課程標(biāo)準(zhǔn)：1.結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)隨機(jī)事件獨(dú)立性的含義.2.結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率．
教學(xué)重點(diǎn)：相互獨(dú)立事件的含義和相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式．
教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)事件獨(dú)立性的判定，以及能正確地將復(fù)雜的概率問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾類基本概率模型.
知識(shí)點(diǎn)" 相互獨(dú)立事件的定義和性質(zhì)
(1)定義：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝eq \(□,\s\up3(01))P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱獨(dú)立．
(2)性質(zhì)：①如果A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立．
1．n個(gè)事件相互獨(dú)立
對(duì)于n個(gè)事件A1，A2，…，An，如果其中任何一個(gè)事件發(fā)生的概率不受其他事件是否發(fā)生的影響，則稱n個(gè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立．
2．獨(dú)立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
3．相互獨(dú)立事件與互斥事件的區(qū)別
1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)不可能事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．( )
(2)必然事件與任何一個(gè)事件相互獨(dú)立．( )
(3)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)√
2．做一做
(1)一個(gè)不透明的口袋中有黑、白兩種顏色的球，這些球除顏色外完全相同，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，則A1與A2是( )
A．相互獨(dú)立事件
B．不相互獨(dú)立事件
C．互斥事件
D．對(duì)立事件
(2)一個(gè)學(xué)生通過(guò)一種英語(yǔ)能力測(cè)試的概率是eq \f(1,2)，他連續(xù)測(cè)試兩次，那么其中恰有一次通過(guò)的概率是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,3)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(3,4)
(3)在某道路A，B，C三處設(shè)有交通燈，這三盞燈在一分鐘內(nèi)開(kāi)放綠燈的時(shí)間分別為25秒、35秒、45秒，某輛車(chē)在這條道路上勻速行駛，則三處都不停車(chē)的概率為_(kāi)_______．
答案 (1)A (2)C (3)eq \f(35,192)
題型一 事件獨(dú)立性的判斷
例1 判斷下列事件是否為相互獨(dú)立事件．
(1)甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(2)容器內(nèi)盛有5個(gè)白乒乓球和3個(gè)黃乒乓球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”．
[解] (1)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生，對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件是否發(fā)生沒(méi)有影響，所以它們是相互獨(dú)立事件．
(2)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為eq \f(5,8)，若這一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為eq \f(4,7)；若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為eq \f(5,7)，可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件．
兩個(gè)事件是否相互獨(dú)立的判斷
(1)直接法：由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．
(2)定義法：如果事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率等于事件A發(fā)生的概率與事件B發(fā)生的概率的積，則事件A，B為相互獨(dú)立事件．
(1)下列事件中，A，B是相互獨(dú)立事件的是( )
A．一枚硬幣擲兩次，A＝“第一次為正面”，B＝“第二次為反面”
B．袋中有2個(gè)白球，2個(gè)黑球，不放回地摸兩球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．?dāng)S一枚骰子，A＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，B＝“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”
D．A＝“一個(gè)節(jié)能燈泡能用1000小時(shí)”，B＝“一個(gè)節(jié)能燈泡能用2000小時(shí)”
(2)甲、乙兩名射擊手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B( )
A．相互獨(dú)立但不互斥 B．互斥但不相互獨(dú)立
C．相互獨(dú)立且互斥 D．既不相互獨(dú)立也不互斥
答案 (1)A (2)A
解析 (1)把一枚硬幣擲兩次，對(duì)于每次而言是相互獨(dú)立的，其結(jié)果不受先后次序的影響，故A中A，B事件是相互獨(dú)立事件；B中是不放回地摸球，顯然A事件與B事件不相互獨(dú)立；對(duì)于C，A，B事件應(yīng)為互斥事件，不相互獨(dú)立；D中事件B受事件A的影響，故選A.
(2)對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射擊手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與B相互獨(dú)立；對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射擊手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說(shuō)事件A與B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與B不是互斥事件，故選A.
題型二 相互獨(dú)立事件概率的計(jì)算
例2 根據(jù)資料統(tǒng)計(jì)， 某地車(chē)主購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率為0.5，購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)的概率為0.6，購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)相互獨(dú)立， 各車(chē)主間相互獨(dú)立．
(1)求一位車(chē)主同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)的概率；
(2)求一位車(chē)主購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)的概率．
[解] 記A表示事件“購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，B表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)”，則由題意，得A與B，A與eq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(B,\s\up6(－))與eq \(A,\s\up6(－))都是相互獨(dú)立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.
(1)記C表示事件“同時(shí)購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種保險(xiǎn)”，
則C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.5×0.6＝0.3.
(2)記D表示事件“購(gòu)買(mǎi)乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買(mǎi)甲種保險(xiǎn)”，則D＝eq \(A,\s\up6(－))B，所以P(D)＝P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.
求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生概率的步驟
(1)①首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；
②確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；
③求出每個(gè)事件的概率，再求積．
(2)使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．
甲、乙兩人獨(dú)立地破譯某密碼，他們能破譯的概率分別為eq \f(1,3)和eq \f(1,4).求：
(1)兩人都能破譯的概率；
(2)兩人都不能破譯的概率；
(3)恰有一人能破譯的概率；
(4)至多有一人能破譯的概率．
解 設(shè)“甲能破譯”為事件A，“乙能破譯”為事件B，則A，B相互獨(dú)立，從而A與eq \(B,\s\up6(－))、eq \(A,\s\up6(－))與B、eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))均相互獨(dú)立．
(1)“兩人都能破譯”為事件AB，則
P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(1,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).
(2)“兩人都不能破譯”為事件eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，則
P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝[1－P(A)][1－P(B)]＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(1,2).
(3)“恰有一人能破譯”為事件Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B，
又Aeq \(B,\s\up6(－))與eq \(A,\s\up6(－))B互斥，
所以P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＝eq \f(5,12).
(4)“至多一人能破譯”為事件Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))，而Aeq \(B,\s\up6(－))，eq \(A,\s\up6(－))B，eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))互斥，故P(Aeq \(B,\s\up6(－))∪eq \(A,\s\up6(－))B∪eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＋P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,3)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)))＝eq \f(11,12).
題型三 相互獨(dú)立事件概率的實(shí)際應(yīng)用
例3 三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作的概率分別為eq \f(1,2)，eq \f(3,4)，eq \f(3,4)，將它們中的某兩個(gè)元件并聯(lián)后再和第三個(gè)元件串聯(lián)接入電路，如圖所示，求電路不發(fā)生故障的概率．
[解] 記“三個(gè)元件T1，T2，T3正常工作”分別為事件A1，A2，A3，則P(A1)＝eq \f(1,2)，P(A2)＝eq \f(3,4)，P(A3)＝eq \f(3,4).
不發(fā)生故障的事件為(A2∪A3)A1，
∴不發(fā)生故障的概率為P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)P(A1)＝[1－P(eq \(A,\s\up6(－))2)P(eq \(A,\s\up6(－))3)]P(A1)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,4)×\f(1,4)))×eq \f(1,2)＝eq \f(15,32).
求較為復(fù)雜事件的概率的方法
(1)列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆?hào)表示；
(2)理清事件之間的關(guān)系(兩事件是互斥還是對(duì)立，或者是相互獨(dú)立)，列出關(guān)系式；
(3)根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計(jì)算；
(4)當(dāng)直接計(jì)算符合條件的事件的概率較復(fù)雜時(shí)，可先間接地計(jì)算其對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率．
小王某天乘火車(chē)從重慶到上海去辦事，若當(dāng)天從重慶到上海的三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的概率分別為0.8,0.7,0.9，假設(shè)這三列火車(chē)之間是否正點(diǎn)到達(dá)互不影響．求：
(1)這三列火車(chē)恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率；
(2)這三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率．
解 用A，B，C分別表示這三列火車(chē)正點(diǎn)到達(dá)的事件，則P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P(eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝0.3，P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.1.
(1)由題意，得A，B，C之間互相獨(dú)立，所以恰好有兩列正點(diǎn)到達(dá)的概率為P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))BC)＋P(Aeq \(B,\s\up6(－))C)＋P(ABeq \(C,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \(C,\s\up6(－)))＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火車(chē)至少有一列正點(diǎn)到達(dá)的概率為
P2＝1－P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(C,\s\up6(－)))＝1－P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))P(eq \(C,\s\up6(－)))＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
1．打靶時(shí)，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若兩人同時(shí)射擊，則他們同時(shí)中靶的概率是( )
A.eq \f(14,25) B.eq \f(12,25) C.eq \f(3,4) D.eq \f(3,5)
答案 A
解析 由題意，知P甲＝eq \f(8,10)＝eq \f(4,5)，P乙＝eq \f(7,10)，由于甲、乙中靶是相互獨(dú)立事件，所以P同時(shí)中靶＝P甲P乙＝eq \f(14,25).
2．袋內(nèi)有3個(gè)白球和2個(gè)黑球，從中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，則A與B是( )
A．互斥事件 B．相互獨(dú)立事件
C．對(duì)立事件 D．不相互獨(dú)立事件
答案 D
解析 事件A的結(jié)果對(duì)事件B有影響．根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義可知，A與B不是相互獨(dú)立事件．
3．甲、乙兩人各進(jìn)行一次射擊，如果兩人擊中目標(biāo)的概率都是0.8，則其中恰有一人擊中目標(biāo)的概率為( )
A．0.64 B．0.32
C．0.56 D．0.48
答案 B
解析 設(shè)“甲擊中目標(biāo)”為事件A，“乙擊中目標(biāo)”為事件B，則“兩人各射擊一次，恰好有一人擊中目標(biāo)”包括兩種情況：一種是甲擊中、乙未擊中(即Aeq \(B,\s\up6(－)))，另一種是甲未擊中、乙擊中(即eq \(A,\s\up6(－))B)，根據(jù)題意，這兩種情況在各射擊一次時(shí)不可能同時(shí)發(fā)生，即事件Aeq \(B,\s\up6(－))與eq \(A,\s\up6(－))B是互斥的，所以所求概率為P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.故選B.
4．加工某零件需經(jīng)過(guò)三道工序，設(shè)第一、二、三道工序的次品率分別為eq \f(1,70)，eq \f(1,69)，eq \f(1,68)，且各道工序互不影響，則加工出來(lái)的零件的次品率為_(kāi)_______．
答案 eq \f(3,70)
解析 加工出來(lái)的零件的正品率為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,70)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,69)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,68)))＝eq \f(67,70)，所以次品率為1－eq \f(67,70)＝eq \f(3,70).
5．甲、乙兩人在罰球線投球命中的概率分別為eq \f(1,2)與eq \f(2,5).
(1)甲、乙兩人在罰球線各投球一次，求恰好命中一次的概率；
(2)甲、乙兩人在罰球線各投球二次，求這四次投球中至少一次命中的概率．
解 (1)設(shè)“甲投一次命中”為事件A，“乙投一次命中”為事件B，則P(A)＝eq \f(1,2)，P(B)＝eq \f(2,5)，P(eq \(A,\s\up6(－)))＝eq \f(1,2)，P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \f(3,5).
∴恰好命中一次的概率為P＝P(Aeq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－))B)＝P(A)·P(eq \(B,\s\up6(－)))＋P(eq \(A,\s\up6(－)))P(B)＝eq \f(1,2)×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \f(2,5)＝eq \f(5,10)＝eq \f(1,2).
(2)設(shè)事件“甲、乙兩人在罰球線各投球二次均不命中”的概率為P1，則P1＝P(eq \(A,\s\up6(－))eq \(A,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－))eq \(B,\s\up6(－)))＝P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(A,\s\up6(－)))P(eq \(B,\s\up6(－)))·P(eq \(B,\s\up6(－)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))2＝eq \f(9,100).
∴甲、乙兩人在罰球線各投球二次，至少一次命中的概率為P＝1－P1＝eq \f(91,100).相互獨(dú)立事件
互斥事件
條件
事件A(或B)是否發(fā)生對(duì)事件B(或A)發(fā)生的概率沒(méi)有影響
不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件
符號(hào)
相互獨(dú)立事件A，B同時(shí)發(fā)生，記作AB
互斥事件A，B中有一個(gè)發(fā)生，記作A∪B(或A＋B)
計(jì)算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

10.2 事件的相互獨(dú)立性

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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