專題一：函數(shù)同構(gòu)函數(shù)同構(gòu)問題是當(dāng)下的一個(gè)熱門問題，2022，2020,的導(dǎo)數(shù)問題就可以從同構(gòu)角度構(gòu)造恒成立. 同構(gòu)問題常見于指對(duì)混合函數(shù)的恒成立或零點(diǎn)問題中，重在觀察和變形，所以技巧性較強(qiáng). 當(dāng)然這類指對(duì)混合函數(shù)的恒成立也可用其他方法完成，在這里學(xué)習(xí)同構(gòu)，更多的是提升觀察與思維能力.一．基本原理解決指對(duì)混合不等式時(shí)，常規(guī)的方法計(jì)算復(fù)雜，則將不等式變形為的結(jié)構(gòu)，即為外層函數(shù)，其單調(diào)性易于研究.常見變形方式：①；②；③；④；⑤.答題思路；1.直接變形：（1）積型：（同左）；（同右）； （取對(duì)數(shù)）.說明：取對(duì)數(shù)是最快捷的，而且同構(gòu)出的函數(shù)，其單調(diào)性一看便知.（2）商型：（同左）；（同右）；（取對(duì)數(shù)）.（3）和差型：（同左）；（同右）.2.先湊再變形： 若式子無法直接進(jìn)行變形同構(gòu)，往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量，如兩邊同乘以，同加上等，再用上述方式變形.常見的有：①；②；③④⑤二．典例分析例1.（2022全國甲卷）已知函數(shù)．（1）若,求的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，，則．解析：（1），令，則，于是.于是等價(jià)于在上恒成立，故.（2）由（1）知要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，則假設(shè).要證明即證明，又由于在單增，即證明.下面構(gòu)造函數(shù)由于，又函數(shù)在單減，.  時(shí)在單調(diào)遞增，而 得證．例2.已知函數(shù)．（為常數(shù)）若，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析：由題意得：；即：因?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，構(gòu)造容易得：，所以只需要滿足.例3．已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）討論方程根的個(gè)數(shù).解析：（1）的最小值是.（2）由題，，則，即.所以.由，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，在上遞減；在上遞增.又因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或.又，故和不可能同時(shí)成立.所以方程根的個(gè)數(shù)是兩函數(shù)和的零點(diǎn)個(gè)數(shù)之和，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換為直線與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，，令，即，解得.當(dāng)易知時(shí)，,單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；在處取得最小值為，所以時(shí)，直線與函數(shù)圖象無交點(diǎn)，函數(shù)無零點(diǎn)；時(shí)，直線與函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，函數(shù)有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)，直線與函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn)函數(shù)，有2個(gè)零點(diǎn).同理：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，設(shè)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在處的函數(shù)值為，所以故時(shí)，在上必有1個(gè)零點(diǎn).綜上所述，時(shí)，方程有1個(gè)根；時(shí)，方程有2個(gè)根；時(shí)，方程有3個(gè)根.例3.（2022全國新高考1卷）已知函數(shù)和有相同的最小值.（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.解析：（2）由（1）可得，的最小值在處取到，的最小值在處取到，且最小值均為1. 于是,在上增，在上減，則存在，使得.這樣的話，令,且直線與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn).另一方面，注意到，考慮函數(shù)，則.設(shè)直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)為.且有.由上述討論可知：，故①，同理，由②可得：.又因?yàn)?/span>③聯(lián)立①，②，③可得：，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)成等差數(shù)列. 三.    習(xí)題演練1. 若，則（     ）A.     B.    C.             D. 答案：C解： A選項(xiàng)：，設(shè) ，設(shè)，則有恒成立，所以在單調(diào)遞增，所以，從而存在，使得，由單調(diào)性可判斷出： ，所以在不單調(diào)，不等式不會(huì)恒成立B選項(xiàng)：，設(shè)可知單調(diào)遞增.所以應(yīng)該，B錯(cuò)誤C選項(xiàng)：，構(gòu)造函數(shù)，，則在恒成立。所以在單調(diào)遞減，所以成立.D選項(xiàng)：，同樣構(gòu)造，由C選項(xiàng)分析可知D錯(cuò)誤. 習(xí)題2.已知不等式最小值為（    ）        B.         C.            D. 解析：，只需考慮其為負(fù)數(shù)的情況，，令故         

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