知識點總結(jié)
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作 |.
(2)零向量： 的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于 長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量 .
(5)相等向量：長度 且方向 的向量.
(6)相反向量：長度 且方向 的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
設(shè)a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使 ，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.
[常用結(jié)論]
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
典型例題分析
考向一 平面向量的有關(guān)概念
設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
感悟提升 平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
考向二 向量的線性運算
角度1 平面向量加、減運算的幾何意義
例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)) B.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→)) D.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
角度2 向量的線性運算
例3 在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
角度3 利用向量的線性運算求參數(shù)
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq \r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.
感悟提升 平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.
考向三 共線向量定理的應(yīng)用
例5 (1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則( )
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
(2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)xeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，yeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
感悟提升 利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
考向四 等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，則eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP′,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(→))，eq \(OP′,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.
例 給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
2．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．2 020 cm長的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量
C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量
D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移
3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（ ）
A．B．
C．D．
6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都不對
二、多選題
7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．與的夾角為D．
8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（ ）
A．若，滿足，且與同向，則B．
C．D．
三、填空題
9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.
10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.
11．在中，，且，則的最小值是___________.
12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.
四、解答題
13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：
(1)在中，，則；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設(shè)，用向量表示.
15．已知，且與的夾角為，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
16．平面內(nèi)給定三個向量，且．
(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；
(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（ ）
A．與B．與C．與D．與
3．下列命題正確的是
A．
B．
C．
D．
4．對于非零向量，，定義．若，則（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（ ）
A． [，＋∞)B． [，＋∞)
C．[，6]D．[，6]
6．已知，，則的最大值等于（ ）
A．4B．C．D．5
二、多選題
7．有如下命題，其中真命題為（ ）
A．若冪函數(shù)的圖象過點，則
B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．
8．下列命題中假命題的是（ ）
A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.
三、填空題
9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）
①，；
②；；
③，；
④，．
10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.
11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.
12．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知，則__．
四、解答題
13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長均為1，求.
14．如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
15．已知，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求
16．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè).
(1)計算的大?。?br>(2)是否存在實數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請說明理由．
向量運算
定 義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝ ；
(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時，0a＝0；當(dāng)a＝0時，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝ ；
λ(a＋b)＝
5.1 平面向量的概念及其線性運算
思維導(dǎo)圖
知識點總結(jié)
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
設(shè)a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.
[常用結(jié)論]
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
典型例題分析
考向一 平面向量的有關(guān)概念
設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析 因為向量eq \f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq \f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，
所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.
當(dāng)a＝2b時，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，
故a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件.
感悟提升 平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
考向二 向量的線性運算
角度1 平面向量加、減運算的幾何意義
例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)) B.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→)) D.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析 由題圖，得eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)).故選A.
角度2 向量的線性運算
例3 在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
答案 A
解析 如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).
因為eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
角度3 利用向量的線性運算求參數(shù)
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq \r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析 如圖.
∵AD為BC邊上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴BD＝eq \r(3)＝eq \f(1,3)BC，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
又∵eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，故λ－μ＝eq \f(1,3).
感悟提升 平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.
考向三 共線向量定理的應(yīng)用
例5 (1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則( )
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
答案 D
解析 對于A，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，與eq \(AB,\s\up6(→))不共線，A不正確；
對于B，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，則eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))不共線，B不正確；
對于C，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則eq \(BC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))不共線，C不正確；
對于D，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq \(CD,\s\up6(→))，即eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，又線段AC與CD有公共點C，所以A，C，D三點共線，D正確.故選D.
(2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)xeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，yeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析 延長AG交BC于點H(圖略)，則H為BC的中點，
∵G為△ABC的重心，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)\(AM,\s\up6(→))＋\f(1,y)\(AN,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3x)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,3y)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵M，G，N三點共線，
∴eq \f(1,3x)＋eq \f(1,3y)＝1，
即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3.故選A.
感悟提升 利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
考向四 等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，則eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP′,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(→))，eq \(OP′,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.
例 給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O(shè)為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.
答案 2
解析 法一 由已知可設(shè)OA為x軸的正半軸，O為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系(圖略).
其中A(1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(cs θ，sin θ)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中∠AOC＝θ，0≤θ≤\f(2π,3))).
則有eq \(OC,\s\up6(→))＝(cs θ，sin θ)＝x(1，0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)＝cs θ，,\f(\r(3),2)y＝sin θ，))
得x＝eq \f(\r(3),3)sin θ＋cs θ，y＝eq \f(2\r(3),3)sin θ，
x＋y＝eq \f(\r(3),3)sin θ＋cs θ＋eq \f(2\r(3),3)sin θ＝eq \r(3)sin θ＋cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，
其中0≤θ≤eq \f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，
當(dāng)且僅當(dāng)θ＝eq \f(π,3)時取得.
法二 如圖，
連接AB交OC于點D，
設(shè)eq \(OD,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))，
由于eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝t(xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))).
因為D，A，B三點在同一直線上，
所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq \f(1,t)，
由于|eq \(OD,\s\up6(→))|＝t|eq \(OC,\s\up6(→))|＝t，
當(dāng)OD⊥AB時t取到最小值eq \f(1,2)，
當(dāng)點D與點A或點B重合時t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.
法三 (等和線法)連接AB，
過C作直線l∥AB，則直線l為以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當(dāng)l與圓弧相切于C1時，定值最大，
因為∠AOB＝120°，
所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x＋y的最大值為2.
基礎(chǔ)題型訓(xùn)練
一、單選題
1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（ ）
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】向量數(shù)乘仍是向量，故①錯誤；由向量數(shù)量積的運算律，有②③正確；應(yīng)用數(shù)量積的運算可證明、不成立，故④⑤錯誤
【詳解】①錯誤，正確的是，向量數(shù)乘結(jié)果還是向量.
②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運算可判斷得出.
④錯誤，，故
⑤錯誤，
綜上，正確的個數(shù)為2
故選：B
【點睛】本題考查了向量的運算性質(zhì)、數(shù)量積的運算律，判斷正誤
2．下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．2 020 cm長的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量
C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量
D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移
【答案】B
【分析】根據(jù)單位向量的定義，向量的概念及共線向量的概念，逐項判定，即可求解.
【詳解】由一個單位長度取作2020 cm時，2020 cm長的有向線段就表示單位向量，故A錯誤；
根據(jù)單位向量的定義，在直線上有且僅有兩個點使得為單位長度，所以B正確；
方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量是平行的，所以兩向量為共線向量，故C錯誤；
根據(jù)位移的定義，向量表示點到點的位移，所以D不正確.
故選：B.
3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，求得，再利用平面向量的夾角公式求解.
【詳解】解：因為，
所以，即，
解得，
所以，
因為，
所以，
故選：B
4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平面向量的線性運算可得，，設(shè)，利用平面向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】解：因為為等邊三角形，是邊的中點，故,,
又是線段上任意一點，故設(shè)，
因為，所以.
故,
又,故.
故選：C.
5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的減法法則畫出，得到一個等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.
【詳解】如圖，，，則，
設(shè)最小的小正方形網(wǎng)格長度為1，則，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量與的夾角為的補角.
故選：D.
6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都不對
【答案】B
【分析】先證明出若且，則、、、四點共面，進而可得出合適的選項.
【詳解】設(shè)且，
則，，
則，所以，、、為共面向量，則、、、四點共面.
對于A選項，，，、、、四點不共面；
對于B選項，，，、、、四點共面；
對于C選項，，，、、、四點不共面.
故選：B.
【點睛】本題考查利用空間向量判斷四點共面，考查推理能力，屬于中等題.
二、多選題
7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．與的夾角為D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)條件可得，進而可判斷ABC，然后利用向量數(shù)量積的概念可判斷D.
【詳解】因為，，
所以，故A錯誤，B正確，C正確；
所以，故D錯誤.
故選：BC.
8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（ ）
A．若，滿足，且與同向，則B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的運算法則，以及向量的數(shù)量積的運算公式，逐項運算，即可求解.
【詳解】對于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A不正確；
對于B中，由，
又由，因為，
所以成立，所以B正確；
對于C中，，所以C不正確；
對于D中，，
所以，所以D不正確.
故選：ACD.
三、填空題
9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.
【答案】
【分析】由向量夾角公式直接求解即可.
【詳解】，
夾角為，
故答案為：.
10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.
【答案】
【分析】將已知向量等式兩邊平方，利用向量的數(shù)量積的運算法則運算化簡，進而再開方求得答案.
【詳解】
，
，
故答案為：.
11．在中，，且，則的最小值是___________.
【答案】
【分析】計算出，利用二次函數(shù)的最值問題即可解出答案.
【詳解】，
當(dāng)時，，
所以.
故答案為：.
12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.
【答案】/
【分析】令，進而根據(jù)向量模的不等式關(guān)系得，且，再求向量的模，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.
【詳解】設(shè)，則，
所以，
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：
所以，
所以的最小值為
故答案為： .
四、解答題
13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：
(1)在中，，則；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】(1)
證明：由題得,
因為，所以,
所以，
所以.
(2)
證明；因為矩形ABCD，
所以，
同理,
因為,
所以,所以AC＝BD.
14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設(shè)，用向量表示.
【答案】，；，.
【解析】利用平行線以及三角形相似，先找出線段間的關(guān)系，再結(jié)合圖象得到向量間的關(guān)系．
【詳解】解析因為，所以.
由，得.
又是的底邊的中點，，所以，.
【點睛】本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質(zhì)，向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．屬于基礎(chǔ)題.
15．已知，且與的夾角為，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)在方向上的投影為計算即可得解；
（2）根據(jù)向量的線性運算求出，再根據(jù)向量的模的計算公式結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得出答案.
(1)
解：因為，且與的夾角為，
所以在方向上的投影為；
(2)
解：因為，，
所以，
則，
即.
16．平面內(nèi)給定三個向量，且．
(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；
(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行的坐標(biāo)運算求解即可；
（2）由向量的運算得出，再由三點共線，得出，再由基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為，
所以，即.
（2）由（1）可知，，，由題意可知
因為，所以
又，，所以.
因為三點共線，所以.
當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即時，取最小值.
提升題型訓(xùn)練
一、單選題
1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（ ）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】利用向量數(shù)量積運算求得正確答案.
【詳解】
故選：A
2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（ ）
A．與B．與C．與D．與
【答案】D
【分析】判斷出四邊形為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及相等向量的定義可得出合適的選項．
【詳解】因為在四邊形中，，
則四邊形為平行四邊形，
故，，，
故選：D．
3．下列命題正確的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題；A.，錯誤；向量的模長相等，但方向不同；B．，錯誤；向量是有方向的，不能比大小；D．，錯誤；向量相等，則模長相等，方向相同．而共線則方可相反．C．，正確；符合零向量的定義．
考點：向量的概念．
4．對于非零向量，，定義．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)定理可得，然后利用向量模的計算求出，代入即可求解.
【詳解】∵，∴．
由可得，
兩式相減得，∴．
故選：B.
5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（ ）
A． [，＋∞)B． [，＋∞)
C．[，6]D．[，6]
【答案】B
【分析】由復(fù)數(shù)的數(shù)量積與模的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再利用數(shù)量積的定義化簡求最值.
【詳解】＝＝＝＝≥，當(dāng)t＝－1時取等號．
故選：B.
6．已知，，則的最大值等于（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量數(shù)量積運算求解.
【詳解】因為，，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
故選：C
【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.
二、多選題
7．有如下命題，其中真命題為（ ）
A．若冪函數(shù)的圖象過點，則
B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．
【答案】BD
【分析】A 選項，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點，求出解析式，即可判斷；B選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點即可得到；C選項，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；D選項，由投影向量知識可算得.
【詳解】對A選項，設(shè)冪函數(shù)的解析式為，因為冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，即，解得，則，，故A選項錯誤；
對B選項，函數(shù)的圖象恒過定點，故B選項正確；
對C選項，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C選項錯誤；
對D選項，在方向上的投影向量,故D選項正確.
故選：BD.
8．下列命題中假命題的是（ ）
A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.
【答案】ACD
【分析】A.根據(jù)共線向量定理進行分析判斷即可；B.將左右同時平方，由此求解出的取值范圍，則范圍可求；C.考慮零向量存在的情況；D.根據(jù)，同時注意排除兩向量同向時的情況.
【詳解】A.根據(jù)共線向量定理可知，此時，故錯誤；
B.因為，所以，所以，所以，
又因為，所以，故正確；
C.當(dāng)中有零向量時，此時，因為零向量方向是任意的，所以不一定滿足，故錯誤；
D.因為向量與的夾角為銳角，所以，
所以，即，且與不同向，
當(dāng)向量與共線時，設(shè)，所以，所以，
顯然時，與同向，
綜上可知，的取值范圍是，故錯誤；
故選：ACD.
三、填空題
9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）
①，；
②；；
③，；
④，．
【答案】①②③
【解析】根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.
【詳解】①中，；
②中，；
③中，；
④中，當(dāng)不共線時，.
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查平面向量共線定理，屬于基礎(chǔ)題.
10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，再由數(shù)量積的定義可求.
【詳解】,，
即，，
，，，
又，.
故答案為：.
【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.
【答案】
【解析】首先根據(jù)，求得，由此利用夾角公式計算出向量與的夾角的余弦值，由此求得向量與的夾角.
【詳解】由兩邊平方并化簡得，即，即.所以，由于，所以.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查向量模、數(shù)量積的運算，考查向量夾角公式，考查運算求解能力，屬于中檔題.
12．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知，則__．
【答案】
【分析】利用向量的三角形法則和共線向量定理即可得出．
【詳解】由向量的三角形法則可得：
∴
故答案為
【點睛】熟練掌握向量的三角形法則和共線向量定理是解題的關(guān)鍵．
四、解答題
13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長均為1，求.
【答案】.
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可得出結(jié)果.
【詳解】解：如圖，作，，，則根據(jù)向量加法的三角形法則可得，即.
14．如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)，，
【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計算出各向量的模長.
【詳解】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：
（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：
（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共線向量的加法運算可知；
利用圖示的向量和勾股定理可知，.
15．已知，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)向量的運算性質(zhì)化簡求出，利用向量夾角公式求解即可；
（2）根據(jù)向量的運算法則先計算，即可求解.
【詳解】，
，
即．
，
，；
，
又，
；
，
．
16．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè).
(1)計算的大??；
(2)是否存在實數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積及模長運算求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合垂直關(guān)系運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
故.
（2）存在，
由（1）可得：
若向量，即，
∵與向量垂直，
則，
解得.
向量運算
定 義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時，0a＝0；當(dāng)a＝0時，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

相關(guān)試卷

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題5.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題5.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)運算(原卷版+解析)，共35頁。試卷主要包含了平面向量的基本定理，平面向量的正交分解，平面向量的坐標(biāo)運算，向量平行的坐標(biāo)表示等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題3.1導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的運算(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題3.1導(dǎo)數(shù)的定義、導(dǎo)數(shù)的運算(原卷版+解析)，共42頁。試卷主要包含了導(dǎo)數(shù)的概念，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)函數(shù)的概念，基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的運算法則，復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，常用結(jié)論，某物體的運動路程s等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題2.7函數(shù)模型及其應(yīng)用(原卷版+解析)：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題2.7函數(shù)模型及其應(yīng)用(原卷版+解析)，共45頁。試卷主要包含了一般式，頂點式，兩點式，函數(shù)的零點個數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的零點，若，則的值滿足等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題2.1函數(shù)及其表示(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題2.1函數(shù)及其表示(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題1.1集合的概念與運算(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破專題1.1集合的概念與運算(原卷版+解析)
高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.1平面向量的概念、線性運算及坐標(biāo)表示(精講)(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.1平面向量的概念、線性運算及坐標(biāo)表示(精講)(原卷版+解析)
專題5.1 平面向量的概念及其線性運算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型 ?技巧》精講與精練

專題5.1 平面向量的概念及其線性運算-2024年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)《考點?題型 ?技巧》精講與精練
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部