5.1  平面向量的概念及其線性運算思維導(dǎo)圖  知識點總結(jié)1.向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的長度(或稱模)，記作    |.(2)零向量：      的向量，記作0.(3)單位向量：長度等于   長度的向量.(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量    .(5)相等向量：長度   且方向   的向量.(6)相反向量：長度     且方向   的向量.
2.向量的線性運算向量運算定　義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算三角形法則平行四邊形法則(1)交換律：a＋b＝b＋a(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝      減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa(1)|λa|＝     ；(2)若a≠0，則當(dāng)λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當(dāng)λ＝0時，0a＝0；當(dāng)a＝0時，λ0＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝    ；λ(a＋b)＝     3.共線向量定理設(shè)a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使     ，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.[常用結(jié)論]1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則＝(＋).2.＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件. 
典型例題分析考向一 　平面向量的有關(guān)概念例1.  設(shè)a，b都是非零向量，下列四個條件中，使＝成立的充分條件是(　　)A.a＝－b  B.a∥bC.a＝2b  D.a∥b且|a|＝|b|   感悟提升　平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆. 考向二 向量的線性運算角度1　平面向量加、減運算的幾何意義例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則＝(　　)A.－＋  B.－＋C.－＋  D.－＋ 
  角度2　向量的線性運算例3 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，則等于(　　)A.a＋b  B.a＋bC.a－b  D.a－b      角度3　利用向量的線性運算求參數(shù)例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若＝λ＋μ，則λ－μ＝________.    感悟提升　平面向量線性運算的常見類型及解題策略(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進(jìn)行比較，求參數(shù)的值.  考向三 共線向量定理的應(yīng)用
例5 (1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，則(　　)A.A，B，D三點共線  B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線  D.A，C，D三點共線   (2)(2023·山西大學(xué)附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)x＝，y＝，則＋的值為(　　)A.3  B.4  C.5  D.6        感悟提升　利用共線向量定理解題的策略(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.(2)當(dāng)兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?，共線.(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.(4)＝λ＋μ(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1. 
考向四  等和(高)線定理(1)由三點共線結(jié)論推導(dǎo)等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得＝k，則＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.(2)平面內(nèi)一組基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.例 給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O為圓心的圓弧上運動，若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.  基礎(chǔ)題型訓(xùn)練  一、單選題1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（     ）①；②；③；④；⑤
A．1 B．2 C．3 D．42．下列結(jié)論中，正確的是（    ）A．2 020 cm長的有向線段不可能表示單位向量B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量D．一人從A點向東走500米到達(dá)B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（    ）A． B． C． D．4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（      ）A． B．C． D．6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（    ）A． B．C． D．以上都不對 二、多選題7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（    ）A． B． C．與的夾角為 D．
8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（    ）A．若，滿足，且與同向，則 B．C． D． 三、填空題9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.11．在中，，且，則的最小值是___________.12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______. 四、解答題13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：(1)在中，，則；(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設(shè)，用向量表示.15．已知，且與的夾角為，又，，(1)求在方向上的投影；(2)求．
16．平面內(nèi)給定三個向量，且．(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達(dá)式；(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值．  提升題型訓(xùn)練 一、單選題1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（    ）A． B． C．0 D．22．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（    ）A．與 B．與 C．與 D．與3．下列命題正確的是A．B．C．D．4．對于非零向量，，定義．若，則
（    ）A． B． C． D．5．設(shè)向量，滿足，，，則的取值范圍是（    ）A． [，＋∞) B． [，＋∞)C．[，6] D．[，6]6．已知，，則的最大值等于（    ）A．4 B． C． D．5 二、多選題7．有如下命題，其中真命題為（    ）A．若冪函數(shù)的圖象過點，則B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點C．函數(shù)在上單調(diào)遞減D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．8．下列命題中假命題的是（    ）A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則C．若，則D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是. 三、填空題9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）①，；②；；
③，；④，．10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.12．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知，則__． 四、解答題13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長均為1，求.14．如圖，按下列要求作答．(1)以A為始點，作出；(2)以B為始點，作出；(3)若為單位向量，求、和．15．已知，，．（1）求向量與的夾角；（2）求16．如圖，設(shè)Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo)，假設(shè).
(1)計算的大?。?/span>(2)是否存在實數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請說明理由．  

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