2.2　基本不等式及不等式的應(yīng)用考點一　基本不等式及其應(yīng)用1.(2015陜西,理9,5分)設(shè)f(x)=ln x,0<a<b,若p=f(),q=f,r=(f(a)+f(b)),則下列關(guān)系式中正確的是(　　)A.q=r<p　　　B.q=r>p　　　C.p=r<q　　　D.p=r>q答案　C　由題意得p=ln,q=ln,r=(ln a+ln b)=ln=p,∵0<a<b,∴>,∴ln>ln,∴p=r<q.2.(2015福建理,5,5分)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),則a+b的最小值等于(　　)A.2　　　B.3　　　C.4　　　D.5答案　C　因為直線+=1(a>0,b>0)過點(1,1),所以+=1.所以a+b=(a+b)·=2++≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取“=”,故選C.3.(2015湖南文,7,5分)若實數(shù)a,b滿足+=,則ab的最小值為(　　)A.　　　B.2　　　C.2　　　D.4答案　C　依題意知a>0,b>0,則+≥2=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即b=2a時,“=”成立.因為+=,所以≥,即ab≥2,所以ab的最小值為2,故選C.4.(2014重慶文,9,5分)若log4(3a+4b)=log2,則a+b的最小值是(　　)A.6+2　　　B.7+2　　　C.6+4　　　D.7+4答案　D　由log4(3a+4b)=log2,得3a+4b=ab,且a>0,b>0,∴a=,由a>0,得b>3.∴a+b=b+=b+=(b-3)++7≥2+7=4+7,即a+b的最小值為7+4.5.(2014福建,9,5分)要制作一個容積為4 m3,高為1 m的無蓋長方體容器.已知該容器的底面造價是每平方米20元,側(cè)面造價是每平方米10元,則該容器的最低總造價是(　　)A.80元　　　B.120元　　　C.160元　　　D.240元答案　C　設(shè)底面矩形的長和寬分別為a m、b m,則ab=4.容器的總造價為20ab+2(a+b)×10=[80+20(a+b)]元,80+20(a+b)≥80+40=160(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立).故選C.6.(多選)(2022新高考Ⅱ,12,5分)若x,y滿足x2+y2-xy=1,則 (　　)A.x+y≤1　　　　B.x+y≥-2C.x2+y2≤2　　　　D.x2+y2≥1答案　BC　因為x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=1,且xy≤,所以(x+y)2-3xy≥(x+y)2-(x+y)2=(x+y)2,故(x+y)2≤4,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立,即-2≤x+y≤2,故A錯誤,B正確.由xy≤得1=x2+y2-xy≥x2+y2-,即x2+y2≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立.故C正確,D錯誤,故選BC.7.(多選)(2020新高考Ⅰ,11,5分)已知a>0,b>0,且a+b=1,則 (　　)A.a2+b2≥　　　　C.log2a+log2b≥-2　　　　D.答案　ABD　∵a>0,b>0,a+b=1,∴0<a<1,0<b<1,b=1-a.ab≤.對于A選項,a2+b2=a2+(1-a)2=2a2-2a+1=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時,取等號,A正確;對于B選項,a-b=a-(1-a)=2a-1,∵0<a<1,∴-1<2a-1<1,∴<22a-1<2,∴2a-b>成立,B正確;對于C選項,∵0<ab≤,a>0,b>0,∴log2a+log2b=log2(ab)≤log2=-2,C不正確;對于D選項,∵()2=a+b+2≤1+a+b=2,∴成立,D正確. 8.(2018江蘇,13,5分)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分線交AC于點D,且BD=1,則4a+c的最小值為　　　　. 答案　9解析　本題考查基本不等式及其應(yīng)用.依題意畫出圖形,如圖所示.易知S△ABD+S△BCD=S△ABC,即csin 60°+asin 60°=acsin 120°,∴a+c=ac,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.一題多解1　作DE∥CB交AB于E,∵BD為∠ABC的平分線,∴==,∵DE∥CB,∴===,∴=,=.∴=+.∴=,∴1=++2··||·||×,∴1=,∴ac=a+c,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.一題多解2　以B為原點,BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則D(1,0).∵AB=c,BC=a,∴A,C.∵A,D,C三點共線,∴∥,∴+c=0,∴ac=a+c,∴+=1,∴4a+c=(4a+c)=5++≥9,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,c=3時取“=”.9.(2017山東,12,5分)若直線+=1(a>0,b>0)過點(1,2),則2a+b的最小值為　　　　. 答案　8解析　由題設(shè)可得+=1,∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8.故2a+b的最小值為8.10.(2015重慶文,14,5分)設(shè)a,b>0,a+b=5,則+的最大值為　　　　. 答案　3解析　解法一:令t=+,則t2=(+)2=a+1+b+3+2·≤9+a+1+b+3=18,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時,等號成立.即t的最大值為3.解法二:設(shè)=m,=n,則m,n均大于零,因為m2+n2≥2mn,所以2(m2+n2)≥(m+n)2,所以m+n≤·,所以+≤·=3,當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時,“=”成立,所以所求最大值為3.考點二 應(yīng)用基本不等式求解最值(2019天津文,13,5分)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則的最小值為　　　　. 答案　解析　本題主要考查基本不等式的運用.考查學(xué)生對基本不等式及其簡單變形使用條件的掌握程度,以及學(xué)生的推理、運算能力.===2+.∵x>0,y>0,∴4=x+2y≥2,解得0<xy≤2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=1時“=”成立.此時≥,∴2+≥2+=,故的最小值為.思路分析　首先將分子展開,并把已知條件x+2y=4代入,則原式化簡為2+,注意到x與2y的和為定值,用基本不等式即可求xy的最大值,最終得到原式的最小值,在此應(yīng)特別注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”,注意等號是否成立. 

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