8.2　空間點、線、面的位置關系考點一　點、線、面的位置關系1.(2015安徽理,5,5分)已知m,n是兩條不同直線,α,β是兩個不同平面,則下列命題正確的是(　　)A.若α,β垂直于同一平面,則α與β平行B.若m,n平行于同一平面,則m與n平行C.若α,β,則在α內(nèi)與β平行的直線D.若m,n,則m與n垂直于同一平面答案　D　若α,β垂直于同一個平面γ,則α,β可以都過γ的同一條垂線,即α,β可以相交,故A錯;若m,n平行于同一個平面,則m與n可能平行,也可能相交,還可能異面,故B錯;若α,β不平行,則α,β相交,設α∩β=l,在α內(nèi)存在直線a,使a∥l,則a∥β,故C錯;從原命題的逆否命題進行判斷,若m與n垂直于同一個平面,由線面垂直的性質(zhì)定理知m∥n,故D正確.2.(2015浙江文,4,5分)設α,β是兩個不同的平面,l,m是兩條不同的直線,且l?α,m?β.(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.若l⊥β,則α⊥β　　　　　B.若α⊥β,則l⊥mC.若l∥β,則α∥β　　　　　D.若α∥β,則l∥m答案　A　對于選項A,由面面垂直的判定定理可知選項A正確;對于選項B,若α⊥β,l?α,m?β,則l與m可能平行,可能相交,也可能異面,所以選項B錯誤;對于選項C,當l平行于α與β的交線時,l∥β,但此時α與β相交,所以選項C錯誤;對于選項D,若α∥β,則l與m可能平行,也可能異面,所以選項D錯誤.故選A.3.(2015廣東,6,5分)若直線l1和l2是異面直線,l1在平面α內(nèi),l2在平面β內(nèi),l是平面α與平面β的交線,則下列命題正確的是(　　)A.l與l1,l2都不相交B.l與l1,l2都相交C.l至多與l1,l2中的一條相交D.l至少與l1,l2中的一條相交答案　D　解法一:如圖1,l1與l2是異面直線,l1與l平行,l2與l相交,故A,B不正確;如圖2,l1與l2是異面直線,l1,l2都與l相交,故C不正確,選D.解法二:因為l分別與l1,l2共面,故l與l1,l2要么都不相交,要么至少與l1,l2中的一條相交.若l與l1,l2都不相交,則l∥l1,l∥l2,從而l1∥l2,與l1,l2是異面直線矛盾,故l至少與l1,l2中的一條相交,選D.4.(2014遼寧,4,5分)已知m,n表示兩條不同直線,α表示平面.下列說法正確的是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　A.若m∥α,n∥α,則m∥nB.若m⊥α,n?α,則m⊥nC.若m⊥α,m⊥n,則n∥αD.若m∥α,m⊥n,則n⊥α答案　B　若m∥α,n∥α,則m與n可能平行、相交或異面,故A錯誤;B正確;若m⊥α,m⊥n,則n∥α或n?α,故C錯誤;若m∥α,m⊥n,則n與α可能平行、相交或n?α,故D錯誤.因此選B.5.(2014廣東理,7,5分)若空間中四條兩兩不同的直線l1,l2,l3,l4,滿足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,則下列結論一定正確的是(　　)A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1與l4既不垂直也不平行D.l1與l4的位置關系不確定答案　D　由l1⊥l2,l2⊥l3可知l1與l3的位置不確定,若l1∥l3,則結合l3⊥l4,得l1⊥l4,所以排除選項B、C,若l1⊥l3,則結合l3⊥l4,知l1與l4可能不垂直,所以排除選項A.故選D.評析　本題考查了空間直線之間的位置關系,考查學生的空間想象能力、思維的嚴密性.6.(2014浙江文,6,5分)設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.(　　)A.若m⊥n,n∥α,則m⊥αB.若m∥β,β⊥α,則m⊥αC.若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥αD.若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α答案　C　對于選項A、B、D,均能舉出m∥α的反例;對于選項C,若m⊥β,n⊥β,則m∥n,又n⊥α,∴m⊥α,故選C.7.(2013課標Ⅱ理,4,5分)已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β.直線l滿足l⊥m,l⊥n,l?α,l?β,則(　　)A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α與β相交,且交線垂直于lD.α與β相交,且交線平行于l答案　D　若α∥β,則m∥n,這與m、n為異面直線矛盾,所以A不正確,α與β相交.將已知條件轉(zhuǎn)化到正方體中,易知α與β不一定垂直,但α與β的交線一定平行于l,從而排除B、C.故選D.導師點睛　對于此類題,放入正方體中判斷起來比較快捷.8.(2013廣東理,6,5分)設m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面.下列命題中正確的是(　　)A.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥nB.若α∥β,m?α,n?β,則m∥nC.若m⊥n,m?α,n?β,則α⊥βD.若m⊥α,m∥n,n∥β,則α⊥β答案　D　若α⊥β,m?α,n?β,則m與n可能平行,故A錯;若α∥β,m?α,n?β,則m與n可能平行,也可能異面,故B錯;若m⊥n,m?α,n?β,則α與β可能相交,也可能平行,故C錯;對于D項,由m⊥α,m∥n,得n⊥α,又知n∥β,故α⊥β,所以D項正確.9.(2011遼寧理,8,5分)如圖,四棱錐S-ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結論中不正確的是(　　)A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D.AB與SC所成的角等于DC與SA所成的角答案　D　∵四邊形ABCD是正方形,∴AC⊥BD.又∵SD⊥底面ABCD,∴SD⊥AC.其中SD∩BD=D,∴AC⊥面SDB,從而AC⊥SB.故A正確.易知B正確.設AC與DB交于O點,連接SO.則SA與平面SBD所成的角為∠ASO,SC與平面SBD所成的角為∠CSO,又OA=OC,SA=SC,∴∠ASO=∠CSO.故C正確.由排除法可知選D.評析　本題主要考查了線面平行與垂直的判斷及線面角、線線角的概念.屬中檔題.10.(2016浙江,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直線l.若直線m,n滿足m∥α,n⊥β,則(　　)A.m∥l　　　B.m∥n　　　C.n⊥l　　　D.m⊥n答案　C　∵α∩β=l,∴l?β,∵n⊥β,∴n⊥l.故選C.11.(2020新高考Ⅰ,16,5分)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2,∠BAD=60°.以D1為球心,為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為　　　　. 答案　解析　易知四邊形A1B1C1D1為菱形,∠B1A1D1=60°,連接B1D1,則△B1C1D1為正三角形,取B1C1的中點O,連接D1O,易得D1O⊥B1C1,∴D1O⊥平面BCC1B1,取BB1的中點E,CC1的中點F,連接D1E,D1F,OE,OF,EF,易知D1E=D1F=,易知以D1為球心,為半徑的球面與側面BCC1B1的交線為以O為圓心,OE為半徑的,∵B1E=B1O=1,∴OE=,同理OF=,易知EF=2,∴∠EOF=90°,∴的長=×(2π×)=.解題關鍵　利用題設條件證明D1O⊥平面BCC1B1,從而說明球面與側面BCC1B1的交線是以O為圓心,OE為半徑的是解題的關鍵. 12.(2016課標Ⅱ,14,5分)α,β是兩個平面,m,n是兩條直線,有下列四個命題:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β.②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β,m?α,那么m∥β.④如果m∥n,α∥β,那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有　　　　.(填寫所有正確命題的編號) 答案?、冖邰?/span>解析　若m⊥n,m⊥α,n∥β,則α與β可能平行或相交,故①錯誤;②顯然成立;若α∥β,m?α,則m與β無公共點,因而m∥β,故③正確;由線面角的定義、等角定理及面面平行的性質(zhì)可知④正確.考點二　異面直線所成的角1.(2021全國乙理,5,5分)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點,則直線PB與AD1所成的角為 (　　)A.答案　D　解題指導:利用平移法,連接BC1,則BC1∥AD1,得∠C1BP(或其補角)就是異面直線AD1與PB所成的角.解析　如圖所示,連接BC1,C1P,易知四邊形ABC1D1是平行四邊形,∴BC1∥AD1,∴∠C1BP(或其補角)就是異面直線AD1與BP所成的角,設正方體的棱長為a,則BC1=a,C1P=a,連接AC、BD,設AC交BD于點O,連接OP,則OP⊥平面ABCD,∵OB?平面ABCD,∴OP⊥OB,∴PB=a.在△C1BP中,cos∠PBC1=,∴∠PBC1=,即直線PB與AD1所成的角為.故選D.方法總結:用幾何法求異面直線所成角的具體步驟:2.(2016課標Ⅰ,理11,文11,5分)平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A　如圖,延長B1A1至A2,使A2A1=B1A1,延長D1A1至A3,使A3A1=D1A1,連接AA2,AA3,A2A3,A1B,A1D.易證AA2∥A1B∥D1C,AA3∥A1D∥B1C.∴平面AA2A3∥平面CB1D1,即平面AA2A3為平面α.于是m∥A2A3,直線AA2即為直線n.顯然有AA2=AA3=A2A3,于是m,n所成的角為60°,其正弦值為.選A.3.(2014大綱全國理,11,5分)已知二面角α-l-β為60°,AB?α,AB⊥l,A為垂足,CD?β,C∈l,∠ACD=135°,則異面直線AB與CD所成角的余弦值為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　B　在平面α內(nèi)過點C作CE∥AB,則∠ECD為異面直線AB與CD所成的角(或其補角),不妨取CE=1,過點E作EO⊥β于點O.在平面β內(nèi)過點O作OH⊥CD于點H,連接EH,則EH⊥CD.因為AB∥CE,AB⊥l,所以CE⊥l,又因為EO⊥β,所以CO⊥l.所以∠ECO為二面角α-l-β的平面角,即∠ECO=60°.因為∠ACD=135°,CD⊥l,所以∠OCH=45°.在Rt△ECO中,CO=CEcos∠ECO=1×cos 60°=.在Rt△COH中,CH=COcos∠OCH=cos 45°=.在Rt△ECH中,cos∠ECH===.所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為.選B.4.(2014大綱全國文,4,5分)已知正四面體ABCD中,E是AB的中點,則異面直線CE與BD所成角的余弦值為(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　B　如圖,取AD的中點F,連接EF、CF.因為E、F分別是AB、AD的中點,所以EF?BD,故∠CEF或其補角是異面直線CE、BD所成的角.設正四面體ABCD的棱長為a,易知CE=CF=a,EF=a.在△CEF中,由余弦定理可得cos∠CEF==.故選B.5.(2015浙江,13,5分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,點M,N分別為AD,BC的中點,則異面直線AN,CM所成的角的余弦值是　　　　. 答案　解析　連接DN,取DN的中點H,連接HM,由N、M、H均為中點,知|cos∠HMC|即為所求.因為AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,又M,N為AD,BC的中點,所以CM⊥AD,AN⊥BC,所以CM==2,AN==2,MH=AN=,HC==,則cos∠HMC==.故異面直線AN,CM所成角的余弦值為.6.(2011北京文,17,14分)如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.(1)求證:DE∥平面BCP;(2)求證:四邊形DEFG為矩形;(3)是否存在點Q,到四面體PABC六條棱的中點的距離相等?說明理由.解析　(1)證明:因為D,E分別為AP,AC的中點,所以DE∥PC.又因為DE?平面BCP,PC?平面BCP,所以DE∥平面BCP.(2)證明:因為D,E,F,G分別為AP,AC,BC,PB的中點,所以DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF.所以四邊形DEFG為平行四邊形.又因為PC⊥AB,所以DE⊥DG.所以四邊形DEFG為矩形.(3)存在點Q滿足條件.理由如下:連接DF,EG,設Q為EG的中點.由(2)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.分別取PC,AB的中點M,N,連接ME,EN,NG,MG,MN.與(2)同理,可證四邊形MENG為矩形,其對角線交點為EG的中點Q,且QM=QN=EG,所以Q為滿足條件的點. 

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