高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)第5節(jié)　橢　圓（講義）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1.了解橢圓及橢圓在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.
2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
1.橢圓的定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱為半焦距.
其數(shù)學(xué)表達(dá)式:集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>c>0,且a,c為常數(shù).
(1)2a>2c的原因是三角形兩邊之和大于第三邊;
(2)上述表達(dá)式中,若a=c,則集合P為線段.若a0)上的任意一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.
6.橢圓系方程:
①與x2a2+y2b2=1共焦點(diǎn)的橢圓系為x2a2-k+y2b2-k=1(k0).
1.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1,0),離心率等于12,則C的方程是( D )
A.x23+y24=1B.x24+y23=1
C.x24+y22=1D.x24+y23=1
解析:由右焦點(diǎn)為F(1,0)可知c=1,離心率等于12,即ca=12,故a=2,
由a2=b2+c2知b2=3,
故橢圓C的方程為x24+y23=1.
2.(選擇性必修第一冊(cè)P109T3改編)已知橢圓C:x225+y216=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),則三角形ABF2的周長(zhǎng)為( C )
A.10B.15C.20D.25
解析:由題意橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a=225=10,
由橢圓的定義得|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,所以△ABF2的周長(zhǎng)是20.
3.已知橢圓4x2+ky2=4的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1),則實(shí)數(shù)k的值是 .
解析:橢圓方程可化為x2+y24k=1,
由題意知4k>1,4k-1=1,
解得k=2.
答案:2
4.橢圓9x2+5y2=45的離心率為 .
解析:由9x2+5y2=45,得y29+x25=1,
則a=3,c=9-5=2,可知e=ca=23.
答案:23
5.若方程x2m+y21-m=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為 .
解析:由題可知,1-m>m>0,
解得02+2,由橢圓的定義可得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是橢圓,且2a=10,2c=4,b2=a2-c2=52-22=21.
因此橢圓的方程為x225+y221=1.
3.動(dòng)圓M過(guò)定點(diǎn)A(-3,0),且內(nèi)切于定圓B:(x-3)2+y2=100,動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 .
解析:由圓B方程知其圓心為B(3,0),
半徑r1=10.
設(shè)圓M半徑為r2,則|MA|=r2,
由題意可知|MB|=r1-r2=10-r2,
即|MA|+|MB|=10,
又|AB|=6,
所以|MA|+|MB|>|AB|.
所以動(dòng)圓圓心M的軌跡是以A,B為焦點(diǎn)且a=5,c=3的橢圓,所以b2=a2-c2=16.
所以動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為 x225+y216=1.
答案:x225+y216=1
若平面上的動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義的形式,可直接確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡或求橢圓的方程.
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
1.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(2,0),右頂點(diǎn)為A,O為坐標(biāo)原點(diǎn),過(guò)OA的中點(diǎn)且與x軸垂直的直線交橢圓C于M,N兩點(diǎn),若四邊形OMAN是正方形,則C的方程為( A )
A.x23+y2=1B.x25+y23=1
C.x27+y25=1D.x29+y27=1
解析:由橢圓方程及四邊形OMAN是正方形可知A(a,0),M(a2,a2).又點(diǎn)M在橢圓C上,則有(a2) 2a2+(a2) 2b2=1,解得a2b2=3.
因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為(2,0),所以c=2,結(jié)合a2-b2=c2,解得a2=3,b2=1,即橢圓C的方程為x23+y2=1.
2.(多選題)已知橢圓C中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,若橢圓C的離心率為32,且過(guò)點(diǎn)(2,1),則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為( AC )
A.x28+y22=1B.x22+y28=1
C.x2174+y217=1D.x217+y2174=1
解析:①當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),
由橢圓C的離心率為32,得a2=4b2,
所以橢圓C的方程為x24b2+y2b2=1.
因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2,1),所以44b2+1b2=1,解得b2=2,a2=8.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x28+y22=1.
②當(dāng)橢圓C的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),
設(shè)橢圓方程為y2m2+x2n2=1(m>n>0),
由橢圓C的離心率為32,得m2=4n2,所以橢圓C的方程為y24n2+x2n2=1.
因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)(2,1),所以14n2+4n2=1,解得n2=174,m2=17.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2174+y217=1.
3.已知橢圓E經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(-1,22),C(2,22),D(-3,-12)中的三個(gè)點(diǎn),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
解析:根據(jù)橢圓的對(duì)稱性及點(diǎn)B,C的縱坐標(biāo)相同,橫坐標(biāo)的絕對(duì)值不同,可知點(diǎn)B,C中有且只有一個(gè)點(diǎn)在橢圓E上,而A,D必在橢圓上.
設(shè)橢圓E的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),將點(diǎn)A,D代入橢圓方程得4m=1,3m+n4=1,
解得m=14,n=1.
此時(shí)橢圓方程為x24+y2=1,C在其上, B不在其上.
答案:x24+y2=1
(1)求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法是待定系數(shù)法,求解時(shí)首先由題目條件確定方程的類型(焦點(diǎn)的位置),再由條件確定方程的參數(shù).
(2)若橢圓焦點(diǎn)位置不確定時(shí),一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考慮焦點(diǎn)位置,用待定系數(shù)法求出m,n的值即可.
橢圓的幾何性質(zhì)
橢圓幾何性質(zhì)的理解
[例1] (2022·廣東韶關(guān)高三測(cè)試)在橢圓C1:x24+y23=1與橢圓C2:x24-m+y23-m=1中,下列結(jié)論正確的是( )
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)相等B.短軸長(zhǎng)相等
C.焦距相等D.離心率相等
解析:橢圓C1:x24+y23=1長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,短軸長(zhǎng)為23,焦距為2,離心率為12,橢圓C2:x24-m+y23-m=1長(zhǎng)軸長(zhǎng)為24-m,短軸長(zhǎng)為23-m,焦距為2,離心率為14-m,所以焦距相等.故選C.
根據(jù)橢圓方程研究橢圓的幾何性質(zhì),主要是根據(jù)方程確定參數(shù)的幾何意義,結(jié)合有關(guān)量的特征求解.
橢圓的離心率
[例2] (1)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩焦點(diǎn)為F1,F2,若橢圓C上存在點(diǎn)P使△PF1F2為等腰直角三角形,則橢圓C的離心率為( )
A.22B.2-1
C.22或2-1D.22或5-12
(2)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,若橢圓上存在點(diǎn)P使得|PF1|=2|PF2|,則橢圓的離心率取值范圍是( )
A.[13,1)B.(13,1)
C.[23,1)D.(23,1)
解析:(1)當(dāng)PF1⊥PF2時(shí),△PF1F2為等腰直角三角形,則點(diǎn)P為橢圓的上或下頂點(diǎn),且滿足b=c,此時(shí)e=ca=cb2+c2=22.
當(dāng)PF2⊥F1F2或者PF1⊥F1F2時(shí),此時(shí)P(±c,±b2a) ,根據(jù)△PF1F2為等腰直角三角形可知b2a=2c ,故a2-c2-2ac=0?e2+2e-1=0 ,
因?yàn)?1時(shí),有a2-1a2=(22)2,
解得a=2;
當(dāng)a2b>0),F(-3,0)為其左焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與橢圓C的一個(gè)交點(diǎn)為A,若tan∠AOF=32(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于 .
解析:因?yàn)闄E圓C的左焦點(diǎn)為F(-3,0),
所以c=3,又AF垂直于x軸,A在橢圓C上,
故可設(shè)A(-c,y1),
所以(-c)2a2+y12b2=1,又a2=b2+c2,所以|y1|=b2a,又tan∠AOF=32,
所以b23a=32,a2=b2+3,解得a=23,b=3,從而2a=43.
答案:43
8.(2022·山東煙臺(tái)高三期末)寫出一個(gè)滿足以下三個(gè)條件的橢圓的方程: .
①中心為坐標(biāo)原點(diǎn);②焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上;③離心率為13.
解析:只要橢圓方程形如x29m+y28m=1(m>0)或y29m+x28m=1(m>0)即可.
答案:x29+y28=1(答案不唯一)
9.(2019·全國(guó)Ⅱ卷)已知F1,F2是橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn),
P為C上的點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若△POF2為等邊三角形,求C的離心率;
(2)如果存在點(diǎn)P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面積等于16,求b的值和a的取值范圍.
解:(1)連接PF1(圖略),由△POF2為等邊三角形可知在△F1PF2中,
∠F1PF2=90°,|PF2|=c,
|PF1|=3c,
于是2a=|PF1|+|PF2|=(3+1)c,
故C的離心率為e=ca=3-1.
(2)由題意可知,滿足條件的點(diǎn)P(x,y)存在,
當(dāng)且僅當(dāng) 12|y|·2c=16,yx+c·yx-c=-1,
x2a2+y2b2=1,
即c|y|=16,①
x2+y2=c2,②
x2a2+y2b2=1,③
由②③及a2=b2+c2得y2=b4c2,
又由①知y2=162c2,故b=4;
由②③及a2=b2+c2得x2=a2c2(c2-b2),
所以c2≥b2,從而a2=b2+c2≥2b2=32,故a≥42.當(dāng)b=4,a≥42時(shí),存在滿足條件的點(diǎn)P.
故b=4,a的取值范圍為[42,+∞).
10.若橢圓C:x2m+y29=1(m>9)比橢圓D:x26+y23=1更扁,則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是( C )
A.(6,62) B.(18,36)
C.(62,+∞) D.(36,+∞)
解析:橢圓C的離心率e1=m-9m,橢圓D的離心率e2=6-36=22,因?yàn)闄E圓C比橢圓D更扁,所以e1>e2,即m-9m>22,
解得m>18,則2m>62,
所以橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍是(62,+∞).
11.(2022·黑龍江齊齊哈爾三模)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P為橢圓C上一點(diǎn),且PF2垂直于x軸,若|F1F2|,|PF2|,
|PF1|成公差為2的等差數(shù)列,則橢圓C的方程為( D )
A.x225+y216=1 B.x225+y29=1
C.x281+y29=1 D.x281+y272=1
解析:由題意知,|F1F2|=2c,|PF2|=2c+2,
|PF1|=2c+4,又PF2垂直于x軸,
所以(2c)2+(2c+2)2=(2c+4)2,解得c=3.
又由橢圓定義可得2a=2c+2+2c+4=18,
即a=9,所以b2=a2-c2=81-9=72,
所以橢圓方程為x281+y272=1.
12.(2022·重慶二模)如圖,神舟十二號(hào)的飛行軌道是以地球球心為左焦點(diǎn)的橢圓(圖中虛線),我們把飛行軌道上的點(diǎn)與地球表面上的點(diǎn)的最近距離叫近地距離,最遠(yuǎn)距離叫遠(yuǎn)地距離.設(shè)地球半徑為R,若神舟十二號(hào)飛行軌道的近地距離是R30,遠(yuǎn)地距離是R15,則神舟十二號(hào)的飛行軌道的離心率為( D )
A.1063 B.263 C.160 D.163
解析:如圖所示,
以運(yùn)行軌道長(zhǎng)軸所在直線為x軸,地心F為左焦點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)橢圓方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0),其中a2=b2+c2,
根據(jù)題意有a-c=R+130R=3130R, a+c=R+115R=1615R,
所以2a=6330R, 2c=130R,所以橢圓的離心率e=ca=2c2a=163.
13.(多選題)(2022·山東青島一模)已知橢圓C:x24+y23=1的左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2,M(43,y0)為橢圓C上一點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是( ABC )
A.△MF1F2的周長(zhǎng)為6
B.△MF1F2的面積為153
C.△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為159
D.△MF1F2的外接圓的直徑為3211
解析:由橢圓C:x24+y23=1知a=2,b=3,c=1,
由橢圓的定義知|MF1|+|MF2|=2a=4,|F1F2|=2c=2,
所以△MF1F2的周長(zhǎng)為|MF1|+|MF2|+|F1F2|=4+2=6,A正確;
將M(43,y0)代入橢圓方程得,(43) 24+y023=1,
解得y0=±153,
所以△MF1F2的面積為S=12|F1F2|·|y0|=153,B正確;
設(shè)△MF1F2的內(nèi)切圓的半徑為r,則S=12(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)·r,
即153=12×6·r,所以r=159,C正確;
不妨取M(43,153),則|MF1|=83,|MF2|=43,
所以△MF1F2的面積為S=12|MF1|·|MF2|sin∠F1MF2,
即153=12×83×43·sin∠F1MF2,所以sin∠F1MF2=31516,
由正弦定理知△MF1F2的外接圓的直徑為|F1F2|sin∠F1MF2=231516=321545,D錯(cuò)誤.
14.(2022·江西上饒模擬)已知橢圓x29+y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓上,設(shè)線段PF1的中點(diǎn)為M,且|OF2|=|OM|,則△PF1F2的面積為 .
解析:由題意可得a=3,b=5,c=9-5=2.
因?yàn)镺,M分別是F1F2和F1P的中點(diǎn),
所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4,
根據(jù)橢圓定義,可得|PF1|=2a-2c=2,
又因?yàn)閨F1F2|=2c=4,
所以cs∠PF2F1=|PF2|2+|F1F2|2-|PF1|22|PF2|·|F1F2|=16+16-42×4×4=78,
所以sin∠PF2F1=1-cs2∠PF2F1=158.
故△PF1F2的面積是12|PF2|·|F1F2|·sin∠PF2F1=15.
答案:15
15.已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,長(zhǎng)軸A1A2,短軸B1B2,橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1||MF2|=2,若△MA1A2面積的最大值為82,△MB1B2面積的最小值為2,則該橢圓的離心率為( C )
A.63 B.33 C.22 D.32
解析:由題意知F1(-c,0),F2(c,0),|A1A2|=2a,|B1B2|=2b,
設(shè)M(x,y),則(|MF1||MF2|)2=(x+c)2+y2(x-c)2+y2=4,
整理可得(x-5c3)2+y2=16c29,即點(diǎn)M軌跡是以(5c3,0)為圓心,4c3為半徑的圓,
所以|yM|max=4c3,|xM|min=5c3-4c3=c3,
所以(S△MA1A2)max=12·2a·4c3=4ac3=82,(S△MB1B2)min=12·2b·c3=bc3=2,
即ac=62,bc=6,所以ba=bcac=662=22,所以離心率e=1-ba2=1-12=22.焦點(diǎn)的
位置
焦點(diǎn)在x軸上
焦點(diǎn)在y軸上
圖形
標(biāo)準(zhǔn)
方程
x2a2+y2b2=1(a>b>0)
y2a2+x2b2=1(a>b>0)
性
質(zhì)
范圍
-a≤x≤a,且-b≤y≤b
-b≤x≤b,且-a≤y≤a
頂點(diǎn)
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
軸長(zhǎng)
長(zhǎng)軸長(zhǎng)=2a,短軸長(zhǎng)=2b
焦點(diǎn)
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
離心
率
e=ca,且e∈(0,1)
a,b,c
的關(guān)系
a2=b2+c2
方法
解讀
適合題型
幾何法
利用橢圓的幾何性質(zhì),設(shè)P(x0,y0)為橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上一點(diǎn),則|x0|≤a,a-c≤|PF1|≤a+c等,建立不等關(guān)系,或者根據(jù)幾何圖形的臨界情況建立不等關(guān)系
題設(shè)條件有明顯的幾何關(guān)系
直接法
根據(jù)題目中給出的條件或根據(jù)已知條件得出不等關(guān)系,直接轉(zhuǎn)化為含有a,b,c的不等關(guān)系式
題設(shè)條件直接有不等關(guān)系
知識(shí)點(diǎn)、方法
題號(hào)
橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程
1,2,11
橢圓的幾何性質(zhì)
4,5,6,7,8,10,12
橢圓的綜合問(wèn)題
3,9,13,14,15

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