第七章本章總結(jié)提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升目錄索引 知識(shí)網(wǎng)絡(luò)·整合構(gòu)建專題突破·素養(yǎng)提升專題一　條件概率與全概率公式1.求條件概率有兩種方法:一種是基于樣本空間Ω,先計(jì)算P(A)和P(AB),再利用 求解;另一種是縮小樣本空間,即以A為樣本空間計(jì)算AB的概率.2.掌握條件概率與全概率運(yùn)算,有助于提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).【例1】 采購員要購買10個(gè)一包的電器元件.他的采購方法是:從一包中隨機(jī)抽查3個(gè),如果這3個(gè)元件都是好的,他才買下這一包.假定含有4個(gè)次品的包數(shù)占30%,而其余包中各含1個(gè)次品.求:(1)采購員拒絕購買的概率;(2)在采購員拒絕購買的條件下,抽中的一包中含有4個(gè)次品的概率.規(guī)律方法　條件概率的計(jì)算要注意以下三點(diǎn):(1)明白是在誰的條件下,計(jì)算誰的概率.(2)明確P(A),P(B|A)以及P(AB)三者之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)三者之間的互化.(3)理解全概率公式P(B)= P(Ai)·P(B|Ai)中化整為零的計(jì)算思想.變式訓(xùn)練1[2023福建三明期中]某同學(xué)買了7個(gè)盲盒,每個(gè)盲盒中都有一個(gè)玩具,有4個(gè)裝小兔玩具和3個(gè)裝小狗玩具.(1)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒,在第1次取到小兔盲盒的條件下,第2次取到小兔盲盒的概率;(2)依次不放回地從中取出2個(gè)盲盒,求第2次取到的是小狗盲盒的概率.專題二　離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1.均值和方差都是隨機(jī)變量重要的數(shù)字特征,方差是建立在均值的基礎(chǔ)之上,它表明了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于它的均值的集中與離散程度,二者的聯(lián)系密切,在實(shí)際問題應(yīng)用比較廣泛.2.掌握離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差,有助于提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).角度1.二項(xiàng)分布的均值、方差【例2】 某廠有4臺(tái)大型機(jī)器,在一個(gè)月中,一臺(tái)機(jī)器至多出現(xiàn)1次故障,且每臺(tái)機(jī)器是否出現(xiàn)故障是相互獨(dú)立的,出現(xiàn)故障時(shí)需1名工人進(jìn)行維修,每臺(tái)機(jī)器出現(xiàn)故障需要維修的概率為 .(1)問該廠至少有多少名維修工人才能保證每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修的概率不小于90%?(2)已知1名工人每月只有維修1臺(tái)機(jī)器的能力,每月需支付給每位工人1萬元的工資,每臺(tái)機(jī)器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障能及時(shí)維修,能使該廠產(chǎn)生5萬元的利潤,否則將不產(chǎn)生利潤.若該廠現(xiàn)有2名工人,求該廠每月獲利的均值.設(shè)該廠有n名工人,則“每臺(tái)機(jī)器在任何時(shí)刻同時(shí)出現(xiàn)故障時(shí)能及時(shí)進(jìn)行維修”為X≤n,X=0,X=1,X=2,…,X=n,則角度2.超幾何分布的均值【例3】 為了解某地區(qū)人民對(duì)體育運(yùn)動(dòng)的熱情和對(duì)運(yùn)動(dòng)相關(guān)知識(shí)的掌握情況,該地區(qū)在各社區(qū)開展了有獎(jiǎng)知識(shí)競賽,參賽人員所得分?jǐn)?shù)的分組區(qū)間為(50,60],(60,70],(70,80],(80,90],(90,100],由此得到總體的頻率統(tǒng)計(jì)表,再利用分層隨機(jī)抽樣的方式隨機(jī)抽取20名居民進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)研.(1)若打算從這20名參賽居民中依次抽取3名進(jìn)行調(diào)查分析,求在第一次抽出1名居民分?jǐn)?shù)在區(qū)間(70,80]上的條件下,后兩次抽出的2名居民分?jǐn)?shù)位于區(qū)間(80,90]上的概率;(2)若從得分在80分以上的樣本中隨機(jī)選取2人,用X表示得分高于90分的人數(shù),求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解 (1)由題意得0.1+2a+0.4+0.2+a=1,所以a=0.1.則得分位于(70,80]上的共有8人,得分位于(80,90]上的共有4人,記事件A:第一次抽出1名居民分?jǐn)?shù)在區(qū)間(70,80]上,記事件B:后兩次抽出的2名居民分?jǐn)?shù)在區(qū)間(80,90]上,(2)得分位于80分以上的共有6人,其中得分位于區(qū)間(90,100]上的共有2人,所以X的可能取值有0,1,2,規(guī)律方法　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟(1)理解X的意義,寫出X可能的全部取值.(2)求X取每個(gè)值的概率.(3)寫出X的分布列.(4)由分布列和均值的定義求出E(X).(5)由方差的定義,求D(X),若X~B(n,p),則可直接利用公式求E(X)=np,D(X)=np(1-p).變式訓(xùn)練2福州紙傘是歷史悠久的中國傳統(tǒng)手工藝品,屬于福州三寶之一,紙傘的制作工序大致分為三步:第一步削傘架,第二步裱傘面;第三步繪花刷油.一個(gè)優(yōu)秀的作品除了需要有很好的素材外,更要有制作上的技術(shù)要求,已知某工藝師在每個(gè)環(huán)節(jié)制作合格的概率分別為 ,只有當(dāng)每個(gè)環(huán)節(jié)制作都合格才認(rèn)為是一次成功制作.(1)求該工藝師進(jìn)行3次制作,恰有一件優(yōu)秀作品的概率;(2)若該工藝師制作4次,其中優(yōu)秀作品數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.專題三　正態(tài)分布的綜合問題解決正態(tài)分布的應(yīng)用題,關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化,同時(shí)注意以下兩點(diǎn):(1)注意3σ原則,記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)密度曲線具有完美的對(duì)稱性,因此運(yùn)用對(duì)稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為?？键c(diǎn).【例4】 [2023江蘇南京期中]新高考改革后某省采用“3+1+2”高考模式,“3”指的是語文、數(shù)學(xué)、外語,這三門科目是必選的;“1”指的是要在物理、歷史里選一門;“2”指考生要在生物學(xué)、化學(xué)、思想政治、地理4門中選擇2門.(1)若按照“3+1+2”模式選科,求甲、乙兩個(gè)學(xué)生恰有四門學(xué)科相同的選法種數(shù).(2)某教育部門為了調(diào)查學(xué)生語數(shù)外三科成績,現(xiàn)從當(dāng)?shù)夭煌瑢哟蔚膶W(xué)校中抽取高一學(xué)生4 000名參加語數(shù)外的網(wǎng)絡(luò)測(cè)試(滿分450分),假設(shè)該次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試成績服從正態(tài)分布N(240,602).①估計(jì)4 000名學(xué)生中成績介于180分到360分之間的有多少人;②某校對(duì)外宣傳“我校200人參與此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試,有10名同學(xué)獲得425分以上的高分”,請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)分析上述宣傳語的可信度.參考數(shù)據(jù):若X~N(μ,σ2),則P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7;P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5;P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.(2)①設(shè)此次網(wǎng)絡(luò)測(cè)試的成績記為X,則X~N(240,602),則μ=240,σ=60,μ+2σ=240+120=360,μ-σ=240-60=180,4 000×0.818 6=3 274.4,所以估計(jì)4 000名學(xué)生中成績介于180分到360分之間的有3 274人.②不可信.μ+3σ=240+3×60=420

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