1.了解隨機(jī)變量χ2的意義，通過(guò)對(duì)典型案例分析。2.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想和方法。
前面我們通過(guò)2×2列聯(lián)表整理成對(duì)分類變量的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)，并根據(jù)隨機(jī)事件頻率的穩(wěn)定性推斷兩個(gè)分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)． 對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大．因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算．
根據(jù)我們通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表8.3-3所示．
對(duì)于隨機(jī)樣本，表8.3-3中的頻數(shù)a，b，c，d都是隨機(jī)變量，而表8.3-2中的響應(yīng)數(shù)據(jù)是這些隨機(jī)變量的一次觀測(cè)結(jié)果．
思考：如何基于②中的四個(gè)等式及列聯(lián)表8.3-3中的數(shù)據(jù)，構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量，對(duì)成對(duì)的分類變量X和Y是否相互獨(dú)立作出推斷？
顯然，分別考慮③中的四個(gè)差的絕對(duì)值很困難．我們需要找到一個(gè)既合理又能夠計(jì)算分布的統(tǒng)計(jì)量，來(lái)推斷是否成立．一般來(lái)說(shuō)，若頻數(shù)的期望值較大，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較大；而若頻數(shù)的期望值較小，則③中相應(yīng)的差的絕對(duì)值也會(huì)較小．為了合理地平衡這種影響，我們將四個(gè)差的絕對(duì)值取平方后分別除以相應(yīng)的期望值再求和，得到如下的統(tǒng)計(jì)量：
思考：例1和例2都是基于同一組數(shù)據(jù)的分析，但卻得出了不同的結(jié)論，你能說(shuō)明其中的原因嗎？
事實(shí)上，如前所述，例1只是根據(jù)一個(gè)樣本的兩個(gè)頻率間存在差異得出兩校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率有差異的結(jié)論，并沒(méi)有考慮由樣本隨機(jī)性可能導(dǎo)致的錯(cuò)誤，所以那里的推斷依據(jù)不太充分．
解：零假設(shè)為H0：療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異．
將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表，如表8.3-5所示． 表8.3-5 單位：人
表8.3-6 單位：人
解：零假設(shè)為H0：吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián)．
總結(jié)上面的例子，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)：
（1）提出零假設(shè)H0：X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋．
（3）根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．
（4）在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律．
注意，上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整例如，在有些時(shí)候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問(wèn)題中給定的．
思考：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎？
簡(jiǎn)單地說(shuō)，反證法是在某種假設(shè)H0之下，推出一個(gè)矛盾結(jié)論，從而證明H0不成立；而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)H0之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于這個(gè)小概率．另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會(huì)犯錯(cuò)誤，但獨(dú)立性檢驗(yàn)會(huì)犯隨機(jī)性錯(cuò)誤．
1. 小概率值α的臨界值:忽略χ2的實(shí)際分布與該近似分布的誤差后，對(duì)于任何小概率值α，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)xα，使得P(χ2 ≥xα)=α成立. 我們稱xα為α的臨界值，這個(gè)臨界值就可作為判斷χ2大小的標(biāo)準(zhǔn)，概率值α越小，臨界值xα越大.
3. 基于小概率值α的檢驗(yàn)規(guī)則是:當(dāng)χ2≥xα?xí)r，我們就推斷H0不成立，即認(rèn)為X和Y不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2

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8.3 分類變量與列聯(lián)表

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 選擇性必修 第三冊(cè)

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