§5.3　平面向量的數(shù)量積考試要求　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其幾何意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與投影向量的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問題．知識(shí)梳理1．向量的夾角已知兩個(gè)非零向量a，b，O是平面上的任意一點(diǎn)，作＝a，＝b，則          ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角．2．平面向量的數(shù)量積已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量           叫做向量a與b的數(shù)量積，記作          .3．平面向量數(shù)量積的幾何意義設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，＝a，＝b，過的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到，我們稱上述變換為向量a向向量b       ，叫做向量a在向量b上的      ．記為       .4．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝       .(2)(λa)·b＝          ＝           ．(3)(a＋b)·c＝           .5．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ. 幾何表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝|a||b|cos θa·b＝__________模|a|＝_______|a|＝_________夾角cos θ＝_____cos θ＝___________a⊥b的充要條件a·b＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤ 常用結(jié)論1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論(1)若a與b的夾角為銳角，則a·b>0；若a·b>0，則a與b的夾角為銳角或0.(2)若a與b的夾角為鈍角，則a·b<0；若a·b<0，則a與b的夾角為鈍角或π.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)向量的夾角的范圍是.(　 　)(2)若a，b共線，則a·b＝|a|·|b|.(　 　)(3)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果是向量．(　 　)(4)若a·b＝a·c，則b＝c.(　 　)教材改編題1．已知向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝，且a與b的夾角為30°，那么a·b等于(　　)A．1  B.  C．3  D．32．已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.3．若向量a＝(1,2)，b＝(－3,4)，則a·b的值等于________；a與b夾角的余弦值等于________．題型一　平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算例1　(1)(2023·廣州模擬)在平面四邊形ABCD中，已知＝，P為CD上一點(diǎn)，＝3，||＝4，||＝3，與的夾角為θ，且cos θ＝，則·等于(　　)A．8  B．－8  C．2  D．－2(2)(2023·六安模擬)在等邊△ABC中，AB＝6，＝3，＝2，則·＝________.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求數(shù)量積．(4)靈活運(yùn)用平面向量數(shù)量積的幾何意義．跟蹤訓(xùn)練1　(1)(2022·岳陽(yáng)模擬)已知正方形ABCD的對(duì)角線AC＝2，點(diǎn)P在另一條對(duì)角線BD上，則·的值為(　　)A．－2  B．2  C．1  D．4(2)如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若·＝2·，則·＝________.題型二　平面向量數(shù)量積的應(yīng)用命題點(diǎn)1　向量的模例2　已知向量a和b的夾角為30°，|a|＝1，|b|＝，則|a＋2b|等于(　　)A．1＋2   B.C.   D．3聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)2　向量的夾角例3　若e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，則a＝2e1＋e2與b＝－3e1＋2e2的夾角為(　　)A.   B.C.   D.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________命題點(diǎn)3　向量的垂直例4　(2022·全國(guó)甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，則m＝________.聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②幾何法：利用向量的幾何意義．(2)求平面向量的夾角的方法①定義法：cos θ＝；②坐標(biāo)法．(3)兩個(gè)向量垂直的充要條件a⊥b?a·b＝0?|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)已知e1，e2是單位向量，且e1·e2＝，若向量a滿足e1·a＝2，則下列選項(xiàng)正確的是(　　)A．|e1－e2|＝1 B．e1在e2上的投影向量的模為C．e1與e1－e2的夾角為 D．a在e1上的投影向量為2e1(2)(2022·新高考全國(guó)Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t等于(　　)A．－6  B．－5  C．5  D．6題型三　平面向量的實(shí)際應(yīng)用例5　在日常生活中，我們常常會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情景，若行李包所受的重力為G，兩個(gè)拉力分別為F1，F2，且|F1|＝|F2|，F1與F2的夾角為θ，當(dāng)兩人拎起行李包時(shí)，下列結(jié)論正確的是(　　)A．|G|＝|F1|＋|F2|B．當(dāng)θ＝時(shí)，|F1|＝|G|C．當(dāng)θ角越大時(shí)，用力越省D．當(dāng)|F1|＝|G|時(shí)，θ＝聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華　用向量方法解決實(shí)際問題的步驟跟蹤訓(xùn)練3　(2022·長(zhǎng)春模擬)長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示，已知游船在靜水中的航行速度v1的大小|v1|＝10 km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝4 km/h，設(shè)v1和v2所成的角為θ(0<θ<π)，若游船要從A航行到正北方向上位于北岸的碼頭B處，則cos θ等于(　　)A．－  B．－  C．－  D．－

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