“對數”(lgarithm)一詞是納皮爾首先創(chuàng)造的，意思是“比數”．他最早用“人造的數”來表示對數．俄國著名詩人萊蒙托夫是一位數學愛好者，傳說有一次他在解答一道數學題時，冥思苦想沒法解決，睡覺時做了一個夢，夢中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此題解出來了，萊蒙托夫把夢中老人的像畫了出來，大家一看竟是數學家納皮爾，這個傳說告訴我們：納皮爾在人們心目中的地位是多么地高！那么，“對數”到底是什么呢？學完本節(jié)內容就明白了！
1．對數的概念若ax＝N(a＞0，且a≠1)，則數x叫做以a為底N的對數，a叫做對數的__底數__，N叫做__真數__，記作x＝__lgaN__．
對數式lgaN可看作一種記號，表示關于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一種運算，即已知底為a(a＞0，且a≠1)，冪為N，求冪指數的運算，因此，對數式lgaN又可看作冪運算的逆運算．
2．常用對數和自然對數(1)常用對數：通常我們將以__10__為底的對數叫做常用對數，并把lg10N記為__lgN__．(2)自然對數：在科學技術中常使用以無理數e＝2.71828…為底數的對數，以e為底的對數稱為自然對數，并把lgeN記為__lnN__．3．對數與指數的關系當a＞0，且a≠1時，ax＝N?x＝__lgaN__．
4．對數的基本性質(1)__零__和__負數__沒有對數．(2)lga1＝__0__(a＞0，且a≠1)．(3)lgaa＝__1__(a＞0，且a≠1)．
命題方向1　?指數式與對數式的互化
典例1 完成以下指數式、對數式的互化．
對數式lgaN＝b是由指數式ab＝N變化得來的，兩式底數相同，對數式中的真數N就是指數式中的冪的值，而對數值b是指數式中的冪指數，對數式與指數式的關系如圖：
并非所有指數式都可以直接化為對數式．如(－3)2＝9就不能直接寫成lg(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0時，才有ax＝N?x＝lgaN．
將下列指數式化為對數式，對數式化為指數式：
命題方向2　?對數定義與性質的應用
典例2 求下列各式中的x：(1)lg3(lg2x)＝0；　　　(2)lg3(lg7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1； (4)lg(lnx)＝0．
[解析]　(1)由lg3(lg2x)＝0得lg2x＝1，∴x＝2；(2)lg3(lg7x)＝1，lg7x＝31＝3，∴x＝73＝343；(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10；(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e．
　對數性質在計算中的應用(1)對數運算時的常用性質：lgaa＝1，lga1＝0．(2)使用對數的性質時，有時需要將底數或真數進行變形后才能運用；對于多重對數符號的，可以先把內層視為整體，逐層使用對數的性質．
命題方向3　?對數恒等式的應用
運用對數恒等式時注意事項(1)對于對數恒等式a ＝N要注意格式：①它們是同底的；②指數中含有對數形式；③其值為對數的真數．(2)對于指數中含有對數值的式子進行化簡，應充分考慮對數恒等式的應用．
因忽視對數式的底數和真數的取值范圍致誤
典例4 對數式lg(a－2)(5－a)＝b中，實數a的取值范圍是 (　　)A．(－∞，5)　　　　　B．(2，5)　　　　　C．(2，＋∞)　　　　　D．(2，3)∪(3，5)
[警示]　對數的真數與底數都有范圍限制，不可顧此失彼．
指數式與對數式可以相互轉化，利用這種轉化關系可以求解指對方程與不等式及指數對數運算．將等式兩端取同底的對數，是指數對數轉化的另一種表現(xiàn)形式．

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高中數學人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.3 對數

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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