考試要求 1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類(lèi)特殊函數(shù)．
1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念
(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱(chēng)為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．
(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式
如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．
若已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(S1?n＝1?，,Sn－Sn－1?n≥2?.))
(3)數(shù)列的遞推公式
如果一個(gè)數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)或多項(xiàng)之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式．
2．?dāng)?shù)列與函數(shù)
數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號(hào)n，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)an，記為an＝f(n)．也就是說(shuō)，當(dāng)自變量從1開(kāi)始，按照從小到大的順序依次取值時(shí)，對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值f(1)，f(2)，…，f(n)，…就是數(shù)列{an}．
3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)
4.數(shù)列的表示法
數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．
微思考
1．?dāng)?shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是一個(gè)概念嗎？
提示 不是．?dāng)?shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)．
2．?dāng)?shù)列作為一種特殊函數(shù)，特殊性體現(xiàn)在什么地方？
提示 體現(xiàn)在定義域上，數(shù)列的定義域是正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的．( × )
(2)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá)．( × )
(3)2,2,2,2，…，不能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．( × )
(4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )
題組二 教材改編
2．?dāng)?shù)列eq \f(1,3)，eq \f(1,8)，eq \f(1,15)，eq \f(1,24)，eq \f(1,35)，…的通項(xiàng)公式是an＝________.
答案 an＝eq \f(1,n?n＋2?)，n∈N*
3．已知數(shù)列a1＝2，an＝1－eq \f(1,an－1)(n≥2)．則a2 022＝________.
答案 －1
解析 a1＝2，a2＝1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2，所以數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＝an＋3，所以a2 022＝a3＝－1.
4．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝n2－λn＋1，若{an}是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________．
答案 (－∞，3)
解析 由題意得an＋1>an，即(n＋1)2－λ(n＋1)＋1>n2－λn＋1.
化簡(jiǎn)得，λ0，得－10或an0時(shí)，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)0時(shí)，\f(an＋1,an)an，∴選A.
(2)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋2＝an＋1－an，n∈N*，a1＝1，a2＝2，則a2 021等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 A
解析 由題意，數(shù)列{an}滿(mǎn)足an＋2＝an＋1－an，
且a1＝1，a2＝2，
當(dāng)n＝1時(shí)，可得a3＝a2－a1＝2－1＝1；
當(dāng)n＝2時(shí)，可得a4＝a3－a2＝1－2＝－1；
當(dāng)n＝3時(shí)，可得a5＝a4－a3＝－1－1＝－2；
當(dāng)n＝4時(shí)，可得a6＝a5－a4＝－2－(－1)＝－1；
當(dāng)n＝5時(shí)，可得a7＝a6－a5＝－1－(－2)＝1；
當(dāng)n＝6時(shí)，可得a8＝a7－a6＝1－(－1)＝2；
……
可得數(shù)列{an}是以6為周期的周期數(shù)列，
所以a2 021＝a336×6＋5＝a5＝－2.
故選A.
(3)在數(shù)列{an}中，an＝(n＋1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n，則數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是第________項(xiàng)．
答案 6或7
解析 eq \f(an＋1,an)＝eq \f(?n＋2?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n＋1,?n＋1?\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,8)))n)＝eq \f(7,8)×eq \f(n＋2,n＋1)≥1.
得n≤6，即當(dāng)n≤6時(shí)，an＋1≥an，
當(dāng)n>6時(shí)，an＋10，因此數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，D正確．故選ABD.
6．(多選)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，{an＋1－an}為遞減數(shù)列，則稱(chēng)數(shù)列{an}為“差遞減數(shù)列”．給出下列數(shù)列{an}(a∈N*)，其中是“差遞減數(shù)列”的有( )
A．a(chǎn)n＝3n B．a(chǎn)n＝n2＋1
C．a(chǎn)n＝eq \r(n) D．a(chǎn)n＝lneq \f(n,n＋1)
答案 CD
解析 對(duì)于A，若an＝3n，則an＋1－an＝3(n＋1)－3n＝3，所以{an＋1－an}不為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若an＝n2＋1，則an＋1－an＝(n＋1)2－n2＝2n＋1，所以{an＋1－an}為遞增數(shù)列，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若an＝eq \r(n)，則an＋1－an＝eq \r(n＋1)－eq \r(n)＝eq \f(1,\r(n＋1)＋\r(n))，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故C正確；
對(duì)于D，若an＝lneq \f(n,n＋1)，則an＋1－an＝lneq \f(n＋1,n＋2)－lneq \f(n,n＋1)＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(n＋1,n＋2)·\f(n＋1,n)))＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,n2＋2n)))，由函數(shù)y＝lneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,x2＋2x)))在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以{an＋1－an}為遞減數(shù)列，故D正確．
故選CD.
7．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
答案 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2))
解析 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿(mǎn)足上式．
故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2，n＝1，,6n－5，n≥2.))
8．(2021·北京市昌平區(qū)模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
答案 n－6(n∈N*)(答案不唯一)
解析 ?n∈N*，an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增的，
?n∈N*，Sn≥S6，即S6最小，
只要前6項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，或前5項(xiàng)為負(fù)數(shù)，第6項(xiàng)為0，即可，
所以，滿(mǎn)足條件的數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式an＝n－6(n∈N*)(答案不唯一)．
9．已知在數(shù)列{an}中，a1a2a3·…·an＝n2(n∈N*)，則a9＝________.
答案 eq \f(81,64)
解析 ∵a1a2·…·a8＝82＝64，①
a1·a2·…·a9＝92＝81，②
②÷①得a9＝eq \f(81,64).
10．已知數(shù)列的通項(xiàng)為an＝eq \f(n＋1,3n－16)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是第________項(xiàng)．
答案 5
解析 因?yàn)閍n＝eq \f(n＋1,3n－16)，數(shù)列{an}的最小項(xiàng)必為an

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