§9.5　橢　圓考試要求　1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應用．知識梳理1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于________(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的________，兩焦點間的距離叫做橢圓的________．2．橢圓的標準方程和簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程＋＝1 (a>b>0)＋＝1 (a>b>0)范圍  頂點  軸長短軸長為______，長軸長為______焦點  焦距|F1F2|＝________對稱性對稱軸：________，對稱中心：______離心率 a，b，c的關系  常用結論橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ. (1)當P為短軸端點時，θ最大，最大．(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(6)焦點三角形的周長為2(a＋c)．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　)(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．(　　)(3)＋＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．(　　)(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)教材改編題1．橢圓＋＝1上點P到上焦點的距離為4，則點P到下焦點的距離為(　　)A．6  B．3  C．4  D．22．已知橢圓C：＋＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.3．若橢圓C：＋＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為(　　)A．3   B．2＋C．2   D.＋1題型一　橢圓的定義及其應用例1 (1)(2022·麗江模擬)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內切，那么動圓的圓心P的軌跡是(　　)A．橢圓   B．雙曲線C．拋物線   D．雙曲線的一支聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)設點P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點，F1，F2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．跟蹤訓練1 (1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為(　　)A.＋＝1(x≠0)   B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(x≠0)   D.＋＝1(y≠0)(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：＋＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為(　　)A．4  B．8  C．10  D．20 題型二　橢圓的標準方程命題點1　定義法例2 (2023·南京模擬)已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1聽課記錄：____________________________________________________________________命題點2　待定系數法例3 已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________________．聽課記錄：____________________________________________________________________思維升華 根據條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數法：根據題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數法求出m，n的值即可．跟蹤訓練2 (1)“1<k<5”是方程“＋＝1表示橢圓”的(　　)A．必要不充分條件   B．充分不必要條件C．充要條件   D．既不充分也不必要條件(2)(2022·南京師大附中模擬)已知過橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F1是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1 題型三　橢圓的幾何性質命題點1　離心率例4 (1)(2022·太原模擬)設F1，F2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為(　　)A.＋1  B.－1  C.  D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全國甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解．(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝求解．(3)構造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.命題點2　與橢圓有關的范圍(最值)問題例5 (1)(2023·長沙模擬)已知F1，F2為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率為，M為橢圓上一動點，則∠F1MF2的最大值為(　　)A.  B.  C.  D.聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1(b>0)的離心率e＝，F，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________．聽課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質．(2)利用函數，尤其是二次函數．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟蹤訓練3 (1)(2023·鎮(zhèn)江模擬)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，上頂點為A，射線AF1 交橢圓E于點B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，上頂點為A(0，b)，直線x＝上存在一點P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)A.   B.C.   D.

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