?直線的一般式方程與直線的性質(zhì)
一．選擇題（共15小題）
1．如果，且，那么直線不通過　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．直線過點且與圓交于、兩點，如果，那么直線的方程為　　
A． B．或
C． D．或
3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為　　
A． B． C． D．
4．直線的斜率是　　
A． B． C． D．2
5．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則直線的方程為　　
A． B． C． D．
6．已知直線的橫截距與縱截距相等，則的值為　　
A．1 B． C．或2 D．2
7．已知直線，動直線，則下列結(jié)論錯誤的是　　
A．存在，使得的傾斜角為
B．對任意的，與都有公共點
C．對任意的，與都不重合
D．對任意的，與都不垂直
8．對于直線，下列說法不正確的是　　
A．無論如何變化，直線的傾斜角的大小不變
B．無論如何變化，直線一定不經(jīng)過第三象限
C．無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、三象限
D．當(dāng)取不同數(shù)值時，可得到一組平行直線
9．直線的縱截距是　　
A．5 B． C． D．
10．原點在直線上的射影，則的方程為　　
A． B． C． D．
11．直線在軸上的截距為　　
A．7 B．1 C．4 D．3
12．已知直線的方程為，則直線的傾斜角為　　
A． B． C． D．與有關(guān)
13．過兩點和的直線在軸上的截距是　　
A． B． C． D．2
14．已知橢圓，則以為中點的弦所在的直線方程是　　
A． B． C． D．
15．直線過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這直線方程為　　
A． B．
C．或 D．或
二．填空題（共18小題）
16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，、，為不同的兩點，直線的方程為，設(shè)．有下列四個說法：
①存在實數(shù)，使點在直線上；
②若，則過、兩點的直線與直線平行；
③若，則直線經(jīng)過線段的中點；
④若，則點、在直線的同側(cè)，且直線與線段的延長線相交．
上述說法中，所有正確說法的序號是 　　．
17．設(shè)，，，為不同的兩點，直線，，以下命題中正確的序號為　?。?br /> （1）不論為何值，點都不在直線上；
（2）若，則過，的直線與直線平行；
（3）若，則直線經(jīng)過的中點；
（4）若，則點、在直線的同側(cè)且直線與線段的延長線相交．

18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，分別以，為邊向外作正方形與，則點的坐標(biāo)為　　，直線的一般式方程為　?。?br />
19．三條直線，，圍成一個三角形，則的取值范圍是　?。?br /> 20．經(jīng)過原點有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰好被點平分，則直線的方程為　?。?br /> 21．已知點，，，直線將分割成面積相等的兩部分，則的取值范圍是 　?。?br /> 22．已知直線過點，法向量，則其點方向式方程為 　　．
23．已知的三個頂點分別是，，．若直線過點，且將分割成面積相等的兩部分，則直線的方程是　?。?br /> 24．已知直線，，當(dāng)時，直線，與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，實數(shù)　?。?br /> 25．過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程為　　．
26．在中，、、，則的平分線所在直線的一般式方程是　　．
27．已知點是圓內(nèi)的一點，那么過點的最短弦所在的直線方程是　?。?br /> 28．斜率為，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為12的直線的方程為　?。?br /> 29．已知點是直線上的一點，將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，則直線的方程是　?。?br /> 30．經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于、兩點，且滿足，則直線的方程為　?。?br /> 31．已知的頂點，邊上的高所在直線為，為中點，且所在直線方程為，那么頂點的坐標(biāo)是　?。恢本€方程為　?。?br /> 32．經(jīng)過點且在兩軸上截距相等的直線是　　．
33．若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于8，則實數(shù)的取值范圍為　　．
三．解答題（共8小題）
34．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：
（1）頂點的坐標(biāo)；
（2）直線的方程．







35．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且垂直于直線．求：
（Ⅰ）直線的方程；
（Ⅱ）直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．






36．已知三角形的頂點坐標(biāo)為、、．
（1）求邊上的高線所在的直線方程；
（2）求三角形的面積．








37．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
（1）求邊所在直線方程；
（2）求頂點的坐標(biāo)；
（3）求直線的方程．










38．已知直線經(jīng)過點，其傾斜角的大小是．
（1）求直線的方程；
（2）求直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．





39．已知的三個頂點、、．
（1）求邊所在直線的方程；
（2）邊上中線的方程為，且，求點的坐標(biāo)．






40．如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸負(fù)半軸上．
過點作直線與拋物線相交于，兩點，且滿足．
（Ⅰ）求直線和拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)拋物線上一動點從點向點運動時，求面積的最大值．








41．在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點和，所在直線的方程為，
（1）求對角線所在直線的方程；
（2）求所在直線的方程．

直線的一般式方程與直線的性質(zhì)精選題41道
參考答案與試題解析
一．選擇題（共15小題）
1．如果，且，那么直線不通過　　
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】先把化為，再由，得到，，數(shù)形結(jié)合即可獲取答案
【解答】解：直線可化為，
又，
，，
直線過一、二、四象限，不過第三象限．
故選：．
【點評】本題考查直線的一般式方程與直線的斜截式的互化，以及學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力，屬容易題
2．直線過點且與圓交于、兩點，如果，那么直線的方程為　　
A． B．或
C． D．或
【分析】當(dāng)切線的斜率不存在時，求出直線的方程，當(dāng)斜率存在時，由弦心距、半弦長、半徑三者間的關(guān)系可得弦心距等于3，解出值，即得直線的方程．
【解答】解：當(dāng)切線的斜率不存在時，直線的方程為，經(jīng)檢驗，此直線和圓相切，滿足條件．
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，
則圓心到直線的距離為．再由，
得，，直線的方程為，
即．
故選：．
【點評】本題考查直線方程的點斜式，點到直線的距離公式的應(yīng)用，以及弦心距、半弦長、半徑三者間的關(guān)系，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想．
3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉于1765年在他的著作《三角形的幾何學(xué)》中首次提出定理：三角形的外心（三邊中垂線的交點）、重心（三邊中線的交點）、垂心（三邊高的交點）依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半，這條直線被后人稱之為三角形的歐拉線．已知的頂點為，，，則該三角形的歐拉線方程為　　
A． B． C． D．
【分析】的頂點為，，，可得重心．設(shè)的外心為，，利用，解得．利用點斜式即可得出該三角形的歐拉線方程．
【解答】解：的頂點為，，，
重心．
設(shè)的外心為，，則，，
解得．可得，．
則該三角形的歐拉線方程為，化為：．
故選：．
【點評】本題考查了直線非常、歐拉線的應(yīng)用、三角形重心外心的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
4．直線的斜率是　　
A． B． C． D．2
【分析】將直線方程變形后，即可求出直線的斜率．
【解答】解：直線變形得：，
則直線斜率為．
故選：．
【點評】此題考查了直線的一般式方程，是一道基本題型．
5．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，則直線的方程為　　
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)垂直關(guān)系求出的直線方程，與的直線方程聯(lián)立求點的坐標(biāo)，根據(jù)題意求得點的坐標(biāo)，再求出直線的方程；
【解答】解：所在直線方程為，
設(shè)的方程為，且過，
代入解得，
聯(lián)立與的方程，
得，解得；
設(shè)，則，，
即，
解得，則，
所以直線的方程為：．
故選：．
【點評】本題考查了直線方程的應(yīng)用問題，是中檔題．
6．已知直線的橫截距與縱截距相等，則的值為　　
A．1 B． C．或2 D．2
【分析】先分別令和求出直線的橫截距和縱截距，進(jìn)而可以求解．
【解答】解：令，解得，
令，解得，
所以，解得或，
故選：．
【點評】本題考查了直線的截距的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
7．已知直線，動直線，則下列結(jié)論錯誤的是　　
A．存在，使得的傾斜角為
B．對任意的，與都有公共點
C．對任意的，與都不重合
D．對任意的，與都不垂直
【分析】根據(jù)直線的一般式方程，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．
【解答】解：對于動直線，當(dāng)時，斜率不存在，傾斜角為，故正確；
由于方程組，可得，此方程有解，可得與都有交點，故正確；
當(dāng)時，成立，此時與重合，故錯誤；
由于直線 的斜率為1，動直線的斜率為，
故對任意的，與都不垂直，故正確，
故選：．
【點評】本題主要考查直線的一般式方程，兩條直線的位置關(guān)系，屬于中檔題．
8．對于直線，下列說法不正確的是　　
A．無論如何變化，直線的傾斜角的大小不變
B．無論如何變化，直線一定不經(jīng)過第三象限
C．無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、三象限
D．當(dāng)取不同數(shù)值時，可得到一組平行直線
【分析】直線，化為：，根據(jù)斜率與在軸上的截距的意義即可判斷出正誤．
【解答】解：直線，化為：，
可得斜率，在軸上的截距為，
因此無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、四象限，直線一定不經(jīng)過第三象限，直線的傾斜角的大小不變，當(dāng)取不同數(shù)值時，可得到一組平行直線．
故選：．
【點評】本題考查了直線斜率與在軸上的截距的意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
9．直線的縱截距是　　
A．5 B． C． D．
【分析】令，求得的值即為縱截距．
【解答】解：直線，
令，得，
所以直線的縱截距是．
故選：．
【點評】本題主要考查直線的截距的求法，屬于基礎(chǔ)題．
10．原點在直線上的射影，則的方程為　　
A． B． C． D．
【分析】由題意求出直線的斜率，利用點斜式方程求出直線方程，即可得到選項．
【解答】解：原點在直線上的射影，所以直線 的斜率為：2，所以所求的直線方程為：，
即
故選：．
【點評】本題是基礎(chǔ)題，考查直線方程的求法，直線的斜率的應(yīng)用，垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，常考題型．
11．直線在軸上的截距為　　
A．7 B．1 C．4 D．3
【分析】結(jié)合直線的截距的定義即可直接求解．
【解答】解：由，
令可得，
故選：．
【點評】本題主要考查了直線的截距的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
12．已知直線的方程為，則直線的傾斜角為　　
A． B． C． D．與有關(guān)
【分析】由直線的方程可得斜率，即得傾斜角的正切值，再由傾斜角的范圍可得傾斜角．
【解答】解：直線的方程為，
其斜率為，即，為傾斜角）
由，可知
故選：．
【點評】本題考查直線的一般式方程和傾斜角，屬基礎(chǔ)題．
13．過兩點和的直線在軸上的截距是　　
A． B． C． D．2
【分析】由兩點式寫出直線的方程，再令縱坐標(biāo)為0，即可求出其在軸上的截距．
【解答】解：由直線過、兩點，
故直線方程為，即
令 得．
故選：．
【點評】考查知兩點的坐標(biāo)求直線的斜率的方法，求直線的方程時一般的要求是把最后的結(jié)果化為一般式．
14．已知橢圓，則以為中點的弦所在的直線方程是　　
A． B． C． D．
【分析】設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程化簡，由 解得值，即得直線的方程．
【解答】解：由題意得，斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，即，
代入橢圓的方程化簡得，
，解得，故直線的方程為，
故選：．
【點評】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，線段的中點公式，得到，是解題的關(guān)鍵．
15．直線過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則這直線方程為　　
A． B．
C．或 D．或
【分析】由直線與坐標(biāo)軸的截距相等，可分兩種情況考慮：當(dāng)所求直線過原點時，滿足題意，設(shè)直線方程為，將已知點坐標(biāo)代入求出的值，確定出此時直線方程；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)出所求方程為，將已知點坐標(biāo)代入求出的值，確定出直線解析式．
【解答】解：若直線過原點滿足題意，設(shè)，將，代入得：，此時直線方程為，即；
若直線不過原點，設(shè)所求方程為，將，代入得：，解得：，此時直線方程為，
綜上，所求直線方程為或．
故選：．
【點評】此題考查了直線的一般式方程，以及直線的截距式方程，理解題意是解本題的關(guān)鍵．
二．填空題（共18小題）
16．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)，、，為不同的兩點，直線的方程為，設(shè)．有下列四個說法：
①存在實數(shù)，使點在直線上；
②若，則過、兩點的直線與直線平行；
③若，則直線經(jīng)過線段的中點；
④若，則點、在直線的同側(cè)，且直線與線段的延長線相交．
上述說法中，所有正確說法的序號是 ?、冖邰堋。?br /> 【分析】①點在直線上，則點的坐標(biāo)滿足直線方程，從而得到，進(jìn)而可判斷①不正確．
②若，則，進(jìn)而得到，根據(jù)兩直線斜率的關(guān)系即可判定過、兩點的直線與直線平行．
③若，則，從而得到即，所以直線經(jīng)過線段的中點．
④若，則，或，根據(jù)點與直線的位置關(guān)系可知點，在直線同側(cè)，從而可判定④正確．
【解答】解：若點在直線上則，
不存在實數(shù)，使點在直線上，
故①不正確；
若，則，
即，
，
即過、兩點的直線與直線平行，
故②正確；
若，則
即，，
直線經(jīng)過線段的中點，
即③正確；
若，則，
或，
即點、在直線的同側(cè)，且直線與線段不平行．
故④正確．
故答案為：②③④．
【點評】本題考查兩直線的位置關(guān)系，點與直線的位置關(guān)系，直線的一般式方程等知識的綜合應(yīng)用，屬于難題．
17．設(shè)，，，為不同的兩點，直線，，以下命題中正確的序號為?。?）（2）（3）（4）?。?br /> （1）不論為何值，點都不在直線上；
（2）若，則過，的直線與直線平行；
（3）若，則直線經(jīng)過的中點；
（4）若，則點、在直線的同側(cè)且直線與線段的延長線相交．
【分析】依次分析命題：（1）根據(jù)中的分母不為0，即可判斷點不在直線上；（2）時，分不等于0和等于0兩種情況考慮，當(dāng)不為0時，根據(jù)，化簡后得到直線的斜率與直線的斜率相等，且點不在直線上，進(jìn)而得到兩直線平行；當(dāng)為0時，根據(jù)推出直線與直線的斜率都不存在，進(jìn)而得到兩直線平行；（3）當(dāng)時，化簡后得到線段的中點滿足直線的解析式，進(jìn)而得到的中點在直線上；（4）根據(jù)大于1，得到與同號且大于，進(jìn)而得到點、在直線的同側(cè)且直線與線段的延長線相交，綜合可得答案．
【解答】解：（1）因為中，，所以點，不在直線上，本選項正確；

（2）當(dāng)時，根據(jù)，得到，化簡得：，即直線的斜率為，
又直線的斜率為，由（1）知點不在直線上，得到直線與直線平行；
當(dāng)時，根據(jù)，得到，
化簡得：，直線與直線的斜率不存在，都與軸平行，
由（1）知點不在直線上，得到直線與直線平行，
綜上，當(dāng)，直線與直線平行，本選項正確；

（3）當(dāng)時，得到，
化簡得：，而線段的中點坐標(biāo)為，，
所以直線經(jīng)過的中點，本選項正確；

（4）當(dāng)時，得到，
即，所以點、在直線的同側(cè)，
且，得到點與點到直線的距離不等，所以延長線與直線相交，
本選項正確．
所以命題中正確的序號為：（1）、（2）、（3）、（4）．
故答案為：（1）、（2）、（3）、（4）
【點評】此題考查學(xué)生掌握一點是否在已知直線上的判別方法，掌握兩直線平行時滿足的條件，是一道中檔題．
18．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，，分別以，為邊向外作正方形與，則點的坐標(biāo)為　　，直線的一般式方程為　?。?br />
【分析】分別過、作軸的垂線，垂足分別為、．根據(jù)正方形的性質(zhì)證出，利用對應(yīng)邊相等及、兩點的坐標(biāo)，算出，同理得到．由此算出直線的斜率，利用直線方程的點斜式列式，化簡即可得到直線的一般式方程．
【解答】解：分別過、作軸的垂線，垂足分別為、，
四邊形為正方形，
，可得，，
，，
，，可得，
由此可得坐標(biāo)為，同理得到，
直線的斜率為，
可得直線的方程為，化簡得．
故答案為：．

【點評】主要考查了直線的一般式方程與直線的性質(zhì)，需要運用正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直線的基本量與基本形式等知識，屬于中檔題．
19．三條直線，，圍成一個三角形，則的取值范圍是　，，，，?。?br /> 【分析】由三條直線中的任意兩條平行求得的值，再由三條直線相交于一點求得的值，則，，不能圍成一個三角形的的所有取值組成的集合可求．
【解答】解：當(dāng)直線 平行于時，．
當(dāng)直線 平行于時，，
當(dāng)三條直線經(jīng)過同一個點時，由解得直線與的交點，
代入，解得；
綜上，為或2或．三條直線不能構(gòu)成三角形．
故當(dāng)三條直線圍成三角形時，的取值范圍，，，，，
故答案為：，，，，，
【點評】本題考查了兩直線平行的條件，考查了兩直線交點坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題．
20．經(jīng)過原點有一條直線，它夾在兩條直線與之間的線段恰好被點平分，則直線的方程為?。。?br /> 【分析】當(dāng)斜率不存在時，不合題意；當(dāng)斜率存在時，設(shè)所求的直線方程為，進(jìn)而得出交點，根據(jù)點為兩交點的中點建立等式，求出的值，從而求出所求．
【解答】解：如果所求直線斜率不存在，則此直線方程為，不合題意．
設(shè)所求的直線方程為，
聯(lián)立直線，可得，，
可得，，，
由題意可得，，
解可得，，此時直線為．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了直線的點斜式方程，交點坐標(biāo)的求法以及中點坐標(biāo)公式等知識，有一定的綜合性，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．
21．已知點，，，直線將分割成面積相等的兩部分，則的取值范圍是 　?。?br /> 【分析】先求得直線與軸的交點為，，由可得點在射線上．求出直線和的交點的坐標(biāo)，利用面積公式、點到直線以及兩點之間的距離公式再分三種情況分別討論：①若點和點重合，求得；②若點在點和點之間，求得；③若點在點的左側(cè)，求得，綜合起來可得結(jié)論．
【解答】解：由題意可得，三角形的面積為，

由于直線與軸的交點為，，由可得點在射線上．
設(shè)直線和的交點為，則由，可得點的坐標(biāo)為，，
①若點和點重合，則點為線段的中點，則，且，解得，
②若點在點和點之間，則點在點和點之間，由題意可得三角形的面積等于，即，
即，解得，故，
③若點在點的左側(cè)，則，，設(shè)直線和的交點為，
則由求得點的坐標(biāo)為，，
此時，
，
此時，點到直線的距離等于，
由題意可得，三角形的面積等于，即，
化簡可得．
由于此時，．
兩邊開方可得，則，即，
綜合以上可得，可以，且，且，即的取值范圍是，
故答案為：．

【點評】本題主要考查確定直線的要素，點到直線和兩點之間的距離公式以及三角形的面積公式的應(yīng)用，還考查運算能力和綜合分析能力，分類討論思想，屬于難題．
22．已知直線過點，法向量，則其點方向式方程為 　　．
【分析】利用直線的點法向式方程直接求解．
【解答】解：直線過點，法向量，
該直線的點法向式方程為．
故答案為：．
【點評】本題考查直線方程的求法，考查直線的點法向式方程等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
23．已知的三個頂點分別是，，．若直線過點，且將分割成面積相等的兩部分，則直線的方程是　?。?br /> 【分析】若直線過點且將三角形分成面積相等的兩部分，則直線過的中點，求出中點的坐標(biāo)，求出直線的方程，計算可得答案．
【解答】解：若直線過點且將三角形分成面積相等的兩部分，則直線過的中點，
設(shè)的中點為，則，
又由，則，
直線的方程為，即．
故答案為：．
【點評】本題考查直線方程的計算，屬于基礎(chǔ)題．
24．已知直線，，當(dāng)時，直線，與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，實數(shù)　?。?br /> 【分析】直接利用直線的方程，三角形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【解答】解：根據(jù)題意，如圖所示：

由于直線，
當(dāng)時，，
即直線和軸交于點，
由于直線，
由于與軸交于點，，
易知：和均經(jīng)過定點，
即兩直線交于點．
則四邊形的面積，
即當(dāng)時，．
故答案為：．
【點評】本題考查的知識要點：直線的方程，三角形的面積公式，二次函數(shù)的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．
25．過點且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線的一般式方程為　或?。?br /> 【分析】當(dāng)直線過原點時，易求出方程，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入點的坐標(biāo)即可求出的值，從而求出直線方程．
【解答】解：①當(dāng)直線過原點時，在兩坐標(biāo)軸上截距都為0，符合題意，
此時直線方程為：，即；
②當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，
過點，，
解得，
直線方程為，整理得：，
綜上所述，直線的一般方程為或．
【點評】本題主要考查了直線的方程，注意對直線是否過原點討論，是基礎(chǔ)題．
26．在中，、、，則的平分線所在直線的一般式方程是　?。?br /> 【分析】由已知結(jié)合到角公式可求直線的斜率，然后結(jié)合直線的點斜式即可求解．
【解答】解：因為，，
設(shè)角平分線的斜率為，由到角公式可得，，
解可得，或，
當(dāng)時，直線即為外角平分線，
故所求直線方程為即．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了直線方程的求解，解題的關(guān)鍵是到角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．
27．已知點是圓內(nèi)的一點，那么過點的最短弦所在的直線方程是　?。?br /> 【分析】數(shù)形結(jié)合，點是圓的一點，故最短的弦與垂直，點斜式可求得最短弦的方程．
【解答】解：最短的弦與垂直，圓的圓心為，
，
最短弦的方程為，即．
【點評】本題通過直線和圓的位置關(guān)系來求直線方程，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．
28．斜率為，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的周長為12的直線的方程為　，或?。?br /> 【分析】設(shè)直線方程為，由題意可得，求出的值，即可求得直線的方程．
【解答】解：由題意得，設(shè)直線方程為，令，得；令，得．
，
，
．
所求直線方程為，即，或，
故答案為，或．
【點評】本題主要考查用點斜截式求直線方程的方法，屬于基礎(chǔ)題．
29．已知點是直線上的一點，將直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，則直線的方程是　?。?br /> 【分析】由直線繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，若將它繼續(xù)旋轉(zhuǎn)角，所得直線方程是，我們不難分析出直線經(jīng)過直線和的交點，且又與直線垂直，則我們易給出直線的點斜式方程．
【解答】解：由已知易得：
直線經(jīng)過直線和的交點，
且又與直線垂直，
的方程為，
即．
【點評】在求直線方程時，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件，用斜截式及點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線，故在解題時，若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零；若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況．
30．經(jīng)過的直線與兩直線和分別交于、兩點，且滿足，則直線的方程為　?。?br /> 【分析】設(shè)，可得．根據(jù)，，可得坐標(biāo)，利用點斜式即可得出直線的方程．
【解答】解：設(shè)，則①．
，，
，
，，
將代入可得，②，
聯(lián)立①②解得，，
則，
則直線的方程為：，
故答案為：．
【點評】本題考查了直線方程、斜率計算公式、向量坐標(biāo)運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力嗎，屬于基礎(chǔ)題．
31．已知的頂點，邊上的高所在直線為，為中點，且所在直線方程為，那么頂點的坐標(biāo)是　?。恢本€方程為　?。?br /> 【分析】直線方程可以寫出來，與直線聯(lián)立，可解決點的坐標(biāo)，設(shè)點，點的坐標(biāo)可以表示出來，解出點的坐標(biāo)，可以求出直線的方程．
【解答】解：設(shè)，，
則由題意可得：，解得，，
所以點的坐標(biāo)為；
設(shè)，則的中點坐標(biāo)為，
，
解得，
方程為：，
即：．
【點評】本題考查了直線的方程，直線的性質(zhì)，中點坐標(biāo)公式，屬于基礎(chǔ)題．
32．經(jīng)過點且在兩軸上截距相等的直線是　或?。?br /> 【分析】分兩種情況考慮，第一：當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時，設(shè)出該直線的方程為，把已知點坐標(biāo)代入即可求出的值，得到直線的方程；第二：當(dāng)所求直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為，把已知點的坐標(biāo)代入即可求出的值，得到直線的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線的方程．
【解答】解：①當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距不為0時，設(shè)該直線的方程為，
把代入所設(shè)的方程得：，則所求直線的方程為；
②當(dāng)所求的直線與兩坐標(biāo)軸的截距為0時，設(shè)該直線的方程為，
把代入所求的方程得：，則所求直線的方程為．
綜上，所求直線的方程為：或．
故答案為：或
【點評】此題考查直線的一般方程和分類討論的數(shù)學(xué)思想，要注意對截距為0和不為0分類討論，是一道基礎(chǔ)題．
33．若直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積不小于8，則實數(shù)的取值范圍為　，，　．
【分析】由題意求出直線與，軸的交點坐標(biāo)，進(jìn)而求出與兩坐標(biāo)軸圍成的面積，由題意可得參數(shù)的范圍．
【解答】解：直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)分別為，，
所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積，
由題意可得，解得或，
故答案為：，，．
【點評】本題考查求直線與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)及三角形的面積公式，屬于基礎(chǔ)題．
三．解答題（共8小題）
34．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．求：
（1）頂點的坐標(biāo)；
（2）直線的方程．
【分析】（1）設(shè)，利用點與直線的位置關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可得出；
（2）利用中點坐標(biāo)公式、點斜式即可得出．
【解答】解：（1）設(shè)，
邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
，解得．
．
（2）設(shè)，則，解得．
．

直線的方程為，化為．
【點評】本題考查了點與直線的位置關(guān)系、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、中點坐標(biāo)公式、點斜式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．
35．已知直線經(jīng)過直線與直線的交點，且垂直于直線．求：
（Ⅰ）直線的方程；
（Ⅱ）直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
【分析】（Ⅰ）聯(lián)立兩直線方程得到方程組，求出方程組的解集即可得到交點的坐標(biāo)，根據(jù)直線與垂直，利用兩直線垂直時斜率乘積為，可設(shè)出直線的方程，把代入即可得到直線的方程；
（Ⅱ）分別令和求出直線與軸和軸的截距，然后根據(jù)三角形的面積函數(shù)間，即可求出直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．
【解答】解：（Ⅰ）由解得由于點的坐標(biāo)是．
則所求直線與垂直，可設(shè)直線的方程為．
把點的坐標(biāo)代入得，即．
所求直線的方程為．
（Ⅱ）由直線的方程知它在軸．軸上的截距分別是．，
所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．
【點評】此題考查學(xué)生會利用聯(lián)立兩直線的方程的方法求兩直線的交點坐標(biāo)，掌握直線的一般式方程，會求直線與坐標(biāo)軸的截距，是一道中檔題．
36．已知三角形的頂點坐標(biāo)為、、．
（1）求邊上的高線所在的直線方程；
（2）求三角形的面積．
【分析】（1）由題意可得的斜率，可得邊高線斜率，進(jìn)而可得方程；（2）由（1）知直線的方程，可得到直線的距離為，由距離公式可得，代入三角形的面積公式可得．
【解答】解：（1）由題意可得，
邊高線斜率，
邊上的高線的點斜式方程為，
化為一般式可得；
（2）由（1）知直線的方程為，即，
到直線的距離為，
又，
三角形的面積
【點評】本題考查直線的一般式方程，涉及點到直線的距離和三角形的面積，屬基礎(chǔ)題．
37．已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．
（1）求邊所在直線方程；
（2）求頂點的坐標(biāo)；
（3）求直線的方程．
【分析】（1）由邊上的高所在直線方程為可得直線的斜率為，根據(jù)垂直時斜率乘積為可得直線的斜率為，且過即可得到邊所在直線方程；
（2）聯(lián)立直線和直線，求出解集即可求出交點的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，且點與點關(guān)于直線對稱，求出的坐標(biāo)，利用兩點式，得直線的方程．
【解答】解：（1）由邊上的高所在直線方程為可知，
又，邊所在直線方程為，
即邊所在直線方程為．
（2）由邊所在直線方程為，邊上的中線所在直線方程為，
由，解得，，
所以頂點的坐標(biāo)為．
（3）設(shè)點的坐標(biāo)為，，且點與點關(guān)于直線對稱，
，
又點在直線上，
，
，，
所以，由兩點式，得直線的方程為．
【點評】本題考查直線的方程，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．
38．已知直線經(jīng)過點，其傾斜角的大小是．
（1）求直線的方程；
（2）求直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積．
【分析】（1）由已知中直線的傾斜角可得其斜率，再由直線經(jīng)過點，可得直線的點斜式方程，化為一般式可得答案．
（2）由（1）中直線的方程，可得直線在兩坐標(biāo)軸上的截距，代入三角形面積公式可得答案．
【解答】解：（1）因為直線的傾斜角的大小為，
故其斜率為，
又直線經(jīng)過點，所以其方程為
即．（3分）
（2）由直線的方程知它在軸、軸上的截距分別是、，
所以直線與兩坐標(biāo)軸圍成三角形的面積
．（8分）
【點評】本題考查的知識點是直線的點斜式方程，其中根據(jù)直線經(jīng)過點，結(jié)合直線的斜率，求出直線方程是解答的關(guān)鍵．
39．已知的三個頂點、、．
（1）求邊所在直線的方程；
（2）邊上中線的方程為，且，求點的坐標(biāo)．
【分析】（1）由兩點的斜率公式，算出的斜率，再由直線方程的點斜式列式，化簡即得邊所在直線方程；
（2）由兩點的距離公式，算出，結(jié)合得到點到的距離等于，由此建立關(guān)于、的方程組，解之即可得到，的值．
【解答】解：（1），，
，
可得直線方程為
化簡，得邊所在直線方程為；
（2）由題意，得，
，解之得，
由點到直線的距離公式，
得，
化簡得或，
或，
解得，或，，
故或．
【點評】本題給出三角形的頂點的坐標(biāo)，求直線的方程并在已知面積的情況下求點的坐標(biāo)．著重考查了直線的基本量與基本形式、點到直線的距離公式等知識．
40．如圖，拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點在軸負(fù)半軸上．
過點作直線與拋物線相交于，兩點，且滿足．
（Ⅰ）求直線和拋物線的方程；
（Ⅱ）當(dāng)拋物線上一動點從點向點運動時，求面積的最大值．

【分析】（Ⅰ）由題意設(shè)出直線和拋物線的方程，聯(lián)立方程用根與系數(shù)法和向量相等求出，的值；
（Ⅱ）由題意為定長，只要邊上的高最大，則三角形的面積最大；過點的切線與平行時，得面積最大，求出點的坐標(biāo)，再求點到直線的距離和的長，再求出面積．
【解答】解：（Ⅰ）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，拋物線方程為（2分）
有得 （3分）
設(shè)點，，，則，
（4分）
，
，解得（5分）
故直線的方程為，拋物線方程為． （6分）
（Ⅱ）據(jù)題意，當(dāng)拋物線過點的切線與平行時，得面積最大（7分）
設(shè)點，，由，故由得，則
（9分）
點到直線的距離（10分）
由，得 （11分）
（12分）
的面積的最大值為（14分）
【點評】本題為直線與拋物線的綜合問題，常用的方法聯(lián)立直線及拋物線的方程，再利用韋達(dá)定理求解，本題還用數(shù)形結(jié)合思想求最大值，考查了運算能力和數(shù)形結(jié)合思想．
41．在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的頂點和，所在直線的方程為，
（1）求對角線所在直線的方程；
（2）求所在直線的方程．
【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出的中點和斜率，
從而求得的斜率和直線方程；
（2）由直線和求點，再根據(jù)對稱求出點，
利用兩點式寫出直線的方程．
【解答】解：（1）如圖所示，
菱形的頂點和，所以的中點，
直線的斜率為，
的斜率為，
所以直線的方程為：，
即；
（2）由直線的方程和直線的方程聯(lián)立，得，
解得，即點，；
設(shè)點，則，，
解得，，
所以點，；
又，則的直線方程為，
化為一般形式是．

【點評】本題考查了直線方程的求法與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．

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