1.2　常用邏輯用語(yǔ)考點(diǎn)一　充分條件與必要條件1.(2022浙江,4,4分)設(shè)x∈R,則“sin x=1”是“cos x=0”的 (　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　根據(jù)sin x=1解得x=+2kπ,k∈Z,此時(shí)cos x=cos=0.根據(jù)cos x=0解得x=+kπ,k∈Z,此時(shí)sin x=sin=±1.故“sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要條件,故選A.2.(2021浙江,3,4分)已知非零向量a,b,c,則“a·c=b·c”是“a=b”的 (　　)A.充分不必要條件　　　　B.必要不充分條件C.充分必要條件　　　　D.既不充分也不必要條件答案　B　解題指導(dǎo):利用平面向量的數(shù)量積定義分別判斷命題“若a·c=b·c,則a=b”與“若a=b,則a·c=b·c”的真假性即可.解析　若c與向量a,b都垂直,則由a·c=b·c不一定能得到a=b;若a=b,則由平面向量的數(shù)量積的定義知a·c=b·c成立,故“a·c=b·c”是“ a=b”的必要不充分條件.故選B.方法總結(jié):(1)充分條件、必要條件的判斷方法:①定義法:根據(jù)“若p,則q”與“若q,則p”的真假性進(jìn)行判斷;②集合法:根據(jù)p,q成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.(2)要判斷一個(gè)命題是假命題,只需舉出一個(gè)反例即可.但要判斷一個(gè)命題是真命題,必須通過(guò)嚴(yán)格的推理論證.3.(2021北京,3,4分)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>[0,1],則“函數(shù)f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增”是“函數(shù)f(x)在[0,1]上的最大值為f(1)”的????????????? (　　)A.充分而不必要條件　　　　B.必要而不充分條件C.充分必要條件　　　　D.既不充分也不必要條件答案　A　若f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增,則f(x)在[0,1]上的最大值為f(1);若f(x)在[0,1]上的最大值為f(1),則f(x)未必在[0,1]上單調(diào)遞增,如圖.故選A.4.(2022北京,6,4分)設(shè){an}是公差不為0的無(wú)窮等差數(shù)列,則“{an}為遞增數(shù)列”是“存在正整數(shù)N0,當(dāng)n>N0時(shí),an>0”的????????????? (　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　C　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0),則an=a1+(n-1)d.若{an}為遞增數(shù)列,則d>0,由an=a1+(n-1)d可構(gòu)造函數(shù)f(x)=xd+a1-d,令f(x)=0,得x=,若a1>d,則x<0,取N0=1,即有n>1時(shí),f(n)>f(1)>0成立;若a1<d,則x>0,取N0=+1的最大正整數(shù),此時(shí)n>N0,必有f(n)>f(N0)=f=0.綜上,存在正整數(shù)N0,當(dāng)n>N0時(shí),an>0,∴充分性成立.易知an是關(guān)于n的一次函數(shù),若存在正整數(shù)N0,當(dāng)n>N0時(shí),an>0,則一次函數(shù)為增函數(shù),∴d>0,∴必要性成立.故選C. 5.(2019天津文,3,5分)設(shè)x∈R,則“0<x<5”是“|x-1|<1”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　B　|x-1|<1?-1<x-1<1?0<x<2.當(dāng)0<x<2時(shí),必有0<x<5;反之,不成立.所以,“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分條件.一題多解　因?yàn)?/span>{x||x-1|<1}={x|0<x<2}?{x|0<x<5},所以“0<x<5”是“|x-1|<1”的必要而不充分條件.6.(2018天津,理4,文3,5分)設(shè)x∈R,則“<”是“x3<1”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　本題主要考查解不等式和充分、必要條件的判斷.由<得-<x-<,解得0<x<1.由x3<1得x<1.當(dāng)0<x<1時(shí)能得到x<1一定成立;當(dāng)x<1時(shí),0<x<1不一定成立.所以“<”是“x3<1”的充分而不必要條件.方法總結(jié)　(1)充分、必要條件的判斷.解決此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)分三步:①確定條件是什么,結(jié)論是什么;②嘗試從條件推結(jié)論,從結(jié)論推條件;③確定條件和結(jié)論是什么關(guān)系.(2)探究某結(jié)論成立的充要、充分、必要條件.解答此類(lèi)題目,可先從結(jié)論出發(fā),求出使結(jié)論成立的必要條件,然后驗(yàn)證得到的必要條件是否滿足充分性.7.(2017北京理,6,5分)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　由存在負(fù)數(shù)λ,使得m=λn,可得m、n共線且反向,夾角為180°,則m·n=-|m||n|<0,故充分性成立.由m·n<0,可得m,n的夾角為鈍角或180°,故必要性不成立.故選A.8.(2017天津理,4,5分)設(shè)θ∈R,則“<”是“sin θ<”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　本題考查不等式的解法及充分必要條件的判斷.∵<?-<θ-<?0<θ<,sin θ<?θ∈,k∈Z,?,k∈Z,∴“<”是“sin θ<”的充分而不必要條件.9.(2016天津理,5,5分)設(shè){an}是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列,公比為q,則“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的(　　)A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案　C　若對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0,則a1+a2<0,又a1>0,所以a2<0,所以q=<0.若q<0,可取q=-1,a1=1,則a1+a2=1-1=0,不滿足對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0.所以“q<0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n,a2n-1+a2n<0”的必要而不充分條件.故選C.評(píng)析　本題以等比數(shù)列為載體,考查了充分條件、必要條件的判定方法,屬中檔題.10.(2015重慶理,4,5分)“x>1”是“lo(x+2)<0”的(　　)A.充要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件答案　B　當(dāng)x>1時(shí),x+2>3>1,又y=lox是減函數(shù),∴lo(x+2)<lo1=0,則x>1?lo(x+2)<0;當(dāng)lo(x+2)<0時(shí),x+2>1,x>-1,則lo(x+2)<0? /x>1.故“x>1”是“lo(x+2)<0”的充分而不必要條件.選B.11.(2015天津理,4,5分)設(shè)x∈R,則“1<x<2”是“|x-2|<1”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　因?yàn)?/span>|x-2|<1等價(jià)于-1<x-2<1,即1<x<3,由于(1,2)?(1,3),所以“1<x<2”是“|x-2|<1”的充分而不必要條件,故選A.12.(2015湖南理,2,5分)設(shè)A,B是兩個(gè)集合,則“A∩B=A”是“A?B”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件答案　C　若A∩B=A,任取x∈A,則x∈A∩B,∴x∈B,故A?B;若A?B,任取x∈A,都有x∈B,∴x∈A∩B,∴A?(A∩B),又A∩B?A顯然成立,∴A∩B=A.綜上,“A∩B=A”是“A?B”的充要條件,故選C.13.(2015陜西理,6,5分)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　由sin α=cos α,得cos 2α=cos2α-sin2α=0,即充分性成立.由cos 2α=0,得sin α=±cos α,即必要性不成立.故選A.14.(2014課標(biāo)Ⅱ文,3,5分)函數(shù)f(x)在x=x0處導(dǎo)數(shù)存在.若p:f '(x0)=0;q:x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則(　　)A.p是q的充分必要條件B.p是q的充分條件,但不是q的必要條件C.p是q的必要條件,但不是q的充分條件D.p既不是q的充分條件,也不是q的必要條件答案　C　∵f(x)在x=x0處可導(dǎo),∴若x=x0是f(x)的極值點(diǎn),則f '(x0)=0,∴q?p,故p是q的必要條件;反之,以f(x)=x3為例, f '(0)=0,但x=0不是極值點(diǎn),∴p? /q,故p不是q的充分條件.故選C.15.(2014安徽理,2,5分)“x<0”是“ln(x+1)<0”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　B　ln(x+1)<0?0<x+1<1?-1<x<0?x<0;而x<0?/-1<x<0,故選B.16.(2014浙江理,2,5分)已知i是虛數(shù)單位,a,b∈R,則“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的(　　)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　A　當(dāng)a=b=1時(shí),有(1+i)2=2i,即充分性成立.當(dāng)(a+bi)2=2i時(shí),有a2-b2+2abi=2i,得解得a=b=1或a=b=-1,即必要性不成立,故選A.評(píng)析　本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,復(fù)數(shù)相等的概念,充分條件與必要條件的判定,屬于容易題.17.(2014北京理,5,5分)設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.則“q>1”是“{an}為遞增數(shù)列”的(　　)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件答案　D　若q>1,則當(dāng)a1=-1時(shí),an=-qn-1,{an}為遞減數(shù)列,所以“q>1”?/ “{an}為遞增數(shù)列”;若{an}為遞增數(shù)列,則當(dāng)an=-時(shí),a1=-,q=<1,即“{an}為遞增數(shù)列”?/ “q>1”.故選D.考點(diǎn)二　全稱(chēng)量詞與存在量詞1.(2015浙江理,4,5分)命題“?n∈N*, f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定形式是(　　)A.?n∈N*, f(n)?N*且f(n)>nB.?n∈N*, f(n)?N*或f(n)>nC.?n0∈N*, f(n0)?N*且f(n0)>n0D.?n0∈N*, f(n0)?N*或f(n0)>n0答案　D　“f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定為“f(n)?N*或f(n)>n”,全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題,故選D.2.(2014湖北文,3,5分)命題“?x∈R,x2≠x”的否定是(　　)A.?x?R,x2≠x　　　　　B.?x∈R,x2=xC.?x?R,x2≠x　　　　　D.?x∈R,x2=x答案　D　原命題的否定為?x∈R,x2=x.故選D.3.(2013重慶理,2,5分)命題“對(duì)任意x∈R,都有x2≥0”的否定為(　　)A.對(duì)任意x∈R,都有x2<0　　　　　B.不存在x∈R,使得x2<0C.存在x0∈R,使得≥0　　　　　D.存在x0∈R,使得<0答案　D　全稱(chēng)命題的否定是特稱(chēng)命題.“對(duì)任意x∈R,都有x2≥0”的否定為“存在x0∈R,使得<0”,故選D.4.(2015山東理,12,5分)若“?x∈,tan x≤m”是真命題,則實(shí)數(shù)m的最小值為　　　　. 答案　1解析　∵0≤x≤,∴0≤tan x≤1,∵“?x∈,tan x≤m”是真命題,∴m≥1.∴實(shí)數(shù)m的最小值為1

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