第2課時(shí)　球的表面積和體積知識點(diǎn)　球的表面積和體積1．球的表面積如果球的半徑為R，那么它的表面積S＝4πR2.2．球的體積如果球的半徑為R，那么它的體積V＝πR3.1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)決定球的大小的因素是球的半徑．(　　)(2)球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓的半徑等于球的半徑．(　　)(3)球的體積V與球的表面積S的關(guān)系為V＝S.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)√2．做一做　 　　　　　　 (1)若球的過球心的圓面圓周長是c，則這個(gè)球的表面積是(　　)A.  B.  C.  D．2πc2(2)表面積為4π的球的半徑是________．(3)直徑為2的球的體積是________．(4)已知一個(gè)球的體積為，則此球的表面積為________．答案　(1)C　(2)1　(3)　(4)4π題型一  球的表面積與體積例1　(1)已知球的直徑為6 cm，求它的表面積和體積；(2)已知球的表面積為64π，求它的體積；(3)已知球的體積為，求它的表面積．[解]　(1)∵球的直徑為6 cm，∴球的半徑R＝3 cm.∴球的表面積S球＝4πR2＝36π(cm2)，球的體積V球＝πR3＝36π(cm3)．(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.∴V球＝πR3＝π×43＝.(3)∵V球＝πR3＝，∴R3＝125，R＝5.∴S球＝4πR2＝100π.　求球的體積與表面積的方法(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解．(2)半徑和球心是球的關(guān)鍵要素，把握住這兩點(diǎn)，計(jì)算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了．(1)兩個(gè)球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________；(2)已知球的大圓周長為16π cm，求這個(gè)球的表面積．答案　(1)　(2)見解析解析　(1)設(shè)大、小兩球半徑分別為R，r，則由題意可得∴∴它們的體積和為πR3＋πr3＝.(2)設(shè)球的半徑為R cm，由題意可知2πR＝16π，解得R＝8，則S球＝4πR2＝256π(cm2).  題型二  球的截面問題例2　一平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　)A.π  B．4π  C．4π  D．6π[解析]　利用截面圓的性質(zhì)先求得球的半徑長．如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝，O′M＝1，∴OM＝ ＝，即球的半徑為，∴V＝π×()3＝4π.[答案]　B　球的截面的性質(zhì)(1)球的軸截面(過球心的截面)是將球的問題(立體幾何問題)轉(zhuǎn)化為平面問題(圓的問題)的關(guān)鍵，因此在解決球的有關(guān)問題時(shí)，我們必須抓住球的軸截面，并充分利用它來分析解決問題．(2)用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面，如圖，球的截面有以下性質(zhì)：①球心和截面圓圓心的連線垂直于截面；②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r滿足關(guān)系d＝. (1)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6 cm，若不計(jì)容器厚度，則球的體積為(　　)A. cm3B. cm3C. cm3D. cm3(2)球的表面積為400π，一個(gè)截面的面積為64π，則球心到截面的距離為________．答案　(1)A　(2)6解析　(1)如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝π×53＝π(cm3)．(2)如圖，由已知條件知球的半徑R＝10，截面圓的半徑r＝8，∴球心到截面的距離h＝＝6.  題型三  球的組合體問題例3　設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　)A．3πa2  B．6πa2  C．12πa2  D．24πa2[解析]　作出圖形的軸截面如圖所示，點(diǎn)O即為該球的球心，線段AB即為長方體底面的對角線，長度為＝a，線段BC即為長方體的高，長度為a，線段AC即為長方體的體對角線，長度為＝a，則球的半徑R＝＝a，所以球的表面積S＝4πR2＝6πa2.[答案]　B[條件探究]　將本例中長方體改為棱長為a的正四面體，則球的表面積如何求？解　如圖，過A作底面BCD的垂線，垂足為E，則E為△BCD的中心，連接BE.∵棱長為a，∴BE＝a×＝a.∴在Rt△ABE中，AE＝＝a.設(shè)球心為O，半徑為R，則(AE－R)2＋BE2＝R2，∴R＝a，∴S球＝4π×2＝πa2.　1.正方體的內(nèi)切球球與正方體的六個(gè)面都相切，稱球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，此時(shí)球的半徑為r1＝，過在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)作截面如圖(1)．2．長方體的外接球長方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球面上，稱球?yàn)殚L方體的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點(diǎn)的三條棱長分別為a，b，c，過球心作長方體的對角線，則球的半徑為r2＝，如圖(2)．3．正四面體的外接球正四面體的棱長a與外接球的半徑R的關(guān)系為：2R＝a.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為(　　)A．πa2  B.πa2  C.πa2  D．5πa2答案　B解析　由題意知，該三棱柱為正三棱柱，且側(cè)棱與底面邊長相等，均為a.如圖，P為三棱柱上底面的中心，O為球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半徑R＝OA滿足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2. 1．將棱長為2的正方體木塊削成一個(gè)體積最大的球，則該球的體積為(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，所以球的半徑為1，其體積是×π×13＝.2．正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2，則該球的表面積為(　　)A.  B．16π  C．9π  D.答案　A解析　如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOE中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴該球的表面積為4πr2＝4π×2＝.3．三個(gè)球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大球的表面積是其余兩個(gè)球的表面積之和的(　　)A．1倍  B．2倍  C.倍  D.倍答案　C解析　設(shè)最小球的半徑為r，則另外兩個(gè)球的半徑分別為2r,3r，其表面積分別為4πr2,16πr2,36πr2，故最大球是其余兩個(gè)球的表面積之和的＝倍．4．一個(gè)距離球心為的平面截球所得的圓面面積為π，則球的體積為________．答案　解析　設(shè)所得的圓面的半徑為r，球的半徑為R，則由π＝πr2，得r＝1，又r2＋()2＝R2，∴R＝2.∴V＝πR3＝.5．有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時(shí)容器中水的深度．解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面．根據(jù)切線的性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時(shí)，水深CP為3r，水面的半徑AC為r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h，從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π·2·h＝πh3，由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度為r.  

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊電子課本

8.3 簡單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

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