè)三角形為等腰三角形或直角三角形.
答案:等腰三角形或直角三角形
利用正弦定理、余弦定理解三角形
[例1] (2021·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asin C.
(1)證明:BD=b;
(2)若AD=2DC,求cs∠ABC.
(1)證明:因?yàn)锽Dsin∠ABC=asin C,
所以在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac,
又b2=ac,所以BD·b=b2,
又b>0,所以BD=b.
(2)解:如圖所示,過點(diǎn)D作DE∥BC交AB于E,
因?yàn)锳D=2DC,
所以AEEB=ADDC=2,DEBC=23,
所以BE=c3,DE=23a.
在△BDE中,cs∠BED=BE2+DE2-BD22BE·DE=
c29+4a29-b22×c3×2a3=c2+4a2-9b24ac=c2+4a2-9ac4ac,
在△ABC中,cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB·BC=
c2+a2-b22ac=c2+a2-ac2ac.
因?yàn)椤螧ED=π-∠ABC,
所以cs∠BED=-cs∠ABC,
所以c2+4a2-9ac4ac=-c2+a2-ac2ac,
化簡(jiǎn)得3c2+6a2-11ac=0,
方程兩邊同時(shí)除以a2,
得3(ca)2-11(ca)+6=0,
解得ca=23或ca=3.
當(dāng)ca=23,即c=23a時(shí),
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=49a2+a2-23a243a2=712;
當(dāng)ca=3,即c=3a時(shí),
cs∠ABC=c2+a2-ac2ac=9a2+a2-3a26a2=76>1(舍去).
綜上,cs∠ABC=712.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情況下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根據(jù)正弦定理、余弦定理列出關(guān)于未知元素的方程(組),通過解方程(組)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一個(gè)作用是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的互化,解題時(shí)可以把已知條件化為角的三角函數(shù)關(guān)系,也可以把已知條件化為三角形邊的關(guān)系.
[針對(duì)訓(xùn)練] 在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知bsin C+asin A=bsin B+csin C.
(1)求A的值;
(2)設(shè)D是線段BC的中點(diǎn),若c=2,AD=13,求a 的值.
解:(1)根據(jù)正弦定理,
由bsin C+asin A=bsin B+csin C,
可得bc+a2=b2+c2,
即bc=b2+c2-a2,
由余弦定理可得,cs A=b2+c2-a22bc=12,
因?yàn)锳為三角形內(nèi)角,
所以A=π3.
(2)因?yàn)镈是線段BC的中點(diǎn),c=2,AD=13,
∠ADB+∠ADC=π,
則cs∠ADB+cs∠ADC=0,
所以AD2+BD2-AB22AD·BD+AD2+DC2-AC22AD·DC=0,
即13+a24-22213·a2+13+a24-b2213·a2=0,
整理得a2=2b2-44,
又a2=b2+c2-2bccs A=b2+4-2b,
所以b2+4-2b=2b2-44,
解得b=6或b=-8(舍去),
因此a2=2b2-44=28,
所以a=27.
三角形形狀判斷
[例2] 在△ABC中,已知sinA+sinCsinB=b+ca且還滿足①a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B);②bcs A+acs B=csin C中的一個(gè)條件,試判斷△ABC的形狀,并寫出推理過程.
解:由sinA+sinCsinB=b+ca及正弦定理得a+cb=b+ca,即ac+a2=b2+bc,所以a2-b2+ac-bc=0,
所以(a-b)(a+b+c)=0,所以a=b.
即△ABC為等腰三角形.
若選①,則△ABC為等邊三角形.
由a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B)及正弦定理,得a(a-b)=(c-b)(c+b),
即a2+b2-c2=ab.
所以cs C=a2+b2-c22ab=12,
又C∈(0,π),所以C=π3.
所以△ABC為等邊三角形.
若選②,則△ABC為等腰直角三角形.
因?yàn)閎cs A+acs B=b·b2+c2-a22bc+a·a2+c2-b22ac=2c22c=c=csin C,
所以sin C=1,又C∈(0,π),所以C=π2,
所以△ABC為等腰直角三角形.
判斷三角形形狀的兩種途徑
[針對(duì)訓(xùn)練] 在△ABC中,c-a2c=sin2B2(a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊),則△ABC的形狀為( )
A.直角三角形
B.等邊三角形
C.等腰三角形或直角三角形
D.等腰直角三角形
解析:c-a2c=sin2B2=1-csB2,
即cs B=ac.
法一由余弦定理得a2+c2-b22ac=ac,
即a2+c2-b2=2a2,
所以a2+b2=c2.
所以△ABC為直角三角形,無法判斷兩直角邊是否相等.故選A.
法二由正弦定理得cs B=sinAsinC,
又sin A=sin(B+C)=sin Bcs C+cs Bsin C,
所以cs Bsin C=sin Bcs C+cs Bsin C,
即sin Bcs C=0,又sin B≠0,
所以cs C=0,又角C為三角形的內(nèi)角,
所以C=π2,所以△ABC為直角三角形,無法判斷兩直角邊是否相等.故選A.
和三角形面積有關(guān)的問題
[例3] (2022·浙江卷)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知4a=5c,cs C=35.
(1)求sin A的值;
(2)若b=11,求△ABC的面積.
解:(1)由正弦定理asinA=csinC,
得sin A=a·sinCc.
因?yàn)閏s C=35,所以sin C=45,
又ac=54,所以sin A=5sinC4=55.
(2)由(1)知sin A=55,
因?yàn)閍=5c4

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