1.了解橢圓的實(shí)際背景，感受橢圓在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.
2.經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過(guò)程，掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).
3.通過(guò)橢圓的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想.
4.了解橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
1.橢圓的定義
提醒 若2a＝｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（ ）
（2）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（ ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲線是橢圓.（ ）
（4）x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）與y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（ ）
2.橢圓x216＋y225＝1上點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為（ ）
A.6 B.3
C.4 D.2
3.已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12 B.焦距為34
C.短軸長(zhǎng)為14 D.離心率為32
4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率等于13，則橢圓C的方程是（ ）
A.x24＋y23＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y22＝1 D.x29＋y28＝1
5.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示橢圓，則k的取值范圍是 .
1.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，O為橢圓中心，則（1）b≤｜OP｜≤a；
（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0）與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，S△F1PF2最大，最大值為bc；
（2）S△F1PF2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan θ2＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2；
（4）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a＋c）.
3.焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)lmin＝2b2a.
1.已知F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且｜AB｜＝3，則C的方程為（ ）
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
2.已知P是橢圓x24＋y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝π3時(shí)，△PF1F2的面積為 .
參考答案與解析
1.橢圓的定義
提醒 若2a＝｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.
2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）
（1）平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓.（ × ）
（2）橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓.（ × ）
（3）方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲線是橢圓.（ √ ）
（4）x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）與y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同.（ √ ）
2.橢圓x216＋y225＝1上點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為（ ）
A.6 B.3
C.4 D.2
解析：A 由橢圓方程x216＋y225＝1，得a2＝25，即a＝5，設(shè)下焦點(diǎn)為F1，上焦點(diǎn)為F2，則｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，因?yàn)椋黀F2｜＝4，所以｜PF1｜＝6，即點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為6.
3.已知橢圓C：16x2＋4y2＝1，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.長(zhǎng)軸長(zhǎng)為12 B.焦距為34
C.短軸長(zhǎng)為14 D.離心率為32
解析：D 把橢圓方程16x2＋4y2＝1化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得x2116＋y214＝1，所以a＝12，b＝14，c＝34，則長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a＝1，焦距2c＝32，短軸長(zhǎng)2b＝12，離心率e＝ca＝32，故選D.
4.已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F（1，0），離心率等于13，則橢圓C的方程是（ ）
A.x24＋y23＝1 B.x24＋y23＝1
C.x24＋y22＝1 D.x29＋y28＝1
解析：D 依題意，設(shè)橢圓方程為x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0），所以c=1，ca＝13，c2＝a2－b2，解得a2＝9，b2＝8.故橢圓C的方程為x29＋y28＝1.故選D.
5.若方程x25－k＋y2k－3＝1表示橢圓，則k的取值范圍是 （3，4）∪（4，5） .
解析：由已知得5－k>0，k－3>0，5－k≠k－3，解得3＜k＜5且k≠4.
1.若點(diǎn)P在橢圓上，F(xiàn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，O為橢圓中心，則（1）b≤｜OP｜≤a；
（2）a－c≤｜PF｜≤a＋c.
2.焦點(diǎn)三角形：橢圓上的點(diǎn)P（x0，y0）與兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形，如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ.
（1）｜PF1｜＝｜PF2｜時(shí)，即點(diǎn)P的位置為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，S△F1PF2最大，最大值為bc；
（2）S△F1PF2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝b2tan θ2＝c｜y0｜；
（3）｜PF1｜·｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2；
（4）焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2（a＋c）.
3.焦點(diǎn)弦（過(guò)焦點(diǎn)的弦）：焦點(diǎn)弦中通徑（垂直于長(zhǎng)軸的焦點(diǎn)弦）最短，弦長(zhǎng)lmin＝2b2a.
1.已知F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0）是橢圓C的焦點(diǎn)，過(guò)F2且垂直于x軸的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，且｜AB｜＝3，則C的方程為（ ）
A.x22＋y2＝1 B.x23＋y22＝1
C.x24＋y23＝1 D.x25＋y24＝1
解析：C 由結(jié)論3可知｜AB｜＝3＝2b2a，又c＝1，解得a＝2，b2＝3，所以橢圓C的方程為x24＋y23＝1.
2.已知P是橢圓x24＋y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2＝π3時(shí)，△PF1F2的面積為 33 .
解析：由結(jié)論2可得，S＝b2tanθ2，可得S＝1·tanπ6＝33條件
結(jié)論1
結(jié)論2
平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2
M點(diǎn)的軌跡為橢圓
為橢圓的焦點(diǎn)；
為橢圓的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
標(biāo)準(zhǔn)方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
圖形
性質(zhì)
范圍
－a≤x≤a；－b≤y≤b
－b≤x≤b；－a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸： ；對(duì)稱(chēng)中心：（0，0）
頂點(diǎn)
A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為 ；短軸B1B2的長(zhǎng)為
焦距
｜F1F2｜＝
離心率
e＝ ，e∈（0，1）
a，b，c的關(guān)系
a2＝
條件
結(jié)論1
結(jié)論2
平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)M與平面內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2
M點(diǎn)的軌跡為橢圓
F1，F(xiàn)2 為橢圓的焦點(diǎn)；
｜F1F2｜ 為橢圓的焦距
｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a
2a＞｜F1F2｜
標(biāo)準(zhǔn)方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
圖形
性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a；－b≤y≤b
－b≤x≤b；－a≤y≤a
對(duì)稱(chēng)性
對(duì)稱(chēng)軸： x軸、y軸 ；對(duì)稱(chēng)中心：（0，0）
頂點(diǎn)
A1（－a，0），A2（a，0）；B1（0，－b），B2（0，b）
A1（0，－a），A2（0，a）；B1（－b，0），B2（b，0）
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為 2a ；短軸B1B2的長(zhǎng)為 2b
性
質(zhì)
焦距
｜F1F2｜＝ 2c
離心率
e＝ ca ，e∈（0，1）
a，b，c的關(guān)系
a2＝ b2＋c2

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