1.等差、等比數(shù)列基本量和性質的考查是高考熱點，經常以小題形式出現(xiàn).2.等差、等比數(shù)列求和及綜合應用是高考考查的重點.
等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算
等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質
等差數(shù)列、等比數(shù)列的判斷與證明
等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本公式(n∈N*)(1)等差數(shù)列的通項公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)等比數(shù)列的通項公式：an＝a1qn－1，an＝am·qn－m.(3)等差數(shù)列的求和公式：
(4)等比數(shù)列的求和公式：
　　(1)(2023·全國甲卷)設等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，則S4等于
方法一　若該數(shù)列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.
化簡得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此數(shù)列各項均為正數(shù)，
方法二　由題知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由題知q>0，所以q＝2.所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.
(2)(2023·安康模擬)中國古代著作《張丘建算經》有這樣一個問題：“今有馬行轉遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天行走的里程數(shù)約為
設該馬第n(n∈N*)天行走的里程數(shù)為an，
等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的求解策略(1)抓住基本量，首項a1、公差d或公比q.(2)熟悉一些結構特征，如前n項和為Sn＝an2＋bn(a，b是常數(shù))的形式的數(shù)列為等差數(shù)列，通項公式為an＝p·qn－1(p，q≠0)的形式的數(shù)列為等比數(shù)列.(3)由于等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式中變量n在指數(shù)位置，所以常用兩式相除(即比值的方式)進行相關計算.
　　　(1)(2023·河南聯(lián)考)《周髀算經》中有這樣一個問題：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，自冬至日起，其日影長依次成等差數(shù)列，前三個節(jié)氣日影長之和為28.5尺，最后三個節(jié)氣日影長之和為1.5尺，則春分時節(jié)的日影長為A.4.5尺 B.3.5尺C.2.5尺 D.1.5尺
冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣日影長構成等差數(shù)列{an}，設公差為d，
所以an＝a1＋(n－1)d＝11.5－n，所以a7＝11.5－7＝4.5，即春分時節(jié)的日影長為4.5尺.
(2)(2023·石家莊質檢)已知數(shù)列{an}為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1＝4，S3＝84，則lg2a1a2a3…a8的值為A.70 D.76
設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q>0，S3＝a1(1＋q＋q2)＝4(1＋q＋q2)＝84，整理可得q2＋q－20＝0，解得q＝4(負值舍去)，所以an＝a1qn－1＝4n，所以lg2a1a2a3…a8＝lg2(41×42×43×…×48)
1.通項性質：若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，則對于等差數(shù)列，有am＋an＝ap＋aq＝2ak；對于等比數(shù)列，有aman＝apaq＝2.前n項和的性質：(1)對于等差數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等差數(shù)列；對于等比數(shù)列有Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…成等比數(shù)列(q＝－1且m為偶數(shù)時除外).(2)對于等差數(shù)列有S2n－1＝(2n－1)an.
　　(1)(多選)(2023·濟寧質檢)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1>0，a4＋a11>0，a7a8S9C.當n＝7時，Sn最大D.當Sn>0時，n的最大值為14
∵在等差數(shù)列{an}中，a1>0，a4＋a11＝a7＋a8>0，a7a80，a80，a80時，n的最大值為14，D正確.
(2)(2023·全國乙卷)已知{an}為等比數(shù)列，a2a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，則a7＝______.
方法一　{an}為等比數(shù)列，∴a4a5＝a3a6，∴a2＝1，又a2a9a10＝a7a7a7，∴1×(－8)＝(a7)3，∴a7＝－2.方法二　設{an}的公比為q(q≠0)，則a2a4a5＝a3a6＝a2q·a5q，顯然an≠0，則a4＝q2，即a1q3＝q2，
則a1q＝1，因為a9a10＝－8，則a1q8·a1q9＝－8，則q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，則q5＝－2，則a7＝a1q·q5＝q5＝－2.
等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質問題的求解策略(1)抓關系，抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手，選擇恰當?shù)男再|進行求解.(2)用性質，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，具有函數(shù)的一些性質，如單調性、周期性等，可利用函數(shù)的性質解題.
(2)(2023·滄州質檢)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3＝2，S6＝6，則S24＝______.
因為數(shù)列{an}為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質知，S3，S6－S3，S9－S6，…，S24－S21，…構成首項為S3＝2，
證明數(shù)列為等差(比)數(shù)列一般使用定義法.
　(2023·濰坊模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝3，b1＝2，an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn.(1)證明：{an＋bn}和{an－bn}都是等比數(shù)列；
因為an＋1＝an＋2bn，bn＋1＝2an＋bn，所以an＋1＋bn＋1＝3(an＋bn)，an＋1－bn＋1＝－(an－bn)，又由a1＝3，b1＝2得a1－b1＝1，a1＋b1＝5，所以數(shù)列{an＋bn}是首項為5，公比為3的等比數(shù)列，數(shù)列{an－bn}是首項為1，公比為－1的等比數(shù)列.
(2)求{anbn}的前n項和Sn.
由(1)得an＋bn＝5×3n－1，an－bn＝(－1)n－1，
(1) ＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，也就是判斷一個數(shù)列是等比數(shù)列時，要注意各項不為0.(2){an}為等比數(shù)列，可推出a1，a2，a3成等比數(shù)列，但a1，a2，a3成等比數(shù)列并不能說明{an}為等比數(shù)列.(3)證明{an}不是等比數(shù)列可用特值法.
　(2023·日照模擬)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝λ>0，anan＋1＝27－2n.(1)當λ＝　 時，求數(shù)列{a2n}中的第10項；
由已知anan＋1＝27－2n，所以當n≥2時，anan－1＝29－2n，
(2)是否存在正數(shù)λ，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列？若存在，求出λ值并證明；若不存在，請說明理由.
存在.假設存在正數(shù)λ，使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
即λ2＝64，解得λ＝8.下面證明當λ＝8時數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
所以當n為奇數(shù)時，an＝24－n；當n為偶數(shù)時，an＝24－n，所以對一切正整數(shù)n，都有an＝24－n，
所以存在正數(shù)λ＝8使得數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
一、單項選擇題1.若首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前6項和為126，且a5＝2a3＋8a1，則a4的值為A.32 　　　B.16 　　　 C.8 　　　D.4
設首項為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，
∴a4＝a1q3＝16.
2.(2023·全國甲卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若a2＋a6＝10，a4a8＝45，則S5等于A.25 D.15
方法一　設等差數(shù)列{an}的公差為d，首項為a1，依題意可得，a2＋a6＝a1＋d＋a1＋5d＝10，即a1＋3d＝5，①又a4a8＝(a1＋3d)(a1＋7d)＝45，②①②聯(lián)立，解得d＝1，a1＝2，
方法二　依題意可得，a2＋a6＝2a4＝10，a4a8＝45，所以a4＝5，a8＝9，
于是a3＝a4－d＝5－1＝4，所以S5＝5a3＝20.
∴a9＋a10＋a11＋a12＝12.
4.(2023·安慶模擬)林業(yè)部門規(guī)定：樹齡500年以上的古樹為一級，樹齡300～500年之間的古樹為二級，樹齡100～299年之間的古樹為三級，樹齡低于100年的不稱為古樹.林業(yè)工作者為研究樹木年齡，多用年輪推測法，先用樹木測量生長錐在樹干上打孔，抽取一段樹干計算年輪個數(shù)，由經驗知樹干截面近似圓形，年輪寬度依次構成等差數(shù)列.現(xiàn)為了評估某棵大樹的級別，特測量數(shù)據(jù)如下：樹干周長為3.14 m，靠近樹芯的第5個年輪寬度為0.4 cm，靠近樹皮的第5個年輪寬度為0.2 cm，則估計該大樹屬于(π取3.14)A.一級 B.二級C.三級 D.不是古樹
設樹干的截面圓的半徑為r，樹干周長2πr＝3.14，r＝0.5 m＝50 cm，從內向外數(shù)，a5＝0.4，an－4＝0.2，
∴估計該大樹屬于三級.
5.(2023·新高考全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：　 為等差數(shù)列，則A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
方法一　甲：{an}為等差數(shù)列，設其首項為a1，公差為d，
則Sn＝nan＋1－t·n(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－t·n(n－1)，n≥2，兩式相減得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，對n＝1也成立，因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.
方法二　甲：{an}為等差數(shù)列，設數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，
即Sn＝nS1＋n(n－1)D，當n≥2時，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)D，上邊兩式相減得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)D，所以an＝a1＋2(n－1)D，當n＝1時，上式成立，
又an＋1－an＝a1＋2nD－[a1＋2(n－1)D]＝2D為常數(shù)，因此{an}為等差數(shù)列，則甲是乙的必要條件，所以甲是乙的充要條件.
6.(2023·新高考全國Ⅱ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，若S4＝－5，S6＝21S2，則S8等于A.120 B.85C.－85 D.－120
方法一　設等比數(shù)列{an}的公比為q，首項為a1，若q＝1，則S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，不符合題意，所以q≠1.由S4＝－5，S6＝21S2，
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
方法二　設等比數(shù)列{an}的公比為q，因為S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否則S4＝0，從而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比數(shù)列，所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，
當S2＝－1時，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即為－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋21＝－64，即S8＝－85；
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，與S4＝－5矛盾，舍去.綜上，S8＝－85.
二、多項選擇題7.(2023·揚州模擬)設等比數(shù)列{an}的公比為q，其前n項和為Sn，前n項積為Tn，并且滿足條件a1>1，a6a7>1， 　　1B.0

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