專題五　三角函數(shù)與解三角形5.1　三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導公式考點　三角函數(shù)的概念、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導公式1.(2022全國甲理,8,5分)沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作,其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如圖,是以O為圓心,OA為半徑的圓弧,C是AB的中點,D在上,CD⊥AB.“會圓術(shù)”給出的弧長的近似值s的計算公式:s=AB+.當OA=2,∠AOB=60°時,s=????????????? (　　)A.答案　B　連接OC,如圖.∵C是AB的中點,OA=OB=2,∴OC⊥AB.又∵CD⊥AB,∴D,C,O三點共線.∵∠AOB=60°,∴AB=2,OC=,CD=2-,∴s=2+,故選B. 2.(2019北京文,8,5分)如圖,A,B是半徑為2的圓周上的定點,P為圓周上的動點,∠APB是銳角,大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為(　　)A.4β+4cos β　　　　　B.4β+4sin βC.2β+2cos β　　　　　D.2β+2sin β答案　B　本題主要考查扇形面積、三角形面積公式及應用;主要考查學生的推理論證能力和運算求解能力;考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學運算.由圓的性質(zhì)易知,當|PA|=|PB|時,陰影部分的面積最大,其面積為△PAB的面積與弓形的面積之和.作PD⊥AB于D點,由∠APB=β,知∠DOB=β(O為圓心).所以|OD|=2cos β,|PD|=2+2cos β,|AB|=4sin β.所以S△PAB=·|AB|·|PD|=4sin β(1+cos β).S弓形=S扇形OAB-S△OAB=·2β·22-·4sin β·2cos β=4β-4sin β·cos β.故陰影部分的面積為S△PAB+S弓形=4sin β+4sin βcos β+4β-4sin βcos β=4β+4sin β.故選B.思路分析　本題陰影部分由一個三角形與一個弓形構(gòu)成,當β確定時,弓形面積是確定的,故三角形面積最大時,陰影部分面積最大.3.(2014課標Ⅰ文,2,5分)若tan α>0,則(　　)A.sin α>0　　　　　B.cos α>0C.sin 2α>0　　　　　D.cos 2α>0答案　C　由tan α>0得α是第一或第三象限角,若α是第三象限角,則A,B錯;由sin 2α=2sin αcos α知sin 2α>0,C正確;α取時,cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-<0,D錯.故選C.評析　本題考查三角函數(shù)值的符號,判定時可運用基本知識、恒等變形及特殊值等多種方法,具有一定的靈活性.4.(2014大綱全國文,2,5分)已知角α的終邊經(jīng)過點(-4,3),則cos α=(　　)A.　　　B.　　　C.-　　　D.-答案　D　由三角函數(shù)的定義知cos α==-.故選D.5.(2015福建文,6,5分)若sin α=-,且α為第四象限角,則tan α的值等于(　　)A.　　　B.-　　　C.　　　D.-答案　D　∵sin α=-,α為第四象限角,∴cos α==,∴tan α==-.故選D.6.(2014大綱全國理,3,5分)設a=sin 33°,b=cos 55°,c=tan 35°,則(　　)A.a>b>c　　　B.b>c>a　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b答案　C　∵b=cos 55°=sin 35°>sin 33°=a,∴b>a.又∵c=tan 35°=>sin 35°=cos 55°=b,∴c>b.∴c>b>a.故選C.7.(2013浙江理,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=(　　)A.　　　B.　　　C.-　　　D.-答案　C　(sin α+2cos α)2=,展開得3cos2α+4sin αcos α=,再由二倍角公式得cos 2α+2sin 2α=0,故tan 2α==-=-,選C.評析　本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式和三角恒等變換,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查學生靈活應用公式的能力和運算求解能力.三角函數(shù)求值問題關(guān)鍵在于觀察角與角之間的關(guān)系和三角函數(shù)名之間的關(guān)系.8.(2013大綱全國文,2,5分)已知α是第二象限角,sin α=,則cos α=(　　)A.-　　　B.-　　　C.　　　D.答案　A　∵α是第二象限角,∴cos α<0.∴cos α=-=-.故選A.評析　本題考查三角函數(shù)值在各象限的符號,同角三角函數(shù)關(guān)系,屬容易題.9.(2013廣東文,4,5分)已知sin=,那么cos α=(　　)A.-　　　B.-　　　C.　　　D.答案　C　∵sin=sin=cos α,∴cos α=.故選C.10.(2017北京文,9,5分)在平面直角坐標系xOy中,角α與角β均以Ox為始邊,它們的終邊關(guān)于y軸對稱.若sin α=,則sin β=　　　　. 答案　解析　本題考查三角函數(shù)的誘導公式.由角α與角β的終邊關(guān)于y軸對稱,可得β=(2k+1)π-α,k∈Z,∵sin α=,∴sin β=sin[(2k+1)π-α]=sin α=.11.(2011江西文,14,5分)已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的正半軸.若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=　　　　. 答案　-8解析　P(4,y)是角θ終邊上一點,由三角函數(shù)的定義知sin θ=,又sin θ=-,∴=-,解得y=-8.評析　本題主要考查任意角三角函數(shù)的定義,考查運算求解能力,由題意得=-是本題求解的關(guān)鍵.12.(2016四川文,11,5分)sin 750°=　　　　. 答案　解析　sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=.解后反思　利用誘導公式把大角化為小角.評析　本題考查了三角函數(shù)的誘導公式.13.(2013課標Ⅱ理,15,5分)設θ為第二象限角,若tan=,則sin θ+cos θ=　　　　. 答案　-解析　tan θ=tan==-,∴sin θ=-cos θ,將其代入sin2θ+cos2θ=1得cos2θ=1,∴cos2θ=,又易知cos θ<0,∴cos θ=-,∴sin θ=,故sin θ+cos θ=-. 

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