專題二 不等式2.1　不等式及其解法考點一　不等式的概念和性質(zhì)1.(2022全國甲理,12,5分)已知a=,b=cos,c=4sin,則 (　　)A.c>b>a　　　　B.b>a>cC.a>b>c　　　　D.a>c>b答案　A　解法一:當(dāng)x∈時,sin x<x<tan x,又,所以tan.由=1,可得c>b.當(dāng)x∈R時,|x|≥|sin x|,即x2≥sin2x,所以,所以=1-cos x,即cos x≥1-,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時等號成立,所以cos,即b>a.綜上可知,c>b>a,故選A.解法二:當(dāng)x∈時,sin x<x<tan x.①比較a與b.b=cos,故b-a==2>0,∴b>a.②比較b與c.當(dāng)x∈時,由x<tan x可知,∴cos,即b<c.綜上可知,c>b>a.故選A. 2.(2019課標(biāo)Ⅰ理,4,5分)古希臘時期,人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是≈0.618,稱為黃金分割比例,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外,最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是.若某人滿足上述兩個黃金分割比例,且腿長為105 cm,頭頂至脖子下端的長度為26 cm,則其身高可能是(　　)A.165 cm　　　B.175 cm　　　C.185 cm　　　D.190 cm答案　B　本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識、抽象概括能力、運算求解能力,以及方程思想;考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運算.由人體特征可知,頭頂至咽喉的長度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長度,故咽喉至肚臍的長度應(yīng)小于≈42 cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+42+≈178 cm;同理,肚臍至足底的長度應(yīng)大于腿長105 cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105×0.618≈170 cm,結(jié)合選項可知,只有B選項符合題意,故選B.一題多解　用線段代替人,如圖.已知==≈0.618,c<26,b>105,c+d=a,設(shè)此人身高為h cm,則a+b=h,由?a>64.89,由?d<42.07,所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,由?b<110.15,整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,即169.89<h<178.22(單位:cm).故選B.3.(2015浙江文,6,5分)有三個房間需要粉刷,粉刷方案要求:每個房間只用一種顏色,且三個房間顏色各不相同.已知三個房間的粉刷面積(單位:m2)分別為x,y,z,且x<y<z,三種顏色涂料的粉刷費用(單位:元/m2)分別為a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費用(單位:元)是(　　)A.ax+by+cz　　　　　B.az+by+cxC.ay+bz+cx　　　　　D.ay+bx+cz答案　B　用粉刷費用最低的涂料粉刷面積最大的房間,且用粉刷費用最高的涂料粉刷面積最小的房間,這樣所需總費用最低,最低總費用為(az+by+cx)元,故選B.4.(2015北京文,10,5分)2-3,,log25三個數(shù)中最大的數(shù)是　　　　. 答案　log25解析　∵2-3=<1,1<<2,log25 >2,∴這三個數(shù)中最大的數(shù)為log25.考點二　不等式的解法1.(2014大綱全國文,3,5分)不等式組的解集為(　　)A.{x|-2<x<-1}　　　　　B.{x|-1<x<0}C.{x|0<x<1}　　　　　D.{x|x>1}答案　C　由x(x+2)>0得x>0或x<-2;由|x|<1得-1<x<1,所以不等式組的解集為{x|0<x<1},故選C.2.(2014浙江文,7,5分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,則(　　)A.c≤3　　　　　B.3<c≤6C.6<c≤9　　　　　D.c>9答案　C　由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故選C.3.(2013重慶,7,5分)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(x1,x2),且x2-x1=15,則a=(　　)A.　　　B.　　　C.　　　D.答案　A　解法一:∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),∴x1,x2是方程x2-2ax-8a2=0的兩根.由根與系數(shù)的關(guān)系知∴x2-x1===15,又∵a>0,∴a=,故選A.解法二:由x2-2ax-8a2<0,得(x+2a)(x-4a)<0,∵a>0,∴不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(-2a,4a),又∵不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(x1,x2),∴x1=-2a,x2=4a.∵x2-x1=15,∴4a-(-2a)=15,解得a=,故選A.4.(2015江蘇,7,5分)不等式<4的解集為　　　　. 答案　{x|-1<x<2}解析　不等式<4可轉(zhuǎn)化為<22,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集為{x|-1<x<2}.5.(2015廣東,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集為　　　　.(用區(qū)間表示) 答案　(-4,1)解析　不等式-x2-3x+4>0等價于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.6.(2014湖南文,13,5分)若關(guān)于x的不等式|ax-2|<3的解集為x-<x<,則a=　　　　. 答案　-3解析　依題意,知a≠0.|ax-2|<3?-3<ax-2<3?-1<ax<5,當(dāng)a>0時,不等式的解集為,從而有此方程組無解.當(dāng)a<0時,不等式的解集為,從而有解得a=-3.7.(2013廣東理,9,5分)不等式x2+x-2<0的解集為　　　　. 答案　{x|-2<x<1}解析　x2+x-2=(x+2)(x-1)<0,解得-2<x<1,故不等式的解集是{x|-2<x<1}.

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