?8．5.2　直線與平面平行

考點(diǎn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
核心素養(yǎng)
直線與平面平行的判定
理解直線與平面平行的定義，會(huì)用圖形語(yǔ)言、文字語(yǔ)言、符號(hào)
語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行的判定定理，會(huì)用直線與平面平
行的判定定理證明一些空間線面位置關(guān)系
直觀想象、邏輯推理
直線與平面平行的性質(zhì)
理解并能證明直線與平面平行的性質(zhì)定理，明確定理的條件，
能利用直線與平面平行的性質(zhì)定理解決有關(guān)的平行問題
直觀想象、邏輯推理

問題導(dǎo)學(xué)
預(yù)習(xí)教材P135－P138的內(nèi)容，思考以下問題：
1．直線與平面平行的判定定理是什么？
2．直線與平面平行的性質(zhì)定理是什么？

1．直線與平面平行的判定定理

文字語(yǔ)言
如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語(yǔ)言
a?α，b?α，且a∥b?a∥α
圖形語(yǔ)言

■名師點(diǎn)撥 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
用該定理判斷直線a和平面α平行時(shí)，必須同時(shí)具備三個(gè)條件：
(1)直線a在平面α外，即a?α.
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α.
(3)兩直線a，b平行，即a∥b.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言
一條直線與一個(gè)平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與交線平行
符號(hào)語(yǔ)言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
圖形語(yǔ)言

■名師點(diǎn)撥 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)線面平行的性質(zhì)定理成立的條件有三個(gè)：
①直線a與平面α平行，即a∥α；
②平面α，β相交于一條直線，即α∩β＝b；
③直線a在平面β內(nèi)，即a?β.
以上三個(gè)條件缺一不可．
(2)定理的作用：
①線面平行?線線平行；
②畫一條直線與已知直線平行．
(3)定理揭示了直線與平面平行中蘊(yùn)含著直線與直線平行，即通過直線與平面平行可得到直線與直線平行，這給出了一種作平行線的方法，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸的思想．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)如果一條直線和平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行．(　　)
(2)若直線l上有兩點(diǎn)到平面α的距離相等，則l∥平面α.(　　)
(3)若直線l與平面α平行，則l與平面α內(nèi)的任意一條直線平行．(　　)
(4)若直線a∥平面α，直線a∥直線b，則直線b∥平面α.(　　)
(5)若直線a∥平面α，則直線a與平面α內(nèi)任意一條直線都無公共點(diǎn)．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
能保證直線a與平面α平行的條件是(　　)
A．b?α，a∥b
B．b?α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a(chǎn)?α，b?α，a∥b
答案：D
如圖，在三棱錐S-ABC中，E，F(xiàn)分別是SB，SC上的點(diǎn)，且EF∥平面ABC，則(　　)

A．EF與BC相交　　　　　　 B．EF∥BC
C．EF與BC異面 D．以上均有可能
解析：選B.因?yàn)槠矫鍿BC∩平面ABC＝BC，又因?yàn)镋F∥平面ABC，所以EF∥BC.
已知l，m是兩條直線，α是平面，若要得到“l(fā)∥α”，則需要在條件“m?α，l∥m”中另外添加的一個(gè)條件是________．
解析：根據(jù)直線與平面平行的判定定理，知需要添加的一個(gè)條件是“l(fā)?α”．
答案：l?α


　　　　　　　　直線與平面平行的判定
　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
【證明】　連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1.
又ABA1B1D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.

應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟

上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：
①空間直線平行關(guān)系的傳遞性法；
②三角形中位線法；
③平行四邊形法；
④成比例線段法．　
[提醒]　線面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)
(1)條件羅列不全，最易忘記的條件是“直線在平面外”．
(2)不能利用題目條件順利地找到兩平行直線．

1．如圖，下列正三棱柱ABC-A1B1C1中，若M，N，P分別為其所在棱的中點(diǎn)，則不能得出AB∥平面MNP的是(　　)

解析：選C.在題圖A，B中，易知AB∥A1B1∥MN，MN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP；在圖D中，易知AB∥PN，PN?平面MNP，AB?平面MNP，所以AB∥平面MNP.
2．已知有公共邊AB的兩個(gè)全等的矩形ABCD和ABEF不同在一個(gè)平面內(nèi)，P，Q分別是對(duì)角線AE，BD上的點(diǎn)，且AP＝DQ.求證：PQ∥平面CBE.
證明：如圖，作PM∥AB交BE于點(diǎn)M，作QN∥AB交BC于點(diǎn)N，連接MN，則PM∥QN，
＝，＝.
因?yàn)镋A＝BD，AP＝DQ，
所以EP＝BQ.
又因?yàn)锳B＝CD，所以PMQN，
所以四邊形PMNQ是平行四邊形，
所以PQ∥MN.
又因?yàn)镻Q?平面CBE，MN?平面CBE，
所以PQ∥平面CBE.

　　　　　　　　線面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用
　如圖，P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過點(diǎn)G和AP作平面，交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.

【證明】　如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接MO.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)．
又因?yàn)辄c(diǎn)M是PC的中點(diǎn)，
所以AP∥OM.
又因?yàn)锳P?平面BDM，OM?平面BDM，
所以AP∥平面BDM.
因?yàn)槠矫鍼AHG∩平面BDM＝GH，
AP?平面PAHG，所以AP∥GH.

　
　如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，且PA＝3.F在棱PA上，且AF＝1，E在棱PD上．若CE∥平面BDF，求PE∶ED的值．

解：過點(diǎn)E作EG∥FD交AP于點(diǎn)G，連接CG，連接AC交BD于點(diǎn)O，
連接FO.
因?yàn)镋G∥FD，EG?平面BDF，
FD?平面BDF，
所以EG∥平面BDF，又EG∩CE＝E，CE∥平面BDF，EG?平面CGE，CE?平面CGE，
所以平面CGE∥平面BDF，
又CG?平面CGE，
所以CG∥平面BDF，
又平面BDF∩平面PAC＝FO，CG?平面PAC，
所以FO∥CG.又O為AC的中點(diǎn)，
所以F為AG的中點(diǎn)，
所以FG＝GP＝1，
即G是PF的中點(diǎn)，又EG∥FD，
所以E為PD的中點(diǎn)，所以PE∶ED＝1∶1.

1．已知b是平面α外的一條直線，下列條件中，可得出b∥α的是(　　)
A．b與α內(nèi)的一條直線不相交
B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交
C．b與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交
D．b與α內(nèi)的所有直線不相交
解析：選D.若b與α內(nèi)的所有直線不相交，即b與α無公共點(diǎn)，故b∥α.
2．給出下列命題：
①如果一條直線不在平面內(nèi)，則這條直線就與這個(gè)平面平行；
②過直線外一點(diǎn)，可以作無數(shù)個(gè)平面與這條直線平行；
③如果一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的任何直線平行．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為(　　)
A．0　　　　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
解析：選B.①中，直線可能與平面相交，故①錯(cuò)；②是正確的；③中，一條直線與平面平行，則它與平面內(nèi)的直線平行或異面，故③錯(cuò)．
3．三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是(　　)
A．相交 B．平行
C．在平面內(nèi) D．不確定
解析：選B.在三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1.
4．如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AB的中點(diǎn)．證明：BC1∥平面A1CD.

證明：如圖，連接AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)．
又D是AB的中點(diǎn)，連接DF，則DF∥BC1.
因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.


[A　基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]
1．下列選項(xiàng)中，一定能得出直線m與平面α平行的是(　　)
A．直線m在平面α外
B．直線m與平面α內(nèi)的兩條直線平行
C．平面α外的直線m與平面內(nèi)的一條直線平行
D．直線m與平面α內(nèi)的一條直線平行
解析：選C.選項(xiàng)A不符合題意，因?yàn)橹本€m在平面α外也包括直線與平面相交；選項(xiàng)B與D不符合題意，因?yàn)槿鄙贄l件m?α；選項(xiàng)C中，由直線與平面平行的判定定理，知直線m與平面α平行，故選項(xiàng)C符合題意．
2.如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G，H分別為SB，BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則(　　)
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
解析：選B.因?yàn)镚H∥平面SCD，GH?平面SBD，平面SBD∩平面SCD＝SD，所以GH∥SD，顯然GH與SA，SC均不平行，故選B.
3．已知直線a∥平面α，a∥平面β，α∩β＝b，則a與b(　　)
A．相交　　　　　　　　　　 B．平行
C．異面 D．共面或異面
解析：選B.因?yàn)橹本€a∥α，a∥β，所以在平面α，β中分別有一直線平行于a，不妨設(shè)為m，n，所以a∥m，a∥n，所以m∥n.又α，β相交，m在平面α內(nèi)，n在平面β內(nèi)，所以m∥β，所以m∥b，所以a∥b.
4．在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，當(dāng)BD∥平面EFGH時(shí)，下列結(jié)論中正確的是　(　　)
A．E，F(xiàn)，G，H一定是各邊的中點(diǎn)
B．G，H一定是CD，DA的中點(diǎn)
C．BE∶EA＝BF∶FC，且DH∶HA＝DG∶GC
D．AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC
解析：選D.由于BD∥平面EFGH，由線面平行的性質(zhì)定理，有BD∥EH，BD∥FG，則AE∶EB＝AH∶HD，且BF∶FC＝DG∶GC.
5．若直線l∥平面α，則過l作一組平面與α相交，記所得的交線分別為a，b，c，…，那么這些交線的位置關(guān)系為(　　)
A．都平行
B．都相交且一定交于同一點(diǎn)
C．都相交但不一定交于同一點(diǎn)
D．都平行或交于同一點(diǎn)
解析：選A.因?yàn)橹本€l∥平面α，所以根據(jù)直線與平面平行的性質(zhì)知l∥a，l∥b，l∥c，…，所以a∥b∥c∥…，故選A.
6．在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F分別是對(duì)角線A1D、B1D1的中點(diǎn)，則正方體6個(gè)表面中與直線EF平行的平面有________________．

解析：如圖，連接A1C1，C1D，
所以F為A1C1的中點(diǎn)，
在△A1C1D中，EF為中位線，
所以EF∥C1D，又EF?平面C1CDD1，
C1D?平面C1CDD1，所以EF∥平面C1CDD1.
同理，EF∥平面A1B1BA.
故與EF平行的平面有平面C1CDD1和平面A1B1BA.
答案：平面C1CDD1和平面A1B1BA
7．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上．若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．
解析：因?yàn)樵谡襟wABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，所以AC＝2.又E為AD的中點(diǎn)，EF∥平面AB1C，EF?平面ADC，平面ADC∩平面AB1C＝AC，所以EF∥AC，
所以F為DC的中點(diǎn)，
所以EF＝AC＝.
答案：
8.如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，若EF∥平面AB1C，則線段EF的長(zhǎng)度等于________．
解析：因?yàn)镋F∥平面AB1C，EF?平面ACD，平面ACD∩平面AB1C＝AC，
所以EF∥AC，又E為AD的中點(diǎn)，AB＝2，
所以EF＝AC＝×＝.
答案：
9．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，E為PC的中點(diǎn)，PF＝2FD，求證：BE∥平面AFC.

證明：如圖，連接BD，交AC于點(diǎn)O，取PF的中點(diǎn)G，連接EG，ED，ED交CF于點(diǎn)M，連接MO.
在△PCF中，E，G分別為PC，PF的中點(diǎn)，
則EG∥FC.
在△EDG中，MF∥EG，且F為DG的中點(diǎn)，則M為ED的中點(diǎn)．
在△BED中，O，M分別為BD，ED的中點(diǎn)，
則BE∥MO.
又MO?平面AFC，BE?平面AFC，所以BE∥平面AFC.
10．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱BC，C1D1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面BDD1B1.
解：如圖，取D1B1的中點(diǎn)O，連接OF，OB.
因?yàn)镺FB1C1，BEB1C1，
所以O(shè)FBE，所以四邊形OFEB是平行四邊形，所以EF∥BO.
因?yàn)镋F?平面BDD1B1，BO?平面BDD1B1，
所以EF∥平面BDD1B1.

[B　能力提升]
11．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，EH∥FG，則EH與BD的位置關(guān)系是(　　)

A．平行　　　　　　　　　　 B．相交
C．異面 D．不確定
解析：選A.因?yàn)镋H∥FG，F(xiàn)G?平面BCD，EH?平面BCD，所以EH∥平面BCD.因?yàn)镋H?平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以EH∥BD.
12．已知直線a∥平面α，P∈α，那么過點(diǎn)P且平行于a的直線(　　)
A．只有一條，不在平面α內(nèi)
B．有無數(shù)條，一定不在α內(nèi)
C．只有一條，一定在α內(nèi)
D．有無數(shù)條，一定在α內(nèi)
解析：選C.若這樣的直線不只一條，由基本事實(shí)4知，這些直線互相平行，這與這些直線都過點(diǎn)P矛盾，因此只有一條．又由直線與平面平行的性質(zhì)定理知，這條直線一定在α內(nèi)．
13.如圖所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出五個(gè)結(jié)論：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：選C.矩形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，M是PB的中點(diǎn)，所以O(shè)M是△PBD的中位線，所以O(shè)M∥PD，又OM?平面PCD，且OM?平面PDA，所以O(shè)M∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因?yàn)镸∈PB，所以O(shè)M與平面PBA、平面PBC均相交．
14.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ACB＝90°，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC，AB＝2EF，M是線段AD的中點(diǎn)，求證：GM∥平面ABFE.
證明：因?yàn)镋F∥AB，
FG∥BC，EG∥AC，
∠ACB＝90°，所以△ABC∽△EFG，∠EGF＝90°，由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.如圖，連接AF，
由于FG∥BC，F(xiàn)G＝BC，在?ABCD中，M是線段AD的中點(diǎn)，則AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四邊形AFGM為平行四邊形，因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
[C　拓展探究]
15．如圖，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D1為A1C1上的點(diǎn)．當(dāng)?shù)扔诤沃禃r(shí)，BC1∥平面AB1D1?

解：如圖，取D1為線段A1C1的中點(diǎn)，此時(shí)＝1.
連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1.
由棱柱的性質(zhì)，知四邊形A1ABB1為平行四邊形，所以點(diǎn)O為A1B的中點(diǎn)．
在△A1BC1中，點(diǎn)O，D1分別為A1B，A1C1的中點(diǎn)，
所以O(shè)D1∥BC1.
又因?yàn)镺D1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
所以BC1∥平面AB1D1.
所以當(dāng)＝1時(shí)，BC1∥平面AB1D1.


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8.5 空間直線、平面的平行

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