1.[探究點(diǎn)二]為考察某種藥物對(duì)某種疾病的治療效果,在四個(gè)不同的實(shí)驗(yàn)室取相同的個(gè)體進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn),根據(jù)四個(gè)實(shí)驗(yàn)室得到的列聯(lián)表畫出如下四個(gè)等高堆積條形圖,最能體現(xiàn)該藥物對(duì)治療該種疾病有效果的等高堆積條形圖是(　　)
解析 根據(jù)四個(gè)列聯(lián)表對(duì)應(yīng)的等高堆積條形圖知,選項(xiàng)C中不服藥與服藥時(shí)患該種疾病的差異最大,它最能體現(xiàn)該藥物對(duì)預(yù)防該種疾病有效果.故選C.
2.[探究點(diǎn)二]疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行,用于人體預(yù)防接種的生物制品,其前期研發(fā)過程中,一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測(cè)試,為了考察某種疫苗預(yù)防效果,在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí),得到如下2×2列聯(lián)表:單位:只
零假設(shè)為H0:該種疫苗對(duì)傳染病無效.現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只,取到已注射疫苗的動(dòng)物概率為 ,則下列判斷錯(cuò)誤的是(　　)A.已注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10B.從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只,發(fā)病的概率為C.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下,認(rèn)為該疫苗有效D.該疫苗的有效率為75%
解析 由題知,已注射疫苗的動(dòng)物共40只,未注射疫苗的動(dòng)物共60只,補(bǔ)充列聯(lián)表如下: 單位:只
由此可得A,B正確.計(jì)算得χ2= ≈16.67>10.828=x0.001,根據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為該疫苗有效,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001,C正確.易知D錯(cuò)誤.故選D.
3.[探究點(diǎn)二·2023福建廈門一中期末](多選題)某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度之間的關(guān)系,環(huán)境監(jiān)測(cè)部門對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研,隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5濃度和SO2濃度(單位:μg/m3),得到如下所示的表格:單位:μg/m3
零假設(shè)為H0:該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān).經(jīng)計(jì)算A.該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75 μg/m3,且SO2濃度不超過150 μg/m3的概率估計(jì)值是0.64B.若2×2列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來的10倍,χ2的值不會(huì)發(fā)生變化C.根據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度無關(guān)D.能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的條件下,認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)
解析 補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下: 單位:μg/m3
對(duì)于A,該市一天中,空氣中PM2.5濃度不超過75 μg/m3,且SO2濃度不超過150 μg/m3的概率估計(jì)值為 =0.64,故A正確;對(duì)于B,χ2= ≈74.844≠7.484 4,故B不正確;因?yàn)?.484 4>6.635=x0.01,由表可知,根據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01,故D正確,C不正確.故選AD.
4.[探究點(diǎn)一](多選題)有兩個(gè)分類變量X,Y,其2×2列聯(lián)表如下表所示:
其中a,15-a均為大于5的整數(shù),若依據(jù)小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為X,Y有關(guān)聯(lián),則a的值可以為(　　)A.6B.7C.8D.9
5.[探究點(diǎn)一]在對(duì)某小學(xué)的學(xué)生進(jìn)行吃零食的調(diào)查中,得到數(shù)據(jù)如下表:單位:人
根據(jù)上述數(shù)據(jù)分析,可得χ2約為　　　　.?
6.[探究點(diǎn)一]有人發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象,中國人的郵箱名稱里含有數(shù)字比較多,而外國人郵箱名稱里含有數(shù)字比較少.為了研究國籍和郵箱名稱里含有數(shù)字的關(guān)系,小明收集了124個(gè)郵箱名稱,其中中國人的64個(gè),外國人的60個(gè),中國人的郵箱中有43個(gè)含數(shù)字,外國人的郵箱中有27個(gè)含數(shù)字.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立2×2列聯(lián)表;(2)他發(fā)現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中,外國人郵箱里含數(shù)字的也不少,他不能斷定國籍和郵箱名稱里含有數(shù)字是否有關(guān)聯(lián),你能依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)幫他判斷一下嗎?
解 (1)2×2列聯(lián)表如下:單位:個(gè)
(2)零假設(shè)為H0:國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字無關(guān)聯(lián).由表中數(shù)據(jù)依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為國籍和郵箱名稱里是否含有數(shù)字有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
7.為了判斷英語詞匯量與閱讀水平是否相互獨(dú)立,某語言培訓(xùn)機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了100位英語學(xué)習(xí)者進(jìn)行調(diào)查.零假設(shè)為H0:英語詞匯量與閱讀水平無關(guān).經(jīng)過計(jì)算,χ2的觀測(cè)值為7,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析,下列說法正確的是(　　)A.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平無關(guān)B.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.005的前提下,認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)C.依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下,可以認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)
解析 由題意知χ2=7>6.635=x0.01,根據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01.
8.(多選題)針對(duì)時(shí)下流行的某社交平臺(tái),某高校對(duì)學(xué)生性別和喜歡該平臺(tái)是否有關(guān)聯(lián)進(jìn)行了一次調(diào)查,其中被調(diào)查的男生、女生人數(shù)相同,男生喜歡該平臺(tái)的人數(shù)占男生人數(shù)的 ,女生喜歡該平臺(tái)的人數(shù)占女生人數(shù)的 .零假設(shè)為H0:喜歡該平臺(tái)和性別無關(guān)聯(lián).若依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為喜歡該平臺(tái)和性別有關(guān)聯(lián),則調(diào)查人數(shù)中男生的人數(shù)可能為(　　)A.25B.45C.60D.75
解析 設(shè)男生的人數(shù)為5n(n∈N*),根據(jù)題意列出2×2列聯(lián)表如下: 單位:人
因?yàn)橐罁?jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為喜歡該平臺(tái)和性別有關(guān)聯(lián),所以χ2≥3.841,即 ≥3.841,解得n≥8.066 1.因?yàn)閚∈N*,所以根據(jù)選項(xiàng)調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為45,60或75.故選BCD.
9.千百年來,我國勞動(dòng)人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏色等的變化,總結(jié)了豐富的“看云識(shí)天氣”的經(jīng)驗(yàn),并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語,如“天上鉤鉤云,地上雨淋淋”“日落云里走,雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)證“日落云里走,雨在半夜后”,觀察了所在地區(qū)A的100天日落和夜晚天氣,得到如下2×2列聯(lián)表:單位:天
計(jì)算得到χ2≈19.05,下列小波對(duì)地區(qū)A天氣判斷不正確的是(　　)A.夜晚下雨的概率約為B.未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為C.在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下,認(rèn)為“日落云里走”與“夜晚下雨”有關(guān)聯(lián)D.依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),認(rèn)為“日落云里走”與“夜晚下雨”無關(guān)聯(lián)
解析 由題意,把頻率看作概率可得夜晚下雨的概率約為 ,故A正確;未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為 ,故B正確;由χ2≈19.05>10.828=x0.001,根據(jù)臨界值表,可得在犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001的前提下,認(rèn)為“日落云里走”與“夜晚下雨”有關(guān)聯(lián),故C正確,D錯(cuò)誤.
10.某學(xué)校為了制定治理學(xué)校門口上學(xué)、放學(xué)期間家長接送孩子亂停車現(xiàn)象的措施,對(duì)全校學(xué)生家長進(jìn)行了問卷調(diào)查.根據(jù)從中隨機(jī)抽取的50份調(diào)查問卷,得到了如下的列聯(lián)表:單位:人
則依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為同意限定區(qū)域停車與家長的性別　　　　　.(填“有關(guān)聯(lián)”或“無關(guān)聯(lián)”)?
解析 零假設(shè)為H0:同意限定區(qū)域停車與家長的性別無關(guān)聯(lián).因?yàn)棣?= ≈8.333>7.879=x0.005,所以依據(jù)α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為同意限定區(qū)域停車與家長的性別有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.
11.對(duì)196個(gè)接受心臟搭橋手術(shù)的病人和196個(gè)接受血管清障手術(shù)的病人進(jìn)行了3年的跟蹤研究,調(diào)查他們是否又發(fā)作過心臟病,調(diào)查結(jié)果如下表所示:單位:人
試根據(jù)上述數(shù)據(jù)計(jì)算χ2≈　　　　　,根據(jù)小概率值α=0.1的獨(dú)立性檢驗(yàn),這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響　　　　　差別.(填“有”或“沒有”)?
解析 零假設(shè)為H0:這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),可以求得根據(jù)小概率值α=0.1的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn),我們沒有充分的證據(jù)推斷H0不成立,即認(rèn)為這兩種手術(shù)對(duì)病人又發(fā)作心臟病的影響沒有差別.
12.書籍是文化的重要載體,讀書是繼承文化的重要方式.某地區(qū)為了解學(xué)生課余時(shí)間的讀書情況,隨機(jī)抽取了n名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,根據(jù)調(diào)查得到的學(xué)生日均課余讀書時(shí)間繪制成如圖所示的頻率分布直方圖,將日均課余讀書時(shí)間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“讀書之星”,日均課余讀書時(shí)間低于40分鐘的學(xué)生稱為“非讀書之星”.已知抽取的樣本中日均課余讀書時(shí)間低于10分鐘的有10人.
(1)求n,p的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為“讀書之星”與性別有關(guān)聯(lián)?單位:人
(3)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率,現(xiàn)從該地區(qū)大量學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生,每次抽取1名,已知每個(gè)人是否被抽到互不影響,記被抽取的“讀書之星”人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和均值E(X).
解 (1)因?yàn)?0.005+p+0.018+0.020+0.022+0.025)×10=1,所以p=0.01.所以n= =100.(2)因?yàn)閚=100,所以“讀書之星”有100×[(0.02+0.005)×10]=25(人).從而2×2列聯(lián)表如下所示:
零假設(shè)為H0:“讀書之星”與性別無關(guān)聯(lián).將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算得依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),沒有充分證據(jù)推斷H0不成立,因此可以認(rèn)為H0成立,即認(rèn)為“讀書之星”與性別無關(guān)聯(lián).
13.據(jù)統(tǒng)計(jì),某公司200名員工中90%的人使用某APP,其中每天使用此APP時(shí)間在一小時(shí)以內(nèi)的有60人,其余的員工每天使用此APP在一小時(shí)以上.若將員工分成青年(年齡小于40歲)和中年(年齡不小于40歲)兩個(gè)階段,則使用此APP的人中75%是青年人.若規(guī)定每天使用此APP時(shí)間在一小時(shí)以上為經(jīng)常使用此APP,則經(jīng)常使用此APP的員工中 都是青年人.依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為經(jīng)常使用此APP與年齡有關(guān)聯(lián)?
解 由已知得該公司員工中使用某APP的有200×90%=180(人),經(jīng)常使用此APP的有180-60=120(人),其中青年人有120× =80(人),使用此APP的人中青年人有180×75%=135(人).作出列聯(lián)表如下:單位:人
零假設(shè)為H0:經(jīng)常使用此APP與年齡無關(guān)聯(lián).將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式可得χ2= ≈13.333>10.828=x0.001,依據(jù)α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為經(jīng)常使用此APP與年齡有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001.
14.某工廠為了提高生產(chǎn)效率,對(duì)生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了技術(shù)改造,為了對(duì)比技術(shù)改造前后的效果,采集了技術(shù)改造前后各20次連續(xù)正常運(yùn)行的時(shí)間長度(單位:天)數(shù)據(jù),整理如下:改造前:19,31,22,26,34,15,22,25,40,35,18,16,28,23,34,15,26,20,24,21改造后:32,29,41,18,26,33,42,34,37,39,33,22,42,35,43,27,41,37,38,36(1)完成下面的列聯(lián)表,依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否據(jù)此判斷技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異?單位:天
(2)工廠的生產(chǎn)設(shè)備需要進(jìn)行維護(hù),工廠對(duì)生產(chǎn)設(shè)備的維護(hù)費(fèi)用包括正常維護(hù)費(fèi)和保障維護(hù)費(fèi)兩種.對(duì)生產(chǎn)設(shè)備設(shè)定維護(hù)周期為T天,即從開工運(yùn)行到第kT天(k∈N*)進(jìn)行維護(hù).生產(chǎn)設(shè)備在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)設(shè)置幾個(gè)維護(hù)周期,每個(gè)維護(hù)周期相互獨(dú)立.在一個(gè)維護(hù)周期內(nèi),若生產(chǎn)設(shè)備能連續(xù)運(yùn)行,則只產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi),而不會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi);若生產(chǎn)設(shè)備不能連續(xù)運(yùn)行,則除產(chǎn)生一次正常維護(hù)費(fèi)外,還會(huì)產(chǎn)生保障維護(hù)費(fèi).經(jīng)測(cè)算,正常維護(hù)費(fèi)為0.5萬元/次;保障維護(hù)費(fèi)第一次為0.2萬元/周期,此后每增加一次保障維護(hù)費(fèi)增加0.2萬元.現(xiàn)制定生產(chǎn)設(shè)備一個(gè)生產(chǎn)周期(以120天計(jì))內(nèi)的維護(hù)方案:T=30,k=1,2,3,4.以生產(chǎn)設(shè)備在技術(shù)改造后一個(gè)維護(hù)周期內(nèi)能連續(xù)正常運(yùn)行的頻率作為概率,求一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)維護(hù)費(fèi)用的分布列及均值.
解 (1)零假設(shè)為H0:技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間無差異.由題意可得列聯(lián)表如下:單位:天
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計(jì)算得到依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷H0不成立,即認(rèn)為技術(shù)改造前后的連續(xù)正常運(yùn)行時(shí)間有差異,此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.

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8.3 分類變量與列聯(lián)表

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