5.2  平面向量的基本定理及坐標運算思維導圖 知識點總結(jié)1.平面向量的基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝      基底兩個不共線的向量e1，e2叫作這個平面的一組基底2.平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個      的向量，稱為向量作正交分解.3.平面向量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝       ，a－b＝       ，λa＝        ，|a|＝       .(2)向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝        ，||＝               設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(a≠0)，則a∥b?           
[常用結(jié)論]1.平面內(nèi)不共線向量都可以作為基底，反之亦然.2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關(guān)系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的. 典型例題分析考向一 平面向量基本定理的應(yīng)用例1 (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記＝m，＝n，則＝(　　)A.3m－2n  B.－2m＋3nC.3m＋2n  D.2m＋3n     (2)在△ABC中，點P是AB上一點，且＝＋，Q是BC的中點，AQ與CP的交點為M，又＝t，則t的值為________.   感悟提升　1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
考向二 平面向量的坐標運算例2 (1)在平行四邊形ABCD中，＝(3，7)，＝(－2，3)，對角線AC與BD交于點O，則的坐標為(　　)A.  B.C.  D.   (2)(2023·北京人大附中統(tǒng)練)已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，用基底{a，b}表示c，則(　　)A.c＝2a－3b  B.c＝－2a－3bC.c＝－3a＋2b  D.c＝3a－2b   感悟提升　平面向量坐標運算的技巧(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標.(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.  考向三  平面向量平行的坐標表示角度1　利用向量平行求參數(shù)例3 (1)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(m，－1)，若c∥(2a＋b)，則m等于(　　)
A.－2  B.－1  C.－  D.   (2)已知向量＝(k，12)，＝(4，5)，＝(－k，10)，且A，B，C三點共線，則k＝________.   角度2　利用向量平行求向量或點的坐標例4 在△ABC中，已知點O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，＝，＝，AD與BC交于點M，則點M的坐標為________.    感悟提升　1.兩平面向量平行的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.2.向量平行的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù).當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應(yīng)成比例來求解. 基礎(chǔ)題型訓練 一、單選題1．若則等于（     ）
A． B．C．  D．＋2．若向量，，則（    ）A． B． C． D．3．已知向量，若，則（    ）A． B． C． D．54．已知向量，則是的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知向，，若與垂直，則實數(shù)的值為（    ）A．-1 B．0 C．1 D．26．已知點不共線，為實數(shù)，，則“”是“點在內(nèi)（不含邊界）”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 二、多選題7．已知向量，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．  C．與反向 D．可作一組基底8．已知向量，，，設(shè)，的夾角為，則（    ）A． B．C．在上的投影向量為 D． 三、填空題9．設(shè)向量，，若，則________．
10．假設(shè)，，若，則________________.11．中，，若，則___________．12．已知點，，向量，則__________． 四、解答題13．在平面直角坐標系xOy中已知四邊形ABCD是平行四邊形，，.(1)則等于多少？(2)求的模？14．已知三個頂點的坐標分別為.(1)若是邊上的高,求向量的坐標;(2)若點E在x軸上,使為鈍角三角形,且為鈍角,求點E的橫坐標的取值范圍.15．如圖，在平面直角坐標系中，，，.（1）求點，點的坐標；（2）求四邊形的面積.16．已知向量.(1)若，求m，n的值：(2)若向量滿足，求的坐標. 提升題型訓練 
一、單選題1．已知=(4，5)，=(－3，4)，則－4的坐標是（    ）A．(16，11) B．(－16，－11) C．(－16，11) D．(16，－11)2．已知，為平面向量，且，，則，夾角的余弦值等于（    ）A． B．－ C． D．－3．正方形ABCD的邊長為2，以AB為直徑的圓M，若點P為圓M上一動點，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．4．在平面四邊形中，，，.若E、F為邊BD上的動點，且，則的取值范圍為（    ）A． B． C． D．5．把點按向量平移到點，則函數(shù)的圖像按向量平移后的圖象的函數(shù)表達式為（    ）．A． B．C． D．6．在中，，，，M是外接圓上一動點，若，則的最大值是（    ）A．1 B． C． D．2 二、多選題7．設(shè)、、是平面上任意三點，定義向量的運算：，其中向量由向量以點為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)得到（若為零向量，規(guī)定也是零向量）.對平面向量、、，下列說法正確的是（    ）A．
B．對任意，C．若、為不共線向量，滿足，則，D．8．已知的重心為，點是邊上的動點，則下列說法正確的是（    ）A．B．若，則的面積是面積的C．若，，則D．若，，則當取得最小值時， 三、填空題9．已知向量，則 ______ ．10．向量，且，則___________.11．已知平面向量，其中是是單位向量且夾角為，向量滿足，則的最大值與最小值之差為__________.12．已知，，則的范圍是________. 四、解答題13．在下列各小題中，已知向量，的坐標，分別求的坐標：（1），；（2），；（3），；（4），．14．已知點、、及，為何值時，點在軸上？點在軸上？點在第二象限？
15．已知，，是同一平面內(nèi)的三個向量，其中．(1)若，且，求的坐標；(2)若，且與的夾角為，求的值．16．已知向量，．設(shè)函數(shù)，．(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；(2)設(shè)，若方程在上有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍，并求的值.(3)若將的圖像上的所有點向左平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像．當（其中）時，記函數(shù)的最大值與最小值分別為與，設(shè)，求函數(shù)的解析式.  

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