8.3  簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積（精講）考法一  多面體表面積【例1】（1）（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）已知正六棱柱的高為，底面邊長(zhǎng)為，則它的表面積為（    ）A． B．C． D．（2）（2021·江蘇南京市）已知一個(gè)正三棱臺(tái)的兩個(gè)底面的邊長(zhǎng)分別為和，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該棱臺(tái)的側(cè)面積為（      ）.A． B． C． D．【答案】（1）A（2）B【解析】（1）由題知側(cè)面積為，兩底面積之和為，所以表面積.故選：A.（2）由題意可知，該棱臺(tái)的側(cè)面為上下底邊長(zhǎng)為和，腰長(zhǎng)為的等腰梯形等腰梯形的高為：等腰梯形的面積為：棱臺(tái)的側(cè)面積為：本題正確選項(xiàng)：【一隅三反】1．（2020·湖南懷化市）已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面的對(duì)角線長(zhǎng)是，則這個(gè)正四棱柱的表面積為(    )A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意側(cè)棱長(zhǎng)為．所以表面積為：．故選：A.2．（2020·張家界市民族中學(xué)高一月考）棱長(zhǎng)為的正四面體的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖由正四面體的概念可知，其四個(gè)面均是全等的等邊三角形，由其棱長(zhǎng)為1，所以，所以可知：正四面體的表面積為，故選：A3．（2020·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）正三棱錐底面邊長(zhǎng)為，高為，則此正三棱錐的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈酌嬲切沃懈邽?/span>，其重心到頂點(diǎn)距離為，且棱錐高，所以利用直角三角形勾股定理可得側(cè)棱長(zhǎng)為，斜高為，所以側(cè)面積為.選A.考法二  多面體臺(tái)體積【例2】（2020·江蘇南京市）底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是（    ）A． B．1 C． D．【答案】A【解析】底面邊長(zhǎng)為2，高為1的正三棱柱的體積是故選：A【一隅三反】1．（2020·河北秦皇島市）如圖，已知高為3的棱柱的底面是邊長(zhǎng)為1的正三角形，則三棱錐的體積為（ ）
A． B． C． D．【答案】C【解析】三棱錐的體積為：故選：C2．（2020·廣東惠州市·高一期末）正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，則該四棱錐的體積為（    ）A． B． C． D．8【答案】C【解析】∵正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都等于2，∴該四棱錐的體積.故選：C.3．（2020·六盤山高級(jí)中學(xué)高一月考）已知棱長(zhǎng)均為4，底面為正方形的四棱錐如圖所示，求它的體積.【答案】【解析】如圖所示：連接AC，BD交于點(diǎn)O，連接SO，因?yàn)樗睦忮F的棱長(zhǎng)均為4，所以平面ABCD，即SO為四棱錐的高，所以,所以，所以.4．（2020·北京高一期末）如圖，正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為3.
 （1）求正三棱錐的表面積；（2）求正三棱錐的體積.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)D，連接，在中，可得.∴.∵正三棱錐的三個(gè)側(cè)面是全等的等腰三角形，∴正三棱錐的側(cè)面積是.∵正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴.則正三棱錐的表面積為；（2）連接，設(shè)O為正三角形的中心，則底面.且.在中，.∴正三棱錐的體積為.考法三  旋轉(zhuǎn)體的表面積【例3】（2020·山東德州市·高一期末）若圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，且圓錐的母線長(zhǎng)為，則該圓錐的側(cè)面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖圓錐的軸截面是頂角為，即，，,所以，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：C.【一隅三反】1．（2021·浙江高一期末）一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比值是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的兩個(gè)底面積為，圓柱的表面積為，圓柱的表面積與側(cè)面積的比為：，故選：．2．（2020·全國(guó)高一）把一個(gè)半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的高為（    ）A．10 B． C． D．【答案】B【解析】半徑為20的半圓卷成圓錐的側(cè)面，則圓錐的底面圓周長(zhǎng)為，所以底面圓的半徑為r=10，所以圓錐的高為.故選：B3．（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）一個(gè)圓柱內(nèi)接于一個(gè)底面半徑為2，高為4的圓錐，則內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】圓錐的底面半徑為2，高為4，設(shè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為，則它的上底面截圓錐得小圓錐的高為，因此，內(nèi)接圓柱的高；圓柱的側(cè)面積為，令，當(dāng)時(shí)，；所以當(dāng)時(shí)，，即圓柱的底面半徑為1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.故選：D.考法四 旋轉(zhuǎn)體的體積【例4】（2021·寧夏銀川市·賀蘭縣景博中學(xué)）已知圓錐的母線長(zhǎng)為5，底面周長(zhǎng)為，則它的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h，因?yàn)榈酌嬷荛L(zhǎng)為，所以，解得，又因?yàn)槟妇€長(zhǎng)為5，所以h=4，所以圓錐的體積是故選：B【一隅三反】1．（2020·浙江杭州市·高一期末）將半徑為，圓心角為的扇形作為側(cè)面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由扇形弧長(zhǎng)公式可求得弧長(zhǎng)，圓錐底面周長(zhǎng)為，圓錐底面半徑，圓錐的高，圓錐的體積.故選：.2．（2020·威海市教育教學(xué)研究中心高一期末）古代將圓臺(tái)稱為“圓亭”，《九章算術(shù)》中“今有圓亭，下周三丈，上周二丈，高一丈，問積幾何？”即一圓臺(tái)形建筑物，下底周長(zhǎng)丈，上底周長(zhǎng)丈，高丈，則它的體積為（    ）A．立方丈 B．立方丈 C．立方丈 D．立方丈【答案】B【解析】由題意得，下底半徑（丈），上底半徑（丈），高（丈），所以它的體積為所以(立方丈).故選：B.3．（2020·貴州畢節(jié)市·高一期末）已知圓錐的表面積為，它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則此圓錐的體積為（    ）A．3 B． C．9 D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，則母線長(zhǎng)為，則圓柱的側(cè)面積為，故表面積為，得①，又底面圓周長(zhǎng)等于側(cè)面展開半圓的弧長(zhǎng)，故，即，得②，聯(lián)立①②得：，.故該圓錐的體積為.故選：B.考法五 球【例5】（1）（2020·長(zhǎng)春市第二實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期末）已知一個(gè)正方體的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則球的表面積與這個(gè)正方體的表面積之比為（    ）A． B． C． D．（2）．（2021·江西景德鎮(zhèn)市·景德鎮(zhèn)一中高一期末（理））已知一個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球的球面上，且這個(gè)正三棱錐的所有棱長(zhǎng)都為，求這個(gè)球的表面積（    ）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，則，球的表面積為，正方體的表面積為，.故選：B（2）設(shè)該正三棱錐為，將三棱錐補(bǔ)成正方體，如下圖所示：
 則正方體的棱長(zhǎng)為，該正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以，正三棱錐的外接球直徑為，可得，該球的表面積為.故選：C.【一隅三反】1．（2020·浙江高一期末）若一個(gè)球的直徑為2，則此球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)榍虻闹睆綖?，即球的半徑為1，所以球的表面積為，故選：D.2．（2020·天津和平區(qū)·耀華中學(xué)高一期末）棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)檎襟w的外接球的直徑為正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)，所以，解得，所以球的表面積為：.故選：C3．（2021·寧夏長(zhǎng)慶高級(jí)中學(xué)高一期末）已知一個(gè)正方體的體積為8，求此正方體內(nèi)切球的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】正方體的體積為8，故邊長(zhǎng)為2，內(nèi)切球的半徑為1，則表面積，故選：C.4.（2020·山東濟(jì)寧市·高一期末）將一個(gè)棱長(zhǎng)為3cm的正方體鐵塊磨成一個(gè)球體零件，則可能制作的最大零件的體積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】正方體的棱長(zhǎng)為3cm，所以球體最大體積的半徑，所以球的體積：.故選：B考法六 組合體的體積表面積【例6】（2020·全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）如圖，一個(gè)無蓋的器皿是由棱長(zhǎng)為3的正方體木料從頂部挖掉一個(gè)直徑為2的半球而成（半球的底面圓在正方體的上底面，球心為上底面的中心），則該器皿的表面積為（    ）A．54 B． C． D．【答案】C【解析】器皿的表面積是棱長(zhǎng)為3的正方體的表面積減去半徑為1的圓的面積，再加上半徑為1的半球的表面積，即器皿的表面積．故選：C．【一隅三反】1．（2020·山東菏澤市·菏澤一中高一月考）某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長(zhǎng)方體.正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為（    ）A．20 B． C．16 D．【答案】A【解析】由題意，正四棱錐的斜高為，該組合體的表面積為.故選：A2．（2020·河北滄州市一中高一期末）魯班鎖（也稱孔明鎖、難人木、六子聯(lián)方）起源于古代中國(guó)建筑的榫卯結(jié)構(gòu).這種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙.魯班鎖類玩具比較多，形狀和內(nèi)部的構(gòu)造各不相同，一般都是易拆難裝.如圖1，這是一種常見的魯班鎖玩具，圖2是該魯班鎖玩具的直觀圖，每條棱的長(zhǎng)均為2，則該魯班鎖的表面積為（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題圖可知，該魯班鎖玩具可以看成是一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體截去了8個(gè)正三棱錐所余下來的幾何體，且被截去的正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，側(cè)棱長(zhǎng)為，則該幾何體的表面積為.故選：A.3．（2021·周至縣第二中學(xué)高一期末）如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則杯子高_______．【答案】8【解析】由題意得半球的半徑和圓錐底面圓的半徑，如果冰淇淋融化后正好盛滿杯子，則半球的體積等于圓錐的體積所以故答案為：8

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

8.3 簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積

版本： 人教A版 (2019)

年級(jí)： 必修 第二冊(cè)

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