高考數(shù)學一輪復習《考點?題型?技巧》精講與精練高分突破系列專題5.1平面向量的概念及其線性運算(原卷版+解析)-試卷下載-教習網(wǎng)

知識點總結(jié)
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作 |.
(2)零向量：的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量 .
(5)相等向量：長度且方向的向量.
(6)相反向量：長度且方向的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
設a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.
[常用結(jié)論]
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
典型例題分析
考向一平面向量的有關(guān)概念
設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
考向二向量的線性運算
角度1 平面向量加、減運算的幾何意義
例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)) B.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→)) D.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
角度2 向量的線性運算
例3 在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
角度3 利用向量的線性運算求參數(shù)
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq \r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.
感悟提升平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.
考向三共線向量定理的應用
例5 (1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則( )
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
(2)(2023·山西大學附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設xeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，yeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
感悟提升利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
考向四等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，則eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP′,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(→))，eq \(OP′,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.
例給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
2．下列結(jié)論中，正確的是（）
A．2 020 cm長的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量
C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量
D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移
3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（）
A．B．C．D．
4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（）
A．B．
C．D．
6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（）
A．B．
C．D．以上都不對
二、多選題
7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（）
A．B．C．與的夾角為D．
8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（）
A．若，滿足，且與同向，則B．
C．D．
三、填空題
9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.
10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.
11．在中，，且，則的最小值是___________.
12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.
四、解答題
13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：
(1)在中，，則；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設，用向量表示.
15．已知，且與的夾角為，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
16．平面內(nèi)給定三個向量，且．
(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；
(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設向量，求的最小值．
提升題型訓練
一、單選題
1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（）
A．B．C．0D．2
2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（）
A．與B．與C．與D．與
3．下列命題正確的是
A．
B．
C．
D．
4．對于非零向量，，定義．若，則（）
A．B．C．D．
5．設向量，滿足，，，則的取值范圍是（）
A． [，＋∞)B． [，＋∞)
C．[，6]D．[，6]
6．已知，，則的最大值等于（）
A．4B．C．D．5
二、多選題
7．有如下命題，其中真命題為（）
A．若冪函數(shù)的圖象過點，則
B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．
8．下列命題中假命題的是（）
A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.
三、填空題
9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）
①，；
②；；
③，；
④，．
10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.
11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.
12．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知，則__．
四、解答題
13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長均為1，求.
14．如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
15．已知，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求
16．如圖，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，假設.
(1)計算的大?。?br>(2)是否存在實數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請說明理由．
向量運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝；
(2)若a≠0，則當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當λ＝0時，0a＝0；當a＝0時，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝；
λ(a＋b)＝
5.1 平面向量的概念及其線性運算
思維導圖
知識點總結(jié)
1.向量的有關(guān)概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向線段表示，此時有向線段的方向就是向量的方向.向量eq \(AB,\s\up6(→))的大小就是向量的長度(或稱模)，記作|eq \(AB,\s\up6(→))|.
(2)零向量：長度為0的向量，記作0.
(3)單位向量：長度等于1個單位長度的向量.
(4)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，記作a∥b.規(guī)定：0與任一向量平行.
(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.
2.向量的線性運算
3.共線向量定理
設a為非零向量，如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a是共線向量，那么有且只有一個實數(shù)λ，使b＝λa.
[常用結(jié)論]
1.中點公式的向量形式：若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))).
2.eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若點A，B，C共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
3.解決向量的概念問題要注意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是考慮向量的方向；二是要特別注意零向量的特殊性，考慮零向量是否也滿足條件.
典型例題分析
考向一平面向量的有關(guān)概念
設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件是( )
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案 C
解析因為向量eq \f(a,|a|)的方向與向量a方向相同，向量eq \f(b,|b|)的方向與向量b方向相同，且eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)，
所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A，B，D.
當a＝2b時，eq \f(a,|a|)＝eq \f(2b,|2b|)＝eq \f(b,|b|)，
故a＝2b是eq \f(a,|a|)＝eq \f(b,|b|)成立的充分條件.
感悟提升平行向量有關(guān)概念的四個關(guān)注點
(1)相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.
(2)共線向量即為平行向量，它們均與起點無關(guān).
(3)向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量，解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混淆.
考向二向量的線性運算
角度1 平面向量加、減運算的幾何意義
例2 (2023·蕪湖調(diào)研)如圖，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，點E為線段CD上靠近C的三等分點，點F為線段BC的中點，則eq \(FE,\s\up6(→))＝( )
A.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)) B.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(11,9)eq \(AC,\s\up6(→))
C.－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(4,9)eq \(AC,\s\up6(→)) D.－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,6)eq \(AC,\s\up6(→))
答案 A
解析由題圖，得eq \(FE,\s\up6(→))＝eq \(FC,\s\up6(→))＋eq \(CE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(BA,\s\up6(→))＋\f(2,3)\(CB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(2,9)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(2,9)eq \(AC,\s\up6(→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up6(→))＝－eq \f(11,18)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(5,18)eq \(AC,\s\up6(→)).故選A.
角度2 向量的線性運算
例3 在△ABC中，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AC,\s\up6(→))＝b，則eq \(AD,\s\up6(→))等于( )
A.eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b B.eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b
C.eq \f(1,3)a－eq \f(2,3)b D.eq \f(2,3)a－eq \f(1,3)b
答案 A
解析如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AE,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→)).
因為eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))，
所以eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))，
所以eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)a＋eq \f(1,3)b.
角度3 利用向量的線性運算求參數(shù)
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3eq \r(3)，∠ABC＝30°，AD為BC邊上的高.若eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，則λ－μ＝________.
答案 eq \f(1,3)
解析如圖.
∵AD為BC邊上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴BD＝eq \r(3)＝eq \f(1,3)BC，
∴eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))－eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)).
又∵eq \(AD,\s\up6(→))＝λeq \(AB,\s\up6(→))＋μeq \(AC,\s\up6(→))，
∴λ＝eq \f(2,3)，μ＝eq \f(1,3)，故λ－μ＝eq \f(1,3).
感悟提升平面向量線性運算的常見類型及解題策略
(1)向量求和用平行四邊形法則或三角形法則；求差用向量減法的幾何意義.
(2)求參數(shù)問題可以通過向量的運算將向量表示出來，進行比較，求參數(shù)的值.
考向三共線向量定理的應用
例5 (1)(2022·綿陽二診)已知平面向量a，b不共線，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則( )
A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線
C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線
答案 D
解析對于A，eq \(BD,\s\up6(→))＝eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，與eq \(AB,\s\up6(→))不共線，A不正確；
對于B，eq \(AB,\s\up6(→))＝4a＋6b，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，則eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(BC,\s\up6(→))不共線，B不正確；
對于C，eq \(BC,\s\up6(→))＝－a＋3b，eq \(CD,\s\up6(→))＝a＋3b，則eq \(BC,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))不共線，C不正確；
對于D，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3eq \(CD,\s\up6(→))，即eq \(AC,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))，又線段AC與CD有公共點C，所以A，C，D三點共線，D正確.故選D.
(2)(2023·山西大學附中診斷)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設xeq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(AM,\s\up6(→))，yeq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(AN,\s\up6(→))，則eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)的值為( )
A.3 B.4
C.5 D.6
答案 A
解析延長AG交BC于點H(圖略)，則H為BC的中點，
∵G為△ABC的重心，
∴eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)\(AM,\s\up6(→))＋\f(1,y)\(AN,\s\up6(→))))＝eq \f(1,3x)eq \(AM,\s\up6(→))＋eq \f(1,3y)eq \(AN,\s\up6(→)).
∵M，G，N三點共線，
∴eq \f(1,3x)＋eq \f(1,3y)＝1，
即eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝3.故選A.
感悟提升利用共線向量定理解題的策略
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)是判斷兩個向量共線的主要依據(jù).注意待定系數(shù)法和方程思想的運用.
(2)當兩向量共線且有公共點時，才能得出三點共線，即A，B，C三點共線?eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線.
(3)若a與b不共線且λa＝μb，則λ＝μ＝0.
(4)eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))(λ，μ為實數(shù))，若A，B，C三點共線(O不在直線BC上)，則λ＋μ＝1.
考向四等和(高)線定理
(1)由三點共線結(jié)論推導等和(高)線定理：如圖，由三點共線結(jié)論可知，若eq \(OP,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝1，由△OAB與△OA′B′相似，必存在一個常數(shù)k，k∈R，使得eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))，則eq \(OP′,\s\up6(→))＝keq \(OP,\s\up6(→))＝kλeq \(OA,\s\up6(→))＋kμeq \(OB,\s\up6(→))，又eq \(OP′,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.
(2)平面內(nèi)一組基底eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))及任一向量eq \(OP′,\s\up6(→))，eq \(OP′,\s\up6(→))＝λeq \(OA,\s\up6(→))＋μeq \(OB,\s\up6(→))(λ，μ∈R)，若點P′在直線AB上或在平行于AB的直線上，則λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱為等和(高)線.
例給定兩個長度為1的平面向量eq \(OA,\s\up6(→))和eq \(OB,\s\up6(→))，它們的夾角為120°，如圖，點C在以O為圓心的圓弧eq \(AB,\s\up8(︵))上運動，若eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________.
答案 2
解析法一由已知可設OA為x軸的正半軸，O為坐標原點，建立直角坐標系(圖略).
其中A(1，0)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，C(cs θ，sin θ)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中∠AOC＝θ，0≤θ≤\f(2π,3))).
則有eq \(OC,\s\up6(→))＝(cs θ，sin θ)＝x(1，0)＋yeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－\f(y,2)＝cs θ，,\f(\r(3),2)y＝sin θ，))
得x＝eq \f(\r(3),3)sin θ＋cs θ，y＝eq \f(2\r(3),3)sin θ，
x＋y＝eq \f(\r(3),3)sin θ＋cs θ＋eq \f(2\r(3),3)sin θ＝eq \r(3)sin θ＋cs θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))，
其中0≤θ≤eq \f(2π,3)，所以(x＋y)max＝2，
當且僅當θ＝eq \f(π,3)時取得.
法二如圖，
連接AB交OC于點D，
設eq \(OD,\s\up6(→))＝teq \(OC,\s\up6(→))，
由于eq \(OC,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，
所以eq \(OD,\s\up6(→))＝t(xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))).
因為D，A，B三點在同一直線上，
所以tx＋ty＝1，x＋y＝eq \f(1,t)，
由于|eq \(OD,\s\up6(→))|＝t|eq \(OC,\s\up6(→))|＝t，
當OD⊥AB時t取到最小值eq \f(1,2)，
當點D與點A或點B重合時t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值為2.
法三 (等和線法)連接AB，
過C作直線l∥AB，則直線l為以eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))為基底的平面向量基本定理系數(shù)的等和線，顯然當l與圓弧相切于C1時，定值最大，
因為∠AOB＝120°，
所以eq \(OC1,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))，
所以x＋y的最大值為2.
基礎題型訓練
一、單選題
1．下面給出的關(guān)系式中正確的個數(shù)是（）
①；②；③；④；⑤
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【解析】向量數(shù)乘仍是向量，故①錯誤；由向量數(shù)量積的運算律，有②③正確；應用數(shù)量積的運算可證明、不成立，故④⑤錯誤
【詳解】①錯誤，正確的是，向量數(shù)乘結(jié)果還是向量.
②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運算可判斷得出.
④錯誤，，故
⑤錯誤，
綜上，正確的個數(shù)為2
故選：B
【點睛】本題考查了向量的運算性質(zhì)、數(shù)量積的運算律，判斷正誤
2．下列結(jié)論中，正確的是（）
A．2 020 cm長的有向線段不可能表示單位向量
B．若O是直線l上的一點，單位長度已選定，則l上有且僅有兩個點A，B，使得是單位向量
C．方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量不可能是平行向量
D．一人從A點向東走500米到達B點，則向量不能表示這個人從A點到B點的位移
【答案】B
【分析】根據(jù)單位向量的定義，向量的概念及共線向量的概念，逐項判定，即可求解.
【詳解】由一個單位長度取作2020 cm時，2020 cm長的有向線段就表示單位向量，故A錯誤；
根據(jù)單位向量的定義，在直線上有且僅有兩個點使得為單位長度，所以B正確；
方向為北偏西50°的向量與南偏東50°的向量是平行的，所以兩向量為共線向量，故C錯誤；
根據(jù)位移的定義，向量表示點到點的位移，所以D不正確.
故選：B.
3．若＝(1，1)，＝2，且，則與的夾角是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，求得，再利用平面向量的夾角公式求解.
【詳解】解：因為，
所以，即，
解得，
所以，
因為，
所以，
故選：B
4．若是邊長為1的等邊三角形，G是邊BC的中點，M為線段AG上任意一點，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)幾何關(guān)系結(jié)合平面向量的線性運算可得，，設，利用平面向量數(shù)量積的運算律即可求解.
【詳解】解：因為為等邊三角形，是邊的中點，故,,
又是線段上任意一點，故設，
因為，所以.
故,
又,故.
故選：C.
5．已知向量，在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么向量與的夾角為（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)向量的減法法則畫出，得到一個等腰直角三角形，求其結(jié)果即可.
【詳解】如圖，，，則，
設最小的小正方形網(wǎng)格長度為1，則，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量與的夾角為的補角.
故選：D.
6．已知空間任一點和不共線的三點、、，下列能得到、、、四點共面的是（）
A．B．
C．D．以上都不對
【答案】B
【分析】先證明出若且，則、、、四點共面，進而可得出合適的選項.
【詳解】設且，
則，，
則，所以，、、為共面向量，則、、、四點共面.
對于A選項，，，、、、四點不共面；
對于B選項，，，、、、四點共面；
對于C選項，，，、、、四點不共面.
故選：B.
【點睛】本題考查利用空間向量判斷四點共面，考查推理能力，屬于中等題.
二、多選題
7．若是直線l上的一個單位向量，這條直線上的向量，，則下列說法正確的是（）
A．B．C．與的夾角為D．
【答案】BC
【分析】根據(jù)條件可得，進而可判斷ABC，然后利用向量數(shù)量積的概念可判斷D.
【詳解】因為，，
所以，故A錯誤，B正確，C正確；
所以，故D錯誤.
故選：BC.
8．對于兩個向量和，下列命題中錯誤的是（）
A．若，滿足，且與同向，則B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)向量的運算法則，以及向量的數(shù)量積的運算公式，逐項運算，即可求解.
【詳解】對于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比較大小，所以A不正確；
對于B中，由，
又由，因為，
所以成立，所以B正確；
對于C中，，所以C不正確；
對于D中，，
所以，所以D不正確.
故選：ACD.
三、填空題
9．若向量，滿足，，，則與的夾角為_________.
【答案】
【分析】由向量夾角公式直接求解即可.
【詳解】，
夾角為，
故答案為：.
10．在中，、、分別是角A、、的對邊，，，，，則___________.
【答案】
【分析】將已知向量等式兩邊平方，利用向量的數(shù)量積的運算法則運算化簡，進而再開方求得答案.
【詳解】
，
，
故答案為：.
11．在中，，且，則的最小值是___________.
【答案】
【分析】計算出，利用二次函數(shù)的最值問題即可解出答案.
【詳解】，
當時，，
所以.
故答案為：.
12．已知向量，，，滿足，，，，若，則的最小值為______.
【答案】/
【分析】令，進而根據(jù)向量模的不等式關(guān)系得，且，再求向量的模，并結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得答案.
【詳解】設，則，
所以，
，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得，，即：
所以，
所以的最小值為
故答案為： .
四、解答題
13．運用數(shù)量積知識證明下列幾何命題：
(1)在中，，則；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【解析】(1)
證明：由題得,
因為，所以,
所以，
所以.
(2)
證明；因為矩形ABCD，
所以，
同理,
因為,
所以,所以AC＝BD.
14．如圖所示，中，，邊上的中線交于點，設，用向量表示.
【答案】，；，.
【解析】利用平行線以及三角形相似，先找出線段間的關(guān)系，再結(jié)合圖象得到向量間的關(guān)系．
【詳解】解析因為，所以.
由，得.
又是的底邊的中點，，所以，.
【點睛】本題考查向量的幾何表示，三角形相似的性質(zhì)，向量的加減法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想．屬于基礎題.
15．已知，且與的夾角為，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）根據(jù)在方向上的投影為計算即可得解；
（2）根據(jù)向量的線性運算求出，再根據(jù)向量的模的計算公式結(jié)合數(shù)量積的運算律即可得出答案.
(1)
解：因為，且與的夾角為，
所以在方向上的投影為；
(2)
解：因為，，
所以，
則，
即.
16．平面內(nèi)給定三個向量，且．
(1)求實數(shù)k關(guān)于n的表達式；
(2)如圖，在中，G為中線OM上一點，且，過點G的直線與邊OA，OB分別交于點P，Q（不與重合）.設向量，求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由向量平行的坐標運算求解即可；
（2）由向量的運算得出，再由三點共線，得出，再由基本不等式求最值.
【詳解】（1）因為，
所以，即.
（2）由（1）可知，，，由題意可知
因為，所以
又，，所以.
因為三點共線，所以.
當且僅當時，取等號，即時，取最小值.
提升題型訓練
一、單選題
1．已知是互相垂直的單位向量，若，則（）
A．B．C．0D．2
【答案】A
【分析】利用向量數(shù)量積運算求得正確答案.
【詳解】
故選：A
2．如圖，四邊形中，，則相等的向量是（）
A．與B．與C．與D．與
【答案】D
【分析】判斷出四邊形為平行四邊形，結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)以及相等向量的定義可得出合適的選項．
【詳解】因為在四邊形中，，
則四邊形為平行四邊形，
故，，，
故選：D．
3．下列命題正確的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【詳解】試題分析：由題；A.，錯誤；向量的模長相等，但方向不同；B．，錯誤；向量是有方向的，不能比大??；D．，錯誤；向量相等，則模長相等，方向相同．而共線則方可相反．C．，正確；符合零向量的定義．
考點：向量的概念．
4．對于非零向量，，定義．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)定理可得，然后利用向量模的計算求出，代入即可求解.
【詳解】∵，∴．
由可得，
兩式相減得，∴．
故選：B.
5．設向量，滿足，，，則的取值范圍是（）
A． [，＋∞)B． [，＋∞)
C．[，6]D．[，6]
【答案】B
【分析】由復數(shù)的數(shù)量積與模的關(guān)系將轉(zhuǎn)化為數(shù)量積，再利用數(shù)量積的定義化簡求最值.
【詳解】＝＝＝＝≥，當t＝－1時取等號．
故選：B.
6．已知，，則的最大值等于（）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量數(shù)量積運算求解.
【詳解】因為，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
故選：C
【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算以及基本不等式的應用，屬于中檔題.
二、多選題
7．有如下命題，其中真命題為（）
A．若冪函數(shù)的圖象過點，則
B．函數(shù)（且）的圖象恒過定點
C．函數(shù)在上單調(diào)遞減
D．已知向量與的夾角為，且，，則在方向上的投影向量是．
【答案】BD
【分析】A 選項，根據(jù)冪函數(shù)經(jīng)過的點，求出解析式，即可判斷；B選項，根據(jù)指數(shù)函數(shù)恒過定點即可得到；C選項，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性可以判斷；D選項，由投影向量知識可算得.
【詳解】對A選項，設冪函數(shù)的解析式為，因為冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點，即，解得，則，，故A選項錯誤；
對B選項，函數(shù)的圖象恒過定點，故B選項正確；
對C選項，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故C選項錯誤；
對D選項，在方向上的投影向量,故D選項正確.
故選：BD.
8．下列命題中假命題的是（）
A．向量與向量共線，則存在實數(shù)使
B．，為單位向量，其夾角為θ，若，則
C．若，則
D．已知與是互相垂直的單位向量，若向量與的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是.
【答案】ACD
【分析】A.根據(jù)共線向量定理進行分析判斷即可；B.將左右同時平方，由此求解出的取值范圍，則范圍可求；C.考慮零向量存在的情況；D.根據(jù)，同時注意排除兩向量同向時的情況.
【詳解】A.根據(jù)共線向量定理可知，此時，故錯誤；
B.因為，所以，所以，所以，
又因為，所以，故正確；
C.當中有零向量時，此時，因為零向量方向是任意的，所以不一定滿足，故錯誤；
D.因為向量與的夾角為銳角，所以，
所以，即，且與不同向，
當向量與共線時，設，所以，所以，
顯然時，與同向，
綜上可知，的取值范圍是，故錯誤；
故選：ACD.
三、填空題
9．下列向量中，與一定共線的有_______．（填序號）
①，；
②；；
③，；
④，．
【答案】①②③
【解析】根據(jù)平面向量共線定理判斷即可.
【詳解】①中，；
②中，；
③中，；
④中，當不共線時，.
故答案為：①②③．
【點睛】本題考查平面向量共線定理，屬于基礎題.
10．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為______.
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為零，再由數(shù)量積的定義可求.
【詳解】,，
即，，
，，，
又，.
故答案為：.
【點睛】本題考查向量的數(shù)量積的定義，兩個向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎題.
11．已知向量與的夾角是，且，則向量與的夾角是_____.
【答案】
【解析】首先根據(jù)，求得，由此利用夾角公式計算出向量與的夾角的余弦值，由此求得向量與的夾角.
【詳解】由兩邊平方并化簡得，即，即.所以，由于，所以.
故答案為：
【點睛】本小題主要考查向量模、數(shù)量積的運算，考查向量夾角公式，考查運算求解能力，屬于中檔題.
12．已知平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，已知，則__．
【答案】
【分析】利用向量的三角形法則和共線向量定理即可得出．
【詳解】由向量的三角形法則可得：
∴
故答案為
【點睛】熟練掌握向量的三角形法則和共線向量定理是解題的關(guān)鍵．
四、解答題
13．如圖，網(wǎng)格小正方形的邊長均為1，求.
【答案】.
【分析】根據(jù)向量加法的三角形法則即可得出結(jié)果.
【詳解】解：如圖，作，，，則根據(jù)向量加法的三角形法則可得，即.
14．如圖，按下列要求作答．
(1)以A為始點，作出；
(2)以B為始點，作出；
(3)若為單位向量，求、和．
【答案】(1)作圖見解析
(2)作圖見解析
(3)，，
【分析】（1）根據(jù)向量加法的平行四邊形法則即可作出；（2）先將共線向量計算出結(jié)果再作出；（3）根據(jù)利用勾股定理即可計算出各向量的模長.
【詳解】（1）將的起點同時平移到A點，利用平行四邊形法則作出，如下圖所示：
（2）先將共線向量的起點同時平移到B點,計算出,再將向量與之首尾相接，利用三角形法則即可作出，如下圖所示：
（3）由是單位向量可知，根據(jù)作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共線向量的加法運算可知；
利用圖示的向量和勾股定理可知，.
15．已知，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)向量的運算性質(zhì)化簡求出，利用向量夾角公式求解即可；
（2）根據(jù)向量的運算法則先計算，即可求解.
【詳解】，
，
即．
，
，；
，
又，
；
，
．
16．如圖，設Ox，Oy是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，、分別是x軸，y軸正方向同向的單位向量，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系xOy中的坐標，假設.
(1)計算的大?。?br>(2)是否存在實數(shù)n，使得與向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積及模長運算求解；
（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合垂直關(guān)系運算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，
故.
（2）存在，
由（1）可得：
若向量，即，
∵與向量垂直，
則，
解得.
向量運算
定義
法則(或幾何意義)
運算律
加法
求兩個向量和的運算
三角形法則
平行四邊形法則
(1)交換律：
a＋b＝b＋a
(2)結(jié)合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
減法
求兩個向量差的運算
a－b＝a＋(－b)
數(shù)乘
規(guī)定實數(shù)λ與向量a相乘的運算，叫作向量的數(shù)乘，記作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)若a≠0，則當λ＞0時，λa的方向與a的方向相同；當λ＜0時，λa的方向與a的方向相反；特別地，當λ＝0時，0a＝0；當a＝0時，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb

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