3.3　指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)一　指數(shù)與對(duì)數(shù)的定義及運(yùn)算1.(2022浙江,7,4分)已知2a=5,log83=b,則4a-3b= (　　)A.25　　　　B.5　　　　C.答案　C　由題意知b=log83=lolog23,又2a=5,所以4a-3b=22(a-3b)=22a-6b=(2a)2·2-6b=25×,故選C.2.(2021全國(guó)甲理,4,5分)青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問(wèn)題,視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù),五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足L=5+lg V.已知某同學(xué)視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)為4.9,則其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為(≈1.259)????????????? (　　)A.1.5　　　　B.1.2　　　　C.0.8　　　　D.0.6答案　C　解題指導(dǎo):將L=4.9代入L=5+lg V,結(jié)合對(duì)數(shù)與指數(shù)互化,即可求出V的值.解析　將L=4.9代入L=5+lg V,得4.9=5+lg V,即lg V=-0.1=-,∴V=1≈0.8,∴其視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)約為0.8.故選C. 　3.(2016浙江,12,6分)已知a>b>1.若logab+logba=,ab=ba,則a=　　　　,b=　　　　. 答案　4;2解析　令logab=t,∵a>b>1,∴0<t<1,由logab+logba=得,t+=,解得t=或t=2(舍去),即logab=,∴b=,又ab=ba,∴=()a,即=,亦即=,解得a=4,∴b=2.評(píng)析　　本題考查對(duì)數(shù)式、指數(shù)式的運(yùn)算,注意logab=,先求出logab=是解題的突破口. 考點(diǎn)二　指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.(2015天津文,7,5分)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2|x-m|-1(m為實(shí)數(shù))為偶函數(shù).記a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),則a,b,c的大小關(guān)系為(　　)A.a<b<c　　　B.c<a<b　　　C.a<c<b　　　D.c<b<a答案　B　因?yàn)?/span>f(x)是偶函數(shù),所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,且f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù),由題意得a=f(log0.53)=f(-log23)=f(log23),因?yàn)?/span>log25>log23>0,所以f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故選B.2.(2013課標(biāo)Ⅱ文,12,5分)若存在正數(shù)x使2x(x-a)<1成立,則a的取值范圍是(　　)A.(-∞,+∞)　　　　　B.(-2,+∞)C.(0,+∞)　　　　　D.(-1,+∞)答案　D　由2x(x-a)<1得a>x-,令f(x)=x-,即a>f(x)有解,則a>f(x)min,又y=f(x)在(0,+∞)上遞增,所以f(x)>f(0)=-1,所以a>-1,選D.評(píng)析　本題考查了函數(shù)的值域與最值的求法,考查了分離參變量的方法,熟悉基本初等函數(shù)的單調(diào)性是解題關(guān)鍵.3.(2016課標(biāo)Ⅲ,6,5分)已知a=,b=,c=2,則(　　)A.b<a<c　　　　　B.a<b<cC.b<c<a　　　　　D.c<a<b答案　A　因?yàn)?/span>a==,c=2=,函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以<,即a<c,又因?yàn)楹瘮?shù)y=4x在R上單調(diào)遞增,所以<,即b<a,所以b<a<c,故選A.思路分析　利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得a=,c=,利用冪函數(shù)的性質(zhì)可得a<c.再利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較a,b得b<a,從而得結(jié)論. 　4.(2016課標(biāo)Ⅲ文,7,5分)已知a=,b=,c=2,則(　　)A.b<a<c　　　B.a<b<c　　　C.b<c<a　　　D.c<a<b答案　A　a==,c=2=,而函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以<<,即b<a<c,故選A.評(píng)析　本題主要考查冪函數(shù)的性質(zhì),屬中檔題. 5.(2019天津文,5,5分)已知a=log27,b=log38,c=0.30.2,則a,b,c的大小關(guān)系為(　　)A.c<b<a　　　　　B.a<b<cC.b<c<a　　　　　D.c<a<b答案　A　本題考查指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì);通過(guò)對(duì)對(duì)數(shù)式的估算或適當(dāng)“縮放”考查學(xué)生的直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng).顯然c=0.30.2∈(0,1).因?yàn)?/span>log33<log38<log39,所以1<b<2.因?yàn)?/span>log27>log24=2,所以a>2.故c<b<a.選A.6.(2016課標(biāo)Ⅰ文,8,5分)若a>b>0,0<c<1,則(　　)A.logac<logbc　　　　　B.logca<logcbC.ac<bc　　　　　D.ca>cb答案　B　∵0<c<1,∴當(dāng)a>b>1時(shí),logac>logbc,A項(xiàng)錯(cuò)誤;∵0<c<1,∴y=logcx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又a>b>0,∴logca<logcb,B項(xiàng)正確;∵0<c<1,∴函數(shù)y=xc在(0,+∞)上單調(diào)遞增,又∵a>b>0,∴ac>bc,C項(xiàng)錯(cuò)誤;∵0<c<1,∴y=cx在(0,+∞)上單調(diào)遞減,又∵a>b>0,∴ca<cb,D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選B.評(píng)析　本題主要考查了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì),熟練掌握冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2013課標(biāo)Ⅱ理,8,5分)設(shè)a=log36,b=log510,c=log714,則(　　)A.c>b>a　　　B.b>c>a　　　C.a>c>b　　　D.a>b>c答案　D　由對(duì)數(shù)運(yùn)算法則得a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由對(duì)數(shù)函數(shù)圖象得log32>log52>log72,所以a>b>c,故選D.8.(2013課標(biāo)Ⅱ文,8,5分)設(shè)a=log32,b=log52,c=log23,則(　　)A.a>c>b　　　B.b>c>a　　　C.c>b>a　　　D.c>a>b答案　D　∵<2<3,1<2<,3>2,∴log3<log32<log33,log51<log52<log5,log23>log22,∴<a<1,0<b<,c>1,∴c>a>b.故選D.9.(2012課標(biāo)文,11,5分)當(dāng)0<x≤時(shí),4x<logax,則a的取值范圍是(　　)A.　　　B.　　　C.(1,)　　　D.(,2)答案　B　易知0<a<1,則函數(shù)y=4x與y=logax的大致圖象如圖,則只需滿足loga>2,解得a>,∴<a<1,故選B.評(píng)析　本題考查了利用數(shù)形結(jié)合解指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式.10.(2016四川文,14,5分)若函數(shù)f(x)是定義在R上的周期為2的奇函數(shù),當(dāng)0<x<1時(shí), f(x)=4x,則f+f(2)=　　　. 答案　-2解析　∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0,又∵f(x)的周期為2,∴f(2)=0,又∵f=f=-f=-=-2,∴f+f(2)=-2.評(píng)析　本題考查了函數(shù)的奇偶性及周期性,屬中檔題.11.(2015山東理,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax+b(a>0,a≠1)的定義域和值域都是[-1,0],則a+b=　　　　. 答案　-解析?、?/span>當(dāng)a>1時(shí), f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則無(wú)解.②當(dāng)0<a<1時(shí), f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減,則解得∴a+b=-.評(píng)析　本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分類討論的思想.  

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