§9.5　橢　圓考試要求　1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程.2.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率).3.掌握橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．知識(shí)梳理1．橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離的和等于________(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的________．2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程＋＝1 (a>b>0)＋＝1 (a>b>0)范圍  頂點(diǎn)  軸長(zhǎng)短軸長(zhǎng)為______，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為______焦點(diǎn)  焦距|F1F2|＝________對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸：________，對(duì)稱(chēng)中心：______離心率 a，b，c的關(guān)系  常用結(jié)論橢圓的焦點(diǎn)三角形橢圓上的點(diǎn)P(x0，y0)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的△PF1F2叫做焦點(diǎn)三角形．如圖所示，設(shè)∠F1PF2＝θ. (1)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大，最大．(2)＝|PF1||PF2|sin θ＝b2tan ＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.(6)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F2的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓．(　　)(2)橢圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也是中心對(duì)稱(chēng)圖形．(　　)(3)＋＝1(m≠n)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓．(　　)(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)教材改編題1．橢圓＋＝1上點(diǎn)P到上焦點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)P到下焦點(diǎn)的距離為(　　)A．6  B．3  C．4  D．22．已知橢圓C：＋＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.3．若橢圓C：＋＝1，則該橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為(　　)A．3   B．2＋C．2   D.＋1題型一　橢圓的定義及其應(yīng)用例1 (1)(2022·麗江模擬)一動(dòng)圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心P的軌跡是(　　)A．橢圓   B．雙曲線C．拋物線   D．雙曲線的一支聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓C：＋＝1(a>2)上一點(diǎn)，F1，F2分別為C的左、右焦點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________延伸探究 若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 橢圓定義的應(yīng)用技巧(1)橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積問(wèn)題．跟蹤訓(xùn)練1 (1)已知△ABC的周長(zhǎng)為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為(　　)A.＋＝1(x≠0)   B.＋＝1(y≠0)C.＋＝1(x≠0)   D.＋＝1(y≠0)(2)(2023·鄭州模擬)若F為橢圓C：＋＝1的右焦點(diǎn)，A，B為C上兩動(dòng)點(diǎn)，則△ABF周長(zhǎng)的最大值為(　　)A．4  B．8  C．10  D．20 題型二　橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1　定義法例2 (2023·南京模擬)已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(0,2), F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點(diǎn)，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項(xiàng)，則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.＋＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________命題點(diǎn)2　待定系數(shù)法例3 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(，1)，P2(－，－)，則該橢圓的方程為________________．聽(tīng)課記錄：____________________________________________________________________思維升華 根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當(dāng)不知焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上時(shí)，一般可設(shè)所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點(diǎn)位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．跟蹤訓(xùn)練2 (1)“1<k<5”是方程“＋＝1表示橢圓”的(　　)A．必要不充分條件   B．充分不必要條件C．充要條件   D．既不充分也不必要條件(2)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為(，0)，右頂點(diǎn)為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)OA的中點(diǎn)且與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，若四邊形OMAN是正方形，則橢圓C的方程為(　　)A.＋y2＝1   B.＋＝1C.＋＝1   D.＋＝1 題型三　橢圓的幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1　離心率例4 (1)(2022·太原模擬)設(shè)F1，F2是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F1且斜率為的直線交橢圓于點(diǎn)P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為(　　)A.＋1  B.－1  C.  D.聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2022·全國(guó)甲卷)橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．若直線AP，AQ的斜率之積為，則C的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝求解．(2)由a與b的關(guān)系求離心率，利用變形公式e＝求解．(3)構(gòu)造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關(guān)系，從而求得e.命題點(diǎn)2　與橢圓有關(guān)的范圍(最值)問(wèn)題例5 (1)若P為橢圓＋＝1上的一點(diǎn)，F1，F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則∠F1PF2的最大值為(　　)A．30°  B．45°  C．60°  D．90°聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________(2)(2023·滄州模擬)已知點(diǎn)A，B為橢圓E：＋＝1(a>b>0)的長(zhǎng)軸頂點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率之積的范圍為，則橢圓E的離心率的取值范圍是(　　)A.   B.C.   D.聽(tīng)課記錄：__________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華 與橢圓有關(guān)的最值或范圍問(wèn)題的求解方法(1)利用數(shù)形結(jié)合、幾何意義，尤其是橢圓的性質(zhì)．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟蹤訓(xùn)練3 (1)(2022·南京模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F2，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，且PF2⊥F1F2，若AB∥PF1，則橢圓的離心率為(　　)A.  B.  C.  D.(2)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F(c,0)，上頂點(diǎn)為A(0，b)，直線x＝上存在一點(diǎn)P滿足(＋)·＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為(　　)A.   B.C.   D.

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