8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積第1課時(shí)　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積和體積知識(shí)點(diǎn)一　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積1．旋轉(zhuǎn)體的表面積 2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式之間的關(guān)系S圓柱側(cè)＝2πrlS圓臺(tái)側(cè)＝π(r′＋r)lS圓錐側(cè)＝πrl.知識(shí)點(diǎn)二　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積幾何體的體積 幾何體體積圓柱V圓柱＝πr2h(r為底面半徑)圓錐V圓錐＝πr2h(r為底面半徑)圓臺(tái)V圓臺(tái)＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分別為上、下底面半徑) 1．對(duì)于柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式的三點(diǎn)認(rèn)識(shí)(1)等底、等高的兩個(gè)柱體的體積相同．(2)等底、等高的圓錐和圓柱的體積之間的關(guān)系可以通過實(shí)驗(yàn)得出，等底、等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍．(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式之間的關(guān)系．V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.2．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積分別是它們側(cè)面展開圖的面積，因此弄清側(cè)面展開圖的形狀及側(cè)面展開圖中各線段與原旋轉(zhuǎn)體的關(guān)系，是掌握它們的側(cè)面積公式及解有關(guān)問題的關(guān)鍵．3．計(jì)算圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積，關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面面積和高，要充分運(yùn)用旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)過圓柱軸的平面截圓柱所得截面是矩形．(　　)(2)錐體的體積等于底面積與高之積．(　　)(3)圓臺(tái)的高就是相應(yīng)母線的長(zhǎng)．(　　)答案　(1)√　(2)×　(3)× 2．做一做(1)已知圓柱的底面半徑r＝1，母線長(zhǎng)l與底面的直徑相等，則該圓柱的表面積為(　　)A．6π  B．8π  C．9π  D．10π(2)若圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的側(cè)面積為________．(3)已知某圓臺(tái)的上、下底面面積分別是π，4π，側(cè)面積是6π，則這個(gè)圓臺(tái)的體積是________．答案　(1)A　(2)2π　(3)題型一  旋轉(zhuǎn)體的表面積例1　如圖所示，在邊長(zhǎng)為4的正三角形ABC中，E，F分別是AB，AC的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，H，G分別是BD，CD的中點(diǎn)，若將正三角形ABC繞AD旋轉(zhuǎn)180°，求陰影部分形成的幾何體的表面積．[解]　該旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓錐挖去一個(gè)圓柱后形成的幾何體．令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，則R＝2，r＝1，l＝4，h＝.所以圓錐的表面積S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圓柱的側(cè)面積S2＝2πrh＝2π×1×＝2π.所以所求幾何體的表面積S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π.求幾何體的表面積問題，通常將所給幾何體分成多個(gè)基本幾何體，再通過這些基本幾何體的表面積進(jìn)行求和或作差，從而獲得幾何體的表面積，另外有時(shí)也會(huì)用到將幾何體展開求其展開圖的面積進(jìn)而得表面積．圓臺(tái)的上、下底面半徑和高的比為1∶4∶4，若母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的表面積為(　　)A．81π  B．100π  C．168π  D．169π答案　C解析　圓臺(tái)的軸截面如圖所示，設(shè)上底面半徑為r，下底面半徑為R，則它的母線長(zhǎng)為l＝ ＝ ＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.故S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，S表＝S側(cè)＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.題型二  旋轉(zhuǎn)體的體積  例2　如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，其中主視圖是腰長(zhǎng)為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是(　　)A.  B.  C.  D.[解析]　由三視圖，可知給定的幾何體是一個(gè)圓錐的一半，故所求的體積為××π×12×＝.[答案]　B　空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略(1)求簡(jiǎn)單幾何體的體積，若所給的幾何體為柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式求解．(2)求以三視圖為背景的幾何體的體積，應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解．將一個(gè)圓形紙片沿半徑剪開為兩個(gè)扇形，其圓心角之比為3∶4，再將它們卷成兩個(gè)圓錐側(cè)面，求這兩個(gè)圓錐的體積之比．解　設(shè)圓的半徑為r，則兩個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)為r.由已知可得兩個(gè)圓錐的底面半徑分別為＝r，＝r，所以兩圓錐的體積之比為＝.題型三  組合體的表面積與體積  例3　如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)過點(diǎn)C作l⊥CB，以l為軸旋轉(zhuǎn)一周．求旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積．[解]　如題圖，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a.∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.∴DO＝DD′＝a.由于以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體為圓柱中挖去一個(gè)倒放的與圓柱等高的圓錐．由上述計(jì)算知，圓柱的母線長(zhǎng)為a，底面半徑為2a，圓錐的母線長(zhǎng)為2a，底面半徑為a.∴圓柱的側(cè)面積S1＝2π·2a·a＝4πa2，圓錐的側(cè)面積S2＝π·a·2a＝2πa2，圓柱的底面積S3＝π(2a)2＝4πa2，圓錐的底面積S4＝πa2.∴組合體上底面面積S5＝S3－S4＝3πa2.∴旋轉(zhuǎn)體的表面積S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.又由題意知形成的幾何體的體積為一個(gè)圓柱的體積減去一個(gè)圓錐的體積．V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3.V錐＝S′h＝·π·a2·a＝πa3.∴V＝V柱－V錐＝4πa3－πa3＝πa3.　求組合體的表面積與體積的方法(1)求解幾何體的體積與表面積時(shí)還經(jīng)常用割補(bǔ)法．補(bǔ)法是指把不規(guī)則(或復(fù)雜的)幾何體延伸或補(bǔ)成規(guī)則的(或簡(jiǎn)單的)幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形；割法是把不規(guī)則的(或復(fù)雜的)幾何體切割成規(guī)則的(或簡(jiǎn)單的)幾何體．(2)解答本題時(shí)易出現(xiàn)忘加圓錐側(cè)面積或忘減去圓錐底面積的錯(cuò)誤，導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是對(duì)表面積的概念掌握不牢．若直角梯形的一個(gè)底角為45°，下底長(zhǎng)為上底長(zhǎng)的，這個(gè)梯形繞下底所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體的表面積是(5＋)π，求這個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積．解　如圖所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，繞AB邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組合而成的幾何體．過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，設(shè)CD＝x，AB＝x，則AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x.S表＝S圓柱底＋S圓柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2.根據(jù)題設(shè)，πx2＝(5＋)π，則x＝2.所以旋轉(zhuǎn)體的體積V＝π·AD2·CD＋·CE2·BE＝π×12×2＋×12×1＝. 1．若圓錐的高等于底面直徑，則它的底面積與側(cè)面積之比為(　　)A．1∶2   B．1∶C．1∶   D.∶2答案　C解析　設(shè)圓錐底面半徑為r，則高h＝2r，∴其母線長(zhǎng)l＝r.∴S側(cè)＝πrl＝πr2，S底＝πr2，∴S底∶S側(cè)＝1∶.故選C.2．已知圓錐SO的高為4，體積為4π，則底面半徑r＝_______.答案　解析　∵圓錐SO的高為4，體積為4π，∴4π＝πr2，∴r＝.3．把圓柱沿軸截面剖開，取其中一塊為底座，并在軸截面上設(shè)置一個(gè)四棱錐做成一個(gè)小玩具，直觀圖和正(主)視圖如圖所示，則該小玩具的體積為________．答案　16π＋解析　由主視圖數(shù)據(jù)可知半圓柱的半徑為2，母線長(zhǎng)為8，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4和8的矩形，高為4，所以體積V＝π×22×8＋×4×8×4＝16π＋. 4．一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖如圖所示，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求這個(gè)圓臺(tái)的表面積和體積．解　設(shè)圓臺(tái)的上底半徑為r，下底半徑為R.由題圖知母線l＝8,2πr＝×16,2πR＝×24，所以r＝2，R＝3.S側(cè)＝π×(2＋3)×8＝40π，所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，h＝＝＝3，所以V＝(4π＋＋9π)×3＝19π.5．已知底面半徑為 cm，母線長(zhǎng)為 cm的圓柱，挖去一個(gè)以圓柱上底面圓心為頂點(diǎn)，下底面為底面的圓錐，求所得幾何體的表面積及體積．解　作軸截面如圖，設(shè)挖去的圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，則r＝，AD＝，l＝ ＝＝3.故幾何體的表面積為S＝πrl＋πr2＋2πr·AD＝π××3＋π×()2＋2π××＝3π＋3π＋6π＝(3＋3＋6)π(cm2)．幾何體的體積為V＝V圓柱－V圓錐＝π·r2·AD－πr2·AD＝π×3×－×π×3×＝2π(cm3)．   

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

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