某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，….問題　依次類推，那么1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次得到細(xì)胞個(gè)數(shù)N是多少？分裂多少次得到細(xì)胞個(gè)數(shù)為8個(gè)，256個(gè)呢？如果已知細(xì)胞分裂后的個(gè)數(shù)N，如何求分裂次數(shù)呢？提示　2x個(gè)，3次，8次；由2x＝N可知當(dāng)N已知時(shí)，x的值即為分裂次數(shù).
1.對(duì)數(shù)的概念（1）對(duì)數(shù)的概念一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么數(shù)x叫做，記作，其中a叫做對(duì)數(shù)的，N叫做.(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)
熟記無理數(shù)e的大小，在后面估算中經(jīng)常用到
通常，我們將以10為底的對(duì)數(shù)叫做，并把lg10N記為，另外，在科技、經(jīng)濟(jì)以及社會(huì)生活中經(jīng)常使用以無理數(shù)e＝2.718 28…為底數(shù)的對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)稱為 ，并把lgeN記為.
易得algaN＝N，lgaab＝b.
根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的關(guān)系：當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ax＝Nx＝.
對(duì)數(shù)的有關(guān)結(jié)論是解題的重要依據(jù)
(1)零和負(fù)數(shù)；(2)1的對(duì)數(shù)為，即lga1＝0(a>0且a≠1)；(3)底數(shù)的對(duì)數(shù)為 ，即lgaa＝1(a>0且a≠1)
教材拓展補(bǔ)遺[微判斷]1.根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，因?yàn)?－2)4＝16，所以lg(－2)16＝4.( )提示　因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)a應(yīng)滿足a>0且a≠1，所以錯(cuò)誤.2.對(duì)數(shù)式lg32與lg23的意義一樣.( )提示　lg32表示以3為底2的對(duì)數(shù)，lg23表示以2為底3的對(duì)數(shù)，所以錯(cuò)誤.3.對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是求冪指數(shù).( )
[微訓(xùn)練]1.若lg3(2x－1)＝0，則x＝________.解析　若lg3(2x－1)＝0，則2x－1＝1，即x＝1.答案　1
2.若lgx8＝3，則x＝________.解析　由指對(duì)互化知x3＝8，所以x＝2.答案　2
[微思考]1.任何一個(gè)指數(shù)式都可以化為對(duì)數(shù)式嗎？提示　不是，如(－3)2＝9，不能寫成lg(－3)9＝2.2.在對(duì)數(shù)的定義中為什么不能取a≤0及a＝1呢？
題型一　對(duì)數(shù)的定義及其應(yīng)用【例1】　(1)在對(duì)數(shù)式y(tǒng)＝lg(x－2)(4－x)中，實(shí)數(shù)x的取值范圍是________. (2)將下列指數(shù)式、對(duì)數(shù)式
答案　(2，3)∪(3，4)
(2)解?、儆?4＝625，得lg5625＝4.②由lg216＝4，得24＝16.③由10－2＝0.01，得lg 0.01＝－2.
規(guī)律方法　指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化的思路(1)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式：將指數(shù)式的冪作為真數(shù)，指數(shù)作為對(duì)數(shù)，底數(shù)不變，寫出對(duì)數(shù)式.(2)對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式：將對(duì)數(shù)式的真數(shù)作為冪，對(duì)數(shù)作為指數(shù)，底數(shù)不變，寫出指數(shù)式.
解　(1)因?yàn)?3＝64，所以lg464＝3；(2)因?yàn)閘n a＝b，所以eb＝a；
(4)因?yàn)閘g 1 000＝3，所以103＝1 000.
題型二　對(duì)數(shù)相關(guān)結(jié)論的應(yīng)用【例2】　
求下列各式中的x的值.
解　(1)因?yàn)閘g2(lg3x)＝0，所以lg3x＝1，所以x＝3.(2)因?yàn)閘g5(lg2x)＝1，所以lg2x＝5，所以x＝25＝32.
規(guī)律方法　求解此類問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)對(duì)數(shù)的兩個(gè)結(jié)論lga1＝0和lgaa＝1(a>0且a≠1)，進(jìn)行變形求解，若已知對(duì)數(shù)值求真數(shù)，則可將其化為指數(shù)式運(yùn)算.
【訓(xùn)練2】　求下列各式中的x的值. (1)lg8[lg7(lg2x)]＝0； (2)lg2[lg3(lg2x)]＝1.
解　(1)由lg8[lg7(lg2x)]＝0，得lg7(lg2x)＝1，即lg2x＝7，∴x＝27.(2)由lg2[lg3(lg2x)]＝1，∴l(xiāng)g3(lg2x)＝2，∴l(xiāng)g2x＝9，∴x＝29.
題型三　利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化求值【例3】　(1)求下列各式的值. ①lg981＝________.②lg0.41＝________.③ln e2＝________. (2)求下列各式中
(1)解析　①設(shè)lg981＝x，所以9x＝81＝92，故x＝2，即lg981＝2；②設(shè)lg0.41＝x，所以0.4x＝1＝0.40，故x＝0，即lg0.41＝0；③設(shè)ln e2＝x，所以ex＝e2，故x＝2，即ln e2＝2.答案　①2?、??、?
③由lg 100＝x，得10x＝100＝102，即x＝2；④由－ln e2＝x，得ln e2＝－x，所以e－x＝e2，－x＝2，x＝－2.
規(guī)律方法　對(duì)數(shù)式中求值的基本思想和方法(1)基本思想在一定條件下求對(duì)數(shù)的值，或求對(duì)數(shù)式中參數(shù)字母的值，要注意利用方程思想求解.(2)基本方法①將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，構(gòu)建方程轉(zhuǎn)化為指數(shù)問題.②利用冪的運(yùn)算性質(zhì)和指數(shù)的性質(zhì)計(jì)算.
(2)由lgx25＝2，得x2＝25.∵x>0，且x≠1，∴x＝5.(3)由lg5x2＝2，得x2＝52，∴x＝±5.∵52＝25>0，(－5)2＝25>0，∴x＝5或x＝－5.(4)由2lg3x＝4＝22，得lg3x＝2，所以x＝32，即x＝9.
3.在關(guān)系式ax＝N中，已知a和x求N的運(yùn)算稱為求冪運(yùn)算，而如果已知a和N求x的運(yùn)算就是對(duì)數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)式子實(shí)質(zhì)相同而形式不同，互為逆運(yùn)算.
一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)、常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).通過運(yùn)用對(duì)數(shù)的結(jié)論求簡單的對(duì)數(shù)值，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.對(duì)數(shù)概念與指數(shù)概念有關(guān)，指數(shù)式和對(duì)數(shù)式是互逆的，即ab＝NlgaN＝b(a>0，且a≠1，N>0)，據(jù)此可得兩個(gè)常用恒等式：
二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.有下列說法：(1)只有正數(shù)有對(duì)數(shù)；(2)任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式；(3)以5為底25的對(duì)數(shù)等于±2；(4)3lg3(－5)＝－5成立.其中正確的個(gè)數(shù)為(　　)A.0 B.1 C.2 D.3解析　(1)正確；(2)，(3)，(4)不正確.答案　B
3.方程lg(2x－3)＝1的解為________.
4.計(jì)算：2lg23＋2lg31－3lg77＋3ln 1＝________.解析　原式＝3＋2×0－3×1＋3×0＝0.答案　0
(4)由ln 10＝x可得ex＝10.

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4.3 對(duì)數(shù)

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