2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)9_專題三35函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用（專題試卷+講解PPT）-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

3.5函數(shù)與方程及函數(shù)的綜合應(yīng)用考點(diǎn)一　函數(shù)的零點(diǎn)1.(2015天津文,8,5分)已知函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=3-f(2-x),則函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為(　　)A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5答案　A　由已知條件可得g(x)=3-f(2-x)=函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)即為函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù),在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖所示.由圖可知函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有2個交點(diǎn),所以函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2,選A.2.(2014北京文,6,5分)已知函數(shù)f(x)=-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(　　)A.(0,1)　　　　　B.(1,2)C.(2,4)　　　　　D.(4,+∞)答案　C　∵f(1)=6-log21=6>0, f(2)=3-log22=2>0,f(4)=-log24=-2<0,∴包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),故選C.3.(2011課標(biāo),10,5分)在下列區(qū)間中,函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(　　)A.　　　　　B.C.　　　　　D.答案　C　顯然f(x)為定義域R上的連續(xù)函數(shù).如圖作出y=ex與y=3-4x的圖象,由圖象知函數(shù)f(x)=ex+4x-3的零點(diǎn)一定落在區(qū)間內(nèi),又f=-2<0, f=-1>0.故選C.評析　本題考查函數(shù)零點(diǎn)的概念及求解方法,考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力,屬中等難度試題.4.(2016山東文,15,5分)已知函數(shù)f(x)=其中m>0.若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,則m的取值范圍是　　　　. 答案　(3,+∞)解析　f(x)的圖象如圖所示,若存在實數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個不同的根,只需4m-m2<m,解之得m>3或m<0,又m>0,所以m>3.方法總結(jié)　分段函數(shù)問題、函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)問題或方程根的個數(shù)問題通常采用數(shù)形結(jié)合的思想方法來解決.評析　本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.5.(2016天津文,14,5分)已知函數(shù)f(x)=(a>0,且a≠1)在R上單調(diào)遞減,且關(guān)于x的方程|f(x)|=2-恰有兩個不相等的實數(shù)解,則a的取值范圍是　　　　. 答案　解析　∵函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減,∴解得≤a≤.在同一直角坐標(biāo)系下作出函數(shù)y=|f(x)|與y=2-的圖象,如圖所示.方程|f(x)|=2-恰有兩個不相等的實數(shù)解等價于y=|f(x)|的圖象與y=2-的圖象恰有兩個交點(diǎn),則需滿足3a<2,得a<,綜上可知,≤a<.易錯警示　(1)f(x)在R上單調(diào)遞減,需滿足缺少條件是失分的一個原因;(2)由方程解的個數(shù)求參數(shù)范圍往往利用數(shù)形結(jié)合思想將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的問題是解決這類問題常用的方法.評析　　本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)與方程,利用數(shù)形結(jié)合思想,將方程解的個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)個數(shù)的問題是求解這類問題的常用方法.6.(2015湖南理,15,5分)已知函數(shù)f(x)=若存在實數(shù)b,使函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點(diǎn),則a的取值范圍是　　　　. 答案　(-∞,0)∪(1,+∞)解析　當(dāng)a<0時,若x∈(a,+∞),則f(x)=x2,當(dāng)b∈(0,a2)時,函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點(diǎn),分別是x1=-,x2=.當(dāng)0≤a≤1時,f(x)的圖象如圖所示,易知函數(shù)y=f(x)-b最多有一個零點(diǎn).當(dāng)a>1時, f(x)的圖象如圖所示,當(dāng)b∈(a2,a3]時,函數(shù)g(x)=f(x)-b有兩個零點(diǎn),分別是x1=,x2=.綜上,a∈(-∞,0)∪(1,+∞).7.(2015北京理,14,5分)設(shè)函數(shù)f(x)=①若a=1,則f(x)的最小值為　　　　; ②若f(x)恰有2個零點(diǎn),則實數(shù)a的取值范圍是　　　　. 答案?、?/span>-1?、?/span>∪[2,+∞)解析?、?/span>當(dāng)a=1時, f(x)=其大致圖象如圖所示:由圖可知f(x)的最小值為-1.②當(dāng)a≤0時,顯然函數(shù)f(x)無零點(diǎn);當(dāng)0<a<1時,易知f(x)在(-∞,1)上有一個零點(diǎn),要使f(x)恰有2個零點(diǎn),則當(dāng)x≥1時, f(x)有且只有一個零點(diǎn),結(jié)合圖象可知,2a≥1,即a≥,則≤a<1;當(dāng)a≥1時,2a>1,由二次函數(shù)的性質(zhì)可知,當(dāng)x≥1時, f(x)有2個零點(diǎn),則要使f(x)恰有2個零點(diǎn),則需要f(x)在(-∞,1)上無零點(diǎn),則2-a≤0,即a≥2.綜上可知,滿足條件的a的取值范圍是∪[2,+∞).8.(2015湖北文,13,5分)函數(shù)f(x)=2sin xsin-x2的零點(diǎn)個數(shù)為　　　　. 答案　2解析　f(x)=2sin xcos x-x2=sin 2x-x2,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=sin 2x與y2=x2圖象的交點(diǎn)個數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫出y1=sin 2x與y2=x2的圖象如圖所示:由圖可知兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn),則f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為2.9.(2021北京,15,5分)已知f(x)=|lg x|-kx-2,給出下列四個結(jié)論:①若k=0,則f(x)有兩個零點(diǎn);②?k<0,使得f(x)有一個零點(diǎn);③?k<0,使得f(x)有三個零點(diǎn);④?k>0,使得f(x)有三個零點(diǎn).以上正確結(jié)論的序號是　　　　. 答案　①②④解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0,得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,所以f(x)的零點(diǎn)個數(shù)即函數(shù)g(x)與h(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù).當(dāng)k=0時,如圖a,g(x)與h(x)的圖象有兩個交點(diǎn),則f(x)有兩個零點(diǎn),故①正確;當(dāng)k>0時,如圖b,存在h(x)=k0x+2的圖象與函數(shù)g(x)=lg x(x>1)的圖象相切,此時h(x)與g(x)的圖象有兩個交點(diǎn),當(dāng)0<k<k0時,g(x)與h(x)的圖象有三個交點(diǎn),則f(x)有三個零點(diǎn),故④正確;當(dāng)k<0時,如圖c,g(x)與h(x)的圖象最多有兩個交點(diǎn),g(x)與h(x)相切時有一個交點(diǎn),如圖d,故②正確,③不正確.綜上,正確結(jié)論的序號為①②④.圖a圖b圖c圖d解題指導(dǎo):由f(x)=0得|lg x|=kx+2,令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2,則f(x)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化為g(x)與h(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù),再利用圖象解決問題. 考點(diǎn)二　函數(shù)模型及應(yīng)用1.(2020課標(biāo)Ⅱ文,3,5分)如圖,將鋼琴上的12個鍵依次記為a1,a2,…,a12,設(shè)1≤i<j<k≤12.若k-j=3且j-i=4,則稱ai,aj,ak為原位大三和弦;若k-j=4且j-i=3,則稱ai,aj,ak為原位小三和弦.用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為(　　)A.5　　　B.8　　　C.10　　　D.15答案　C　根據(jù)已知條件可知原位大三和弦有a1,a5,a8;a2,a6,a9;a3,a7,a10;a4,a8,a11;a5,a9,a12,共5個.原位小三和弦有a1,a4,a8;a2,a5,a9;a3,a6,a10;a4,a7,a11;a5,a8,a12,共5個,所以用這12個鍵可以構(gòu)成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數(shù)之和為10,故選C.2.(2013課標(biāo)Ⅰ理,11,5分)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(　　)A.(-∞,0]　　　　　B.(-∞,1]C.[-2,1]　　　　　D.[-2,0]答案　D　由題意作出y=|f(x)|=的圖象:由題意結(jié)合圖象知,當(dāng)a>0時,y=ax與y=ln(x+1)在x>0時必有交點(diǎn),所以a≤0.當(dāng)x≥0時,|f(x)|≥ax顯然成立;當(dāng)x<0時,|f(x)|=x2-2x≥ax,則a≥x-2恒成立,又x-2<-2,∴a≥-2.綜上,-2≤a≤0,故選D.評析　　本題考查了函數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了數(shù)形結(jié)合的能力.借助基本初等函數(shù)的圖象縮小參數(shù)范圍是解題關(guān)鍵.3.(2012課標(biāo)理,12,5分)設(shè)點(diǎn)P在曲線y=ex上,點(diǎn)Q在曲線y=ln(2x)上,則|PQ|的最小值為(　　)A.1-ln 2　　　　　B.(1-ln 2)C.1+ln 2　　　　　D.(1+ln 2)答案　B　由y=ex得ex=2y,所以x=ln(2y),所以y=ex的反函數(shù)為y=ln(2x),所以y=ex與y=ln(2x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,所以兩條曲線上的點(diǎn)的距離的最小值是兩條曲線上切線斜率為1的切點(diǎn)之間的距離,令[ln(2x)]'==1,解得x1=1,令'=1,解得x2=ln 2,所以兩切點(diǎn)分別為(1,ln 2)和(ln 2,1),故d=(1-ln 2),故選B.評析　本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象的性質(zhì),考查了數(shù)形結(jié)合的思想.4.(2011課標(biāo)理,12,5分)函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于(　　)A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8答案　D　函數(shù)y==和y=2sin πx的圖象有公共的對稱中心(1,0),畫出二者圖象如圖所示,易知y=與y=2sin πx(-2≤x≤4)的圖象共有8個交點(diǎn),不妨設(shè)其橫坐標(biāo)為x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,且x1<x2<x3<x4<x5<x6<x7<x8,由對稱性得x1+x8=x2+x7=x3+x6=x4+x5=2,∴x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8,故選D.5.(2011課標(biāo)文,12,5分)已知函數(shù)y=f(x)的周期為2,當(dāng)x∈[-1,1]時f(x)=x2,那么函數(shù)y=f(x)的圖象與函數(shù)y=|lg x|的圖象的交點(diǎn)共有(　　)A.10個　　　B.9個　　　C.8個　　　D.1個答案　A　在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出f(x)和y=|lg x|的圖象,如圖.又lg10=1,由圖象知選A.評析　本題考查函數(shù)的圖象、周期等相關(guān)知識,考查學(xué)生作圖、用圖能力,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.6.(2022北京,7,4分,應(yīng)用性)在北京冬奧會上,國家速滑館“冰絲帶”使用高效環(huán)保的二氧化碳跨臨界直冷制冰技術(shù),為實現(xiàn)綠色冬奧作出了貢獻(xiàn).如圖描述了一定條件下二氧化碳所處的狀態(tài)與T和lg P的關(guān)系,其中T表示溫度,單位是K;P表示壓強(qiáng),單位是bar.下列結(jié)論中正確的是????????????? (　　)A.當(dāng)T=220,P=1 026時,二氧化碳處于液態(tài)B.當(dāng)T=270,P=128時,二氧化碳處于氣態(tài)C.當(dāng)T=300,P=9 987時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)D.當(dāng)T=360,P=729時,二氧化碳處于超臨界狀態(tài)答案　D　對于A,當(dāng)T=220,P=1 026時,lg P=lg 1 026=3+lg 1.026∈(3,4),由題圖可知,二氧化碳處于固態(tài),∴A錯誤.對于B,當(dāng)T=270,P=128時,lg P=lg 128=2+lg 1.28∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于液態(tài),∴B錯誤.對于C,當(dāng)T=300,P=9 987時,lg P=3+lg 9.987≈4,由題圖可知,二氧化碳處于固態(tài),∴C錯誤.對于D,當(dāng)T=360,P=729時,lg P=lg 729=2+lg 7.29∈(2,3),由題圖可知,二氧化碳處于超臨界狀態(tài),∴D正確.故選D.7.(2020新高考Ⅰ,6,5分)基本再生數(shù)R0與世代間隔T是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感染者傳染的平均人數(shù),世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫情初始階段,可以用指數(shù)模型:I(t)=ert描述累計感染病例數(shù)I(t)隨時間t(單位:天)的變化規(guī)律,指數(shù)增長率r與R0,T近似滿足R0=1+rT.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計出R0=3.28,T=6.據(jù)此,在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加1倍需要的時間約為(ln 2≈0.69)????????????? (　　)A.1.2天　　　　B.1.8天　　　　C.2.5天　　　　D.3.5天答案　B　因為R0=3.28,T=6且R0=1+rT,所以指數(shù)增長率r==0.38,設(shè)累計感染病例增加1倍需要的時間為t天,則I(t)=2I(0),即ert=2,即e0.38t=2,兩邊取自然對數(shù)得ln e0.38t=ln 2,即0.38t=ln 2,又ln 2≈0.69,所以t=≈1.8.故選B.8.(2020北京,15,5分)為滿足人民對美好生活的向往,環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改.設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時間t的關(guān)系為W=f(t),用- 的大小評價在[a,b]這段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱.已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如圖所示.給出下列四個結(jié)論:①在[t1,t2]這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);②在t2時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng);③在t3時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo);④甲企業(yè)在[0,t1],[t1,t2],[t2,t3]這三段時間中,在[0,t1]的污水治理能力最強(qiáng).其中所有正確結(jié)論的序號是　　　　. 答案　①②③命題意圖:本題以環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水處理,排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改這個情境為載體,貼近生活,要求考生能夠在短時間內(nèi)審清題意,理清解決問題的思路,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題,體現(xiàn)試題的教育價值.考查學(xué)生的抽象概括、直觀想象、分析和解決具有實際意義問題的能力,同時考查了數(shù)形結(jié)合思想.審題指導(dǎo):與函數(shù)和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的實際應(yīng)用問題,需要先把實際問題翻譯成數(shù)學(xué)問題,理解一段時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱的計算式,并把這個計算式與其幾何意義聯(lián)系起來,再逐步對四個結(jié)論去偽存真.解題思路:設(shè)y=-,由已知條件可得甲、乙兩個企業(yè)在[t1,t2]這段時間內(nèi)污水治理能力強(qiáng)弱的數(shù)值計算式為-(難點(diǎn):準(zhǔn)確理解表達(dá)式的幾何意義是解題的關(guān)鍵),由題圖易知y甲>y乙,即甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng),所以①對;由題意知在某一時刻企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱由這一時刻的切線的斜率的絕對值表示,所以②對;在t3時刻,由題圖可知甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水達(dá)標(biāo)排放量以下,所以③對;由計算式-可知,甲企業(yè)在[0,t1]這段時間內(nèi)污水治理能力最弱,所以④錯.9.(2011湖北文,15,5分)里氏震級M的計算公式為:M=lg A-lg A0,其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅,A0是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.假設(shè)在一次地震中,測震儀記錄的最大振幅是1 000,此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001,則此次地震的震級為　　　　級;9級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的　　　　倍. 答案　6;10 000解析　A=1 000=103,A0=0.001=10-3,M=lg 103-lg 10-3=3-(-3)=6.設(shè)9級地震,5級地震的最大振幅分別為A1,A2,則lg A1-9=lg A2-5,得lg A1-lg A2=4,即lg=4,∴=10 000.

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