?5.1 平面向量的概念及其線性運(yùn)算
思維導(dǎo)圖




知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時(shí)有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長(zhǎng)度(或稱模)，記作||.
(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運(yùn)算
向量運(yùn)算
定　義
法則(或幾何意義)
運(yùn)算律
加法
求兩個(gè)向量和的運(yùn)算

三角形法則

平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個(gè)向量差的運(yùn)算

a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a相乘的運(yùn)算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時(shí)，0a＝0；當(dāng)a＝0時(shí)，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共線向量定理
設(shè)a為非零向量，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.
[常用結(jié)論]
1.中點(diǎn)公式的向量形式：若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.



典型例題分析
考向一 　平面向量的有關(guān)概念
例1. 設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件是(　　)
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案　C
解析　因?yàn)橄蛄康姆较蚺c向量a方向相同，向量的方向與向量b方向相同，且＝，
所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A，B，D.
當(dāng)a＝2b時(shí)，＝＝，
故a＝2b是＝成立的充分條件.
感悟提升　平行向量有關(guān)概念的四個(gè)關(guān)注點(diǎn)
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.

考向二 向量的線性運(yùn)算
角度1　平面向量加、減運(yùn)算的幾何意義
例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點(diǎn)E為線段CD上靠近C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)F為線段BC的中點(diǎn)，則＝(　　)

A.－＋ B.－＋
C.－＋ D.－＋
答案　A
解析　由題圖，得＝＋＝＋＝(－)＋
＝－＋－－＝－＋.故選A.
角度2　向量的線性運(yùn)算
例3 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，則等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
答案　A
解析　如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，

所以＝＋.
因?yàn)椋剑?br /> 所以＝，＝，
所以＝＋＝a＋b.
角度3　利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若＝λ＋μ，則λ－μ＝________.
答案　
解析　如圖.

∵AD為BC邊上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴BD＝＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，故λ－μ＝.
感悟提升　平面向量線性運(yùn)算的常見(jiàn)類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問(wèn)題可以通過(guò)向量的運(yùn)算將向量表示出來(lái)，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.


考向三 共線向量定理的應(yīng)用
例5 (1)(2022·綿陽(yáng)二診)已知平面向量a，b不共線，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，則(　　)
A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線
C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線
答案　D
解析　對(duì)于A，＝＋＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，與不共線，A不正確；
對(duì)于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，則與不共線，B不正確；
對(duì)于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，則與不共線，C不正確；
對(duì)于D，＝＋＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3，即∥，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.
(2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)x＝，y＝，則＋的值為(　　)

A.3 B.4
C.5 D.6
答案　A
解析　延長(zhǎng)AG交BC于點(diǎn)H(圖略)，則H為BC的中點(diǎn)，
∵G為△ABC的重心，
∴＝＝×(＋)＝(＋)＝＝＋.
∵M(jìn)，G，N三點(diǎn)共線，
∴＋＝1，
即＋＝3.故選A.
感悟提升　利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個(gè)向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí)，才能得出三點(diǎn)共線，即A，B，C三點(diǎn)共線?，共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ為實(shí)數(shù))，若A，B，C三點(diǎn)共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.


考向四 等和(高)線定理
(1)由三點(diǎn)共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點(diǎn)共線結(jié)論可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個(gè)常數(shù)k，k∈R，使得＝k，則＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.

(2)平面內(nèi)一組基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若點(diǎn)P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.
例 給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.

答案　2
解析　法一　由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系(圖略).
其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
則有＝(cos θ，sin θ)＝x(1，0)＋y，
即
得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y)max＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)θ＝時(shí)取得.
法二　如圖，

連接AB交OC于點(diǎn)D，
設(shè)＝t，
由于＝x＋y，
所以＝t(x＋y).
因?yàn)镈，A，B三點(diǎn)在同一直線上，
所以tx＋ty＝1，x＋y＝，
由于||＝t||＝t，
當(dāng)OD⊥AB時(shí)t取到最小值，
當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.
法三　(等和線法)連接AB，

過(guò)C作直線l∥AB，則直線l為以，為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時(shí)，定值最大，
因?yàn)椤螦OB＝120°，
所以＝＋，
所以x＋y的最大值為2.

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題
1．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（?????）
①；②；③；④；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】向量數(shù)乘仍是向量，故①錯(cuò)誤；由向量數(shù)量積的運(yùn)算律，有②③正確；應(yīng)用數(shù)量積的運(yùn)算可證明、不成立，故④⑤錯(cuò)誤
【詳解】①錯(cuò)誤，正確的是，向量數(shù)乘結(jié)果還是向量.
②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可判斷得出.
④錯(cuò)誤，，故
⑤錯(cuò)誤，
綜上，正確的個(gè)數(shù)為2
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算性質(zhì)、數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷正誤
2．下列結(jié)論中，正確的是（????）
A．2 020 cm長(zhǎng)的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點(diǎn)，單位長(zhǎng)度已選定，則l上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)A，B，使得是單位向量
C．方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量
D．一人從A點(diǎn)向東走500米到達(dá)B點(diǎn)，則向量不能表示這個(gè)人從A點(diǎn)到B點(diǎn)的位移
【答案】B
【分析】根據(jù)單位向量的定義，向量的概念及共線向量的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由一個(gè)單位長(zhǎng)度取作2020 cm時(shí)，2020 cm長(zhǎng)的有向線段就表示單位向量，故A錯(cuò)誤；
根據(jù)單位向量的定義，在直線上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)使得為單位長(zhǎng)度，所以B正確；
方向?yàn)楸逼?0°的向量與南偏東50°的向量是平行的，所以兩向量為共線向量，故C錯(cuò)誤；
根據(jù)位移的定義，向量表示點(diǎn)到點(diǎn)的位移，所以D不正確.
故選：B.
3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，求得，再利用平面向量的夾角公式求解.
【詳解】解：因?yàn)椋?br /> 所以，即，
解得，
所以，
因?yàn)椋?br /> 所以，
故選：B
4．若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，G是邊BC的中點(diǎn)，M為線段AG上任意一點(diǎn)，則的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算可得，，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.
【詳解】解：因?yàn)闉榈冗吶切?，是邊的中點(diǎn)，故,,
又是線段上任意一點(diǎn)，故設(shè)，
因?yàn)?，所?
故,
又,故.
故選：C.

5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（??????）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的減法法則畫(huà)出，得到一個(gè)等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.
【詳解】如圖，，，則，
設(shè)最小的小正方形網(wǎng)格長(zhǎng)度為1，則，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量與的夾角為的補(bǔ)角.

故選：D.
6．已知空間任一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)、、，下列能得到、、、四點(diǎn)共面的是（????）
A． B．
C． D．以上都不對(duì)
【答案】B
【分析】先證明出若且，則、、、四點(diǎn)共面，進(jìn)而可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)且，
則，，
則，所以，、、為共面向量，則、、、四點(diǎn)共面.
對(duì)于A選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面；
對(duì)于B選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)共面；
對(duì)于C選項(xiàng)，，，、、、四點(diǎn)不共面.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量判斷四點(diǎn)共面，考查推理能力，屬于中等題.

二、多選題
7．若是直線l上的一個(gè)單位向量，這條直線上的向量，，則下列說(shuō)法正確的是（????）
A． B． C．與的夾角為 D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)條件可得，進(jìn)而可判斷ABC，然后利用向量數(shù)量積的概念可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，?br /> 所以，故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：BC.
8．對(duì)于兩個(gè)向量和，下列命題中錯(cuò)誤的是（????）
A．若，滿足，且與同向，則 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則，以及向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，逐項(xiàng)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】對(duì)于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A不正確；
對(duì)于B中，由，
又由，因?yàn)椋?br /> 所以成立，所以B正確；
對(duì)于C中，，所以C不正確；
對(duì)于D中，，
所以，所以D不正確.
故選：ACD.

三、填空題
9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_(kāi)________.
【答案】
【分析】由向量夾角公式直接求解即可.
【詳解】，
夾角為，
故答案為：.
10．在中，、、分別是角A、、的對(duì)邊，，，，，則___________.
【答案】
【分析】將已知向量等式兩邊平方，利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則運(yùn)算化簡(jiǎn)，進(jìn)而再開(kāi)方求得答案.
【詳解】
，
，
故答案為：.
11．在中，，且，則的最小值是___________.
【答案】
【分析】計(jì)算出，利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可解出答案.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，
所以.
故答案為：.
12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】/
【分析】令，進(jìn)而根據(jù)向量模的不等式關(guān)系得，且
，再求向量的模，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：
所以，
所以的最小值為
故答案為： .

四、解答題
13．運(yùn)用數(shù)量積知識(shí)證明下列幾何命題：
(1)在中，，則；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2)證明見(jiàn)解析.

【解析】(1)
證明：由題得,
因?yàn)?，所?
所以，
所以.
(2)
證明；因?yàn)榫匦蜛BCD，
所以，
同理,
因?yàn)?
所以,所以AC＝BD.
14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點(diǎn)，設(shè)，用向量表示.

【答案】，；，.
【解析】利用平行線以及三角形相似，先找出線段間的關(guān)系，再結(jié)合圖象得到向量間的關(guān)系．
【詳解】解析因?yàn)?，所?
由，得.
又是的底邊的中點(diǎn)，，所以，.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質(zhì)，向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．屬于基礎(chǔ)題.
15．已知，且與的夾角為，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）根據(jù)在方向上的投影為計(jì)算即可得解；
（2）根據(jù)向量的線性運(yùn)算求出，再根據(jù)向量的模的計(jì)算公式結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得出答案.
(1)
解：因?yàn)椋遗c的夾角為，
所以在方向上的投影為；
(2)
解：因?yàn)?，?br /> 所以，
則，
即.
16．平面內(nèi)給定三個(gè)向量，且．

(1)求實(shí)數(shù)k關(guān)于n的表達(dá)式；
(2)如圖，在中，G為中線OM上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)G的直線與邊OA，OB分別交于點(diǎn)P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可；
（2）由向量的運(yùn)算得出，再由三點(diǎn)共線，得出，再由基本不等式求最值.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 所以，即.
（2）由（1）可知，，，由題意可知
因?yàn)?，所?br /> 又，，所以.
因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以.

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，即時(shí)，取最小值.



提升題型訓(xùn)練

一、單選題
1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（????）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】利用向量數(shù)量積運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
故選：A
2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（????）

A．與 B．與 C．與 D．與
【答案】D
【分析】判斷出四邊形為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及相等向量的定義可得出合適的選項(xiàng)．
【詳解】因?yàn)樵谒倪呅沃校?br /> 則四邊形為平行四邊形，
故，，，
故選：D．
3．下列命題正確的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題；A.，錯(cuò)誤；向量的模長(zhǎng)相等，但方向不同；B．，錯(cuò)誤；向量是有方向的，不能比大?。籇．，錯(cuò)誤；向量相等，則模長(zhǎng)相等，方向相同．而共線則方可相反．C．，正確；符合零向量的定義．
考點(diǎn)：向量的概念．
4．對(duì)于非零向量，，定義．若，則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)定理可得，然后利用向量模的計(jì)算求出，代入即可求解.
【詳解】∵，∴．
由可得，
兩式相減得，∴．
故選：B.
5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（????）
A． [，＋∞) B． [，＋∞)
C．[，6] D．[，6]
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的數(shù)量積與模的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再利用數(shù)量積的定義化簡(jiǎn)求最值.
【詳解】＝＝＝＝≥，當(dāng)t＝－1時(shí)取等號(hào)．
故選：B.
6．已知，，則的最大值等于（????）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量數(shù)量積運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)椋?br /> 所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多選題
7．有如下命題，其中真命題為（????）
A．若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則
B．函數(shù)（且）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．
【答案】BD
【分析】A 選項(xiàng)，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，求出解析式，即可判斷；B選項(xiàng)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)
即可得到；C選項(xiàng)，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；D選項(xiàng)，由投影向量知識(shí)可算得.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因?yàn)閮绾瘮?shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，即，解得，則，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)B選項(xiàng)，函數(shù)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
對(duì)C選項(xiàng)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D選項(xiàng)，在方向上的投影向量,故D選項(xiàng)正確.
故選：BD.
8．下列命題中假命題的是（????）
A．向量與向量共線，則存在實(shí)數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.
【答案】ACD
【分析】A.根據(jù)共線向量定理進(jìn)行分析判斷即可；B.將左右同時(shí)平方，由此求解出的取值范圍，則范圍可求；C.考慮零向量存在的情況；D.根據(jù)，同時(shí)注意排除兩向量同向時(shí)的情況.
【詳解】A.根據(jù)共線向量定理可知，此時(shí)，故錯(cuò)誤；
B.因?yàn)椋?，所以，所以?br /> 又因?yàn)?，所以，故正確；
C.當(dāng)中有零向量時(shí)，此時(shí)，因?yàn)榱阆蛄糠较蚴侨我獾模圆灰欢M足，故錯(cuò)誤；
D.因?yàn)橄蛄颗c的夾角為銳角，所以，
所以，即，且與不同向，
當(dāng)向量與共線時(shí)，設(shè)，所以，所以，
顯然時(shí)，與同向，
綜上可知，的取值范圍是，故錯(cuò)誤；
故選：ACD.

三、填空題
9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號(hào)）
①，；
②；；
③，；
④，．
【答案】①②③
【解析】根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.
【詳解】①中，；
②中，；
③中，；
④中，當(dāng)不共線時(shí)，.
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.
10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為_(kāi)_____.
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，再由數(shù)量積的定義可求.
【詳解】,，
即，，
，，，
又，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的定義，兩個(gè)向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.
【答案】
【解析】首先根據(jù)，求得，由此利用夾角公式計(jì)算出向量與的夾角的余弦值，由此求得向量與的夾角.
【詳解】由兩邊平方并化簡(jiǎn)得，即，即.所以，由于，所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】本小題主要考查向量模、數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量夾角公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.
12．已知平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，已知，則__．
【答案】
【分析】利用向量的三角形法則和共線向量定理即可得出．
【詳解】由向量的三角形法則可得：
∴
故答案為
【點(diǎn)睛】熟練掌握向量的三角形法則和共線向量定理是解題的關(guān)鍵．

四、解答題
13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)均為1，求.

【答案】.
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可得出結(jié)果.
【詳解】解：如圖，作，，，則根據(jù)向量加法的三角形法則可得，即.

14．如圖，按下列要求作答．

(1)以A為始點(diǎn)，作出；
(2)以B為始點(diǎn)，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析
(2)作圖見(jiàn)解析
(3)，，

【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計(jì)算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計(jì)算出各向量的模長(zhǎng).
【詳解】（1）將的起點(diǎn)同時(shí)平移到A點(diǎn)，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：

（2）先將共線向量的起點(diǎn)同時(shí)平移到B點(diǎn),計(jì)算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：

（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共線向量的加法運(yùn)算可知；
利用圖示的向量和勾股定理可知，.
15．已知，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求出，利用向量夾角公式求解即可；
（2）根據(jù)向量的運(yùn)算法則先計(jì)算，即可求解.
【詳解】，
，
即．
，
，；
，
又，
；


，
．
16．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè).

(1)計(jì)算的大?。?br /> (2)是否存在實(shí)數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積及模長(zhǎng)運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
故.
（2）存在，
由（1）可得：
若向量，即，
∵與向量垂直，
則，
解得.


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