基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
成果驗收·課堂達(dá)標(biāo)檢測
知識點1　分類變量與列聯(lián)表1.分類變量:為了表述方便,我們經(jīng)常會使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.2.列聯(lián)表:在實踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計,并做成表格加以保存.這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表稱為2×2列聯(lián)表.2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).名師點睛制作2×2列聯(lián)表的基本步驟第一步,合理選取兩個變量,且每一個變量按照分類標(biāo)準(zhǔn)分成兩類;第二步,抽取樣本,整理數(shù)據(jù);第三步,畫出2×2列聯(lián)表.
過關(guān)自診1.2×2列聯(lián)表的主要作用是什么?
提示 2×2列聯(lián)表用于研究兩個分類變量之間是否相互獨立,它適用于分析兩類變量之間的關(guān)系,是對兩類變量進(jìn)行獨立性檢驗的基礎(chǔ).
2.某校為了檢驗高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革的成果,在兩個班進(jìn)行教學(xué)方式的對比試驗,兩個月后進(jìn)行了一次檢測,試驗班與對照班成績統(tǒng)計如2×2列聯(lián)表所示(單位:人),則其中m=　　　　　,n=　　　　　.?單位:人
知識點2　獨立性檢驗1.2×2列聯(lián)表
上表是關(guān)于分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表:最后一行的前兩個數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}的頻數(shù);最后一列的前兩個數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}的頻數(shù);中間的四個數(shù)a,b,c,d是事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)的頻數(shù);右下角格中的數(shù)n是樣本容量.
2.χ2統(tǒng)計量的計算公式
3.獨立性的判斷方法
基于小概率值α的檢驗規(guī)則是:
　α越小,臨界值xα越大
當(dāng)χ2≥xα?xí)r,我們就推斷H0不成立,即認(rèn)為　　　　　　　　,該推斷　　　　　　　　　　　　　　　　　;?當(dāng)χ210.828=x0.001.根據(jù)α=0.001的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為兩種藥物的療效有差異,此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.
【例1】 [2023甘肅酒泉模擬]某校隨機(jī)抽出30名女教師和20名男教師參加學(xué)校組織的知識競賽(滿分100分),若分?jǐn)?shù)為80分及以上的為優(yōu)秀,50~80分之間的為非優(yōu)秀,統(tǒng)計并得到如下列聯(lián)表:單位:人
(1)男、女教師中成績?yōu)閮?yōu)秀的頻率分別是多少?(2)根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)聯(lián)?
(2)零假設(shè)為H0:這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到根據(jù)小概率值α=0.05的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為這次競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.05.
規(guī)律方法　獨立性檢驗的具體做法(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨立,并給出在問題中的解釋.(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表,計算χ2的值,并與臨界值xα比較.(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論.(4)在X和Y不獨立的情況下,根據(jù)需要,通過比較相應(yīng)的頻率,分析X和Y間的影響規(guī)律.
變式訓(xùn)練1某省為了解教師對新課程教學(xué)模式的使用情況,某一教育機(jī)構(gòu)對某學(xué)校的教師關(guān)于新課程教學(xué)模式的使用情況進(jìn)行了問卷調(diào)查,共調(diào)查了50人,其中有老教師20人,青年教師30人.老教師對新課程教學(xué)模式贊同的有10人,不贊同的有10人;青年教師對新課程教學(xué)模式贊同的有24人,不贊同的有6人.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個2×2列聯(lián)表;(2)試根據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,分析對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡是否有關(guān)聯(lián).?
解 (1)2×2列聯(lián)表如下: 單位:人
(2)零假設(shè)為H0:對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)聯(lián).依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗,沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為對新課程教學(xué)模式的贊同情況與教師年齡無關(guān)聯(lián).
探究點二　獨立性檢驗的綜合應(yīng)用
【例2】 海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:
(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計事件A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,分析箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法是否有關(guān)聯(lián); 單位:箱
(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).
解 (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66,故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.62×0.66=0.409 2.
(2)零假設(shè)為H0:箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法無關(guān)聯(lián).根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得如下列聯(lián)表: 單位:箱
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到依據(jù)α=0.01的獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不超過0.01.
(3)因為在新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)×5=0.340.5,故新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值為
規(guī)律方法　1.解答此類題目的關(guān)鍵在于正確利用 計算χ2的值,再用它與臨界值xα的大小作比較來判斷零假設(shè)是否成立,從而使問題得到解決.2.此類題目規(guī)律性強(qiáng),解題比較格式化,填表、計算、分析、比較即可,要熟悉其計算流程,不難理解掌握.
變式訓(xùn)練2某校高三年級在一次全年級的大型考試中,數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的學(xué)生中,物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀和非優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示,根據(jù)小概率值α=0.001的獨立性檢驗,能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)或總分成績優(yōu)秀有關(guān)聯(lián)?
注:該年級在此次考試中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的有360人,非優(yōu)秀的有880人.
解 零假設(shè)為H0:數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都無關(guān)聯(lián).列出數(shù)學(xué)成績與物理成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人
將表中數(shù)據(jù)代入公式,得
列出數(shù)學(xué)成績與化學(xué)成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人
將表中數(shù)據(jù)代入公式,得
列出數(shù)學(xué)成績與總分成績的2×2列聯(lián)表如下:單位:人
將表中數(shù)據(jù)代入公式,得根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨立性檢驗,我們推斷H0不成立,即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀與物理、化學(xué)、總分成績優(yōu)秀都有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.
1.知識清單:(1)分類變量;(2)2×2列聯(lián)表和等高堆積條形圖;(3)獨立性檢驗、χ2公式.2.方法歸納:數(shù)形結(jié)合.3.常見誤區(qū):(1)易對2×2列聯(lián)表計算錯誤;(2)對獨立性檢驗的原理不理解,導(dǎo)致不會用χ2分析問題.
1.下面是一個2×2列聯(lián)表:
則表中a,b處的值分別為(　　)A.94,96B.52,50C.52,60D.54,52
解析 ∵a+21=73,∴a=52,b=a+8=52+8=60.
2.通過隨機(jī)調(diào)查110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項運動,得到如下的列聯(lián)表:單位:人
零假設(shè)為H0:愛好該項運動與性別無關(guān).
則正確的結(jié)論是(　　)A.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān)B.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān)C.根據(jù)α=0.01的獨立性檢驗認(rèn)為愛好該項運動與性別有關(guān)D.根據(jù)α=0.01的獨立性檢驗認(rèn)為愛好該項運動與性別無關(guān)
解析 根據(jù)獨立性檢驗的思想方法,正確選項為C.
3.已知某企業(yè)有職工5 000人,其中男職工3 500人,女職工1 500人.該企業(yè)為了豐富職工的業(yè)余生活,決定新建職工活動中心.為此,該企業(yè)工會采用分層隨機(jī)抽樣的方法,隨機(jī)抽取了300名職工每周的平均運動時間(單位:h),匯總得到頻率分布表(如表所示),并據(jù)此來估計該企業(yè)職工每周的運動時間.
(1)求抽取的女職工的人數(shù).(2)①根據(jù)頻率分布表,求出m,n,p的值,補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖,并估計該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4 h的概率;
②若在樣本數(shù)據(jù)中,有60名女職工每周的平均運動時間不低于4 h,請完成以下2×2列聯(lián)表,并說明依據(jù)α=0.05的獨立性檢驗,能否認(rèn)為該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4 h與性別有關(guān)聯(lián).單位:人
解 (1)抽取的女職工的人數(shù)為300× =90.(2)①n=1-0.05-0.2-0.15-0.25-0.3=0.05,p=300×0.05=15,m=300-15-45-75-90-15=60.頻率分布直方圖如圖:
估計該企業(yè)職工每周的平均運動時間不低于4 h的概率為P=0.15+0.25+0.3+0.05=0.75= .

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8.3 分類變量與列聯(lián)表

版本： 人教A版 (2019)

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