2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題3.3 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及生活實(shí)際中的應(yīng)用（解析版）

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題3.3 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及生活實(shí)際中的應(yīng)用（解析版），共50頁(yè)。試卷主要包含了隱零點(diǎn)問(wèn)題的解題技巧，已知函數(shù)，若，則的取值范圍是等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?3.3 導(dǎo)數(shù)在函數(shù)最值及生活實(shí)際中的應(yīng)用
思維導(dǎo)圖



知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)數(shù)與不等式



構(gòu)造法證明不等式是指在證明與函數(shù)有關(guān)的不等式時(shí)，根據(jù)所要證明的不等式，構(gòu)造與之相關(guān)的函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性、極值、最值加以證明．常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：
(1)直接構(gòu)造法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))轉(zhuǎn)化為證明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)；
(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮，二是利用常見(jiàn)的放縮結(jié)論，如ln x≤x－1，ex≥x＋1，ln x＜x＜ex(x＞0)，≤ln (x＋1)≤x(x＞－1)；
(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)：稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對(duì)數(shù)，把不等式轉(zhuǎn)化為左、右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的形式，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；
(4)構(gòu)造雙函數(shù)：若直接構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)難以判斷符號(hào)，導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)也不易求得，因此函數(shù)單調(diào)性與極值點(diǎn)都不易獲得，則可構(gòu)造函數(shù)f(x)和g(x)，利用其最值求解．

零點(diǎn)與隱零點(diǎn)問(wèn)題


1．已知函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)范圍常用的方法
(1)分離參數(shù)法：一般命題情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從f(x)中分離出參數(shù)，然后利用求導(dǎo)的方法求出由參數(shù)構(gòu)造的新函數(shù)的極值和最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；
(2)分類討論法：一般命題情境為沒(méi)有固定區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個(gè)小范圍內(nèi)研究零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)范圍．
2．隱零點(diǎn)問(wèn)題的解題技巧(能夠判斷其存在但無(wú)法直接表示的，稱之為“隱零點(diǎn)”)
對(duì)于隱零點(diǎn)問(wèn)題，常用代數(shù)變形、整體代換、構(gòu)造函數(shù)、不等式應(yīng)用等技巧．



典型例題分析
考向一 移項(xiàng)作差構(gòu)造函數(shù)證明不等式
例1　(2021·南昌調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝1－，g(x)＝＋－bx，若曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1，1)，且在點(diǎn)A處的切線互相垂直．
(1)求a，b的值；
(2)證明：當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＋g(x)≥.
解　(1)因?yàn)閒(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1.
因?yàn)間(x)＝＋－bx，g′(x)＝－－－b.
因?yàn)榍€y＝f(x)與曲線y＝g(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1，1)，且在點(diǎn)A處的切線互相垂直，
所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1，
從而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1，解得a＝b＝－1.
(2)證明：g(x)＝－＋＋x，則f(x)＋g(x)≥?1－－－＋x≥0.
令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)，
則h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1.
因?yàn)閤≥1，所以h′(x)＝＋＋1＞0，h(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0.
故當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)＋g(x)≥.

若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值證明不等式．
考向二 單變量不等式恒成立或存在性問(wèn)題
例2　已知函數(shù)f(x)＝.
(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間上存在極值，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
(2)如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式f(x)≥恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．
解　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝＝－，令f′(x)＝0，得x＝1.當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．所以1為函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，且是唯一的極值點(diǎn)，
所以0＜a＜1＜a＋，故＜a＜1，即正實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
(2)當(dāng)x≥1時(shí)，k≤恒成立，令g(x)＝(x≥1)，
則g′(x)＝
＝.令h(x)＝x－ln x(x≥1)，
則h′(x)＝1－≥0，所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)＞0，g(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即實(shí)數(shù)k的取值范圍是(－∞，2].

(1)“恒成立”“存在性”問(wèn)題一定要正確理解其實(shí)質(zhì)，
深刻挖掘內(nèi)含條件，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
(2)構(gòu)造函數(shù)是求范圍問(wèn)題中的一種常用方法，解題過(guò)程中盡量采用分離參數(shù)的方法，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題．

考向三 　構(gòu)造雙函數(shù)
例3　已知兩函數(shù)f(x)＝8x2＋16x－m(m∈R)，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，若?x1∈[－3，3]，?x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，求m的取值范圍．
解　若?x1∈[－3，3]，?x2∈[－3，3]，恒有f(x1)>g(x2)成立，
只需在[－3，3]上，f(x)min>g(x)min即可．
f(x)＝8x2＋16x－m＝8(x＋1)2－m－8，
f(x)min＝f(－1)＝－m－8，g(x)＝2x3＋5x2＋4x，g′(x)＝6x2＋10x＋4＝2(x＋1)(3x＋2)，
當(dāng)x∈[－3，－1)∪時(shí)，g′(x)>0，故[－3，－1)與是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)x∈時(shí)，g′(x)－21，解得mx；
(2)討論函數(shù)f(x)在R上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并求出相對(duì)應(yīng)的a的取值范圍．
解　(1)證明：當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝ex－x，
令g(x)＝f(x)－x＝ex－x－x＝ex－2x，
則g′(x)＝ex－2.
令g′(x)＝0，得x＝ln 2.當(dāng)x0，g(x)單調(diào)遞增．ln 2是g(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，
即g(x)min＝g(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2ln >0，故當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)>x成立．
(2)f′(x)＝ex－1，由f′(x)＝0，得x＝0.
所以當(dāng)x0，f(x)單調(diào)遞增．
所以0是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，即f(x)min＝f(0)＝1－a.
當(dāng)1－a>0，即a0，
所以f(x)在(－∞，0)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
由(1)得ex>2x，令x＝a，得ea>2a，
所以f(a)＝ea－a－a＝ea－2a>0，
于是f(x)在(0，＋∞)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)．
因此，當(dāng)a>1時(shí)，f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)．
綜上，當(dāng)a1時(shí)，函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)．
利用導(dǎo)數(shù)確定含參函數(shù)零點(diǎn)或方程根的個(gè)數(shù)的常用方法
(1)構(gòu)建函數(shù)g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，轉(zhuǎn)化成確定g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題求解，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的單調(diào)性、極值，并確定區(qū)間端點(diǎn)值的符號(hào)(或變化趨勢(shì))等，畫出g(x)的圖象草圖，數(shù)形結(jié)合求解函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
(2)利用零點(diǎn)存在定理：先用該定理判斷函數(shù)在某區(qū)間上有零點(diǎn)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)及區(qū)間端點(diǎn)值符號(hào)，進(jìn)而判斷函數(shù)在該區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．
考向五 　　已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題
例5　函數(shù)f(x)＝ax＋x ln x在x＝1處取得極值．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若y＝f(x)－m－1在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解　(1)函數(shù)f(x)＝ax＋x ln x的定義域?yàn)?0，＋∞).
f′(x)＝a＋ln x＋1.因?yàn)閒′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，則f(x)＝－x＋x ln x，f′(x)＝ln x.令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)