專題6. 深度盤點(diǎn)全國(guó)卷中構(gòu)造函數(shù)比較大小的四種類型（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個(gè)核心專題）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題6.構(gòu)造函數(shù)比較大小的四種類型1.構(gòu)造相同函數(shù)，比較不同函數(shù)值2.構(gòu)造不同函數(shù)，比較相同函數(shù)值這類問題雖然可能幾個(gè)數(shù)的形式不一致，但它們的特別是不同的函數(shù)取了相同的函數(shù)值，所以實(shí)質(zhì)在比較不同函數(shù)差值或者商的性質(zhì)，當(dāng)然，這種問題下，如果自變量取值靠近基本初等函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開點(diǎn)，利用泰勒展開來近似估計(jì)絕對(duì)是一個(gè)很好的方法!3.構(gòu)造不同函數(shù)，比較不同函數(shù)值這個(gè)時(shí)候，不等式放縮就是首選之道了！下面的這些不等式放縮需要你的注意.4.先同構(gòu)，再構(gòu)造，再比較當(dāng)題干呈現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的等式或者不等式關(guān)系，并沒有前幾類那么明顯的數(shù)字時(shí)，往往可能現(xiàn)需要同構(gòu)（變形）出一個(gè)函數(shù)之后再來比較大小.例1．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．解析：方法1. ，，由，，可得，又為上增函數(shù)，則，即，故選：B方法2.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減.由于，，故選.例2．若，則（）A． B．C． D．解析：設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，因?yàn)?/span>，所以，，因?yàn)?/span>，所以；故.故選：A.注：在這里，我們需要特別注意函數(shù)在相關(guān)比較大小問題中的出鏡率，以及結(jié)合對(duì)數(shù)性質(zhì)，所出現(xiàn)的型等等，比如可以看下例. 例3．設(shè)，，，則（）A． B． C． D．解析：設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而，，，因?yàn)?/span>，所以．故選：A．二．構(gòu)造不同函數(shù)，比較相同函數(shù)值這類問題雖然可能幾個(gè)數(shù)的形式不一致，但它們的特別是不同的函數(shù)取了相同的函數(shù)值，所以實(shí)質(zhì)在比較不同函數(shù)差值或者商的性質(zhì)，當(dāng)然，這種問題下，如果自變量取值靠近基本初等函數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù)展開點(diǎn)，利用泰勒展開來近似估計(jì)絕對(duì)是一個(gè)很好的方法!例4．（2022新高考1卷）設(shè)，則（）A． B． C． D．解析：方法1.構(gòu)造函數(shù)，作差（商）比較大小，即討論差（商）函數(shù)的性質(zhì).令，，，為了方便比較，做如下處理：，；，所以，所以，所以，，令，所以，所以，所以，所以，所以．方法2.構(gòu)造函數(shù)，利用泰勒展開直接估值.構(gòu)造函數(shù).則可以看到：，由于較小，所以對(duì)上述三個(gè)函數(shù)在處進(jìn)行二階泰勒展開：；；.在處，顯然，故.例5．設(shè)，，，，則（）A． B． C． D．解析：方法1.（構(gòu)造函數(shù)，泰勒展開估計(jì)）設(shè)，，，，注意到題干實(shí)質(zhì)在比較：，且考慮到接近于0，故對(duì)上述函數(shù)在進(jìn)行泰勒展開即：，代入到上式，顯然易得：，故選：B方法2.（構(gòu)造函數(shù)，作差比大?。?/span>易得.設(shè)，則令有，故在上單調(diào)遞增.①因?yàn)?/span>，即，故，即，故，即.②設(shè)，則，設(shè)，則.設(shè)，則，故為增函數(shù)，故，即.故，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，故，故當(dāng)時(shí)為增函數(shù)，故，故.③設(shè)，，易得當(dāng)時(shí)，故，即.綜上三．構(gòu)造不同函數(shù)，比較不同函數(shù)值這個(gè)時(shí)候，不等式放縮就是首選之道了！下面的這些不等式放縮需要你的注意.1.切線不等式：高中幾個(gè)重要的函數(shù)都具有凸凹性，這樣我們便可通過切線來構(gòu)造不等式，具體的原理請(qǐng)見《高觀點(diǎn)：函數(shù)凸凹性》，這里只列舉一些重要的切線不等式：1.1 ； 1.2 ；將這兩個(gè)切線不等式進(jìn)行合適的取值與加減項(xiàng)，又可得到更多的不等式：①②；③； 2. 高次不等式放縮2.1 ； 2.2 ；2.3 ； 2.4 .3.分式不等式放縮3.1 3.2 例6．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．解：設(shè)，，令，解得.，，單調(diào)遞減，，，單調(diào)遞增.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以.又，故，所以；設(shè)，，令，解得.，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減.所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以，故，又，所以，故.故選：B.例7.設(shè)，（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（）A． B．C． D．解析：由于，故所以對(duì)也用帕德逼近，故.四．先同構(gòu)，再構(gòu)造，再比較當(dāng)題干呈現(xiàn)一個(gè)較復(fù)雜的等式或者不等式關(guān)系，并沒有前幾類那么明顯的數(shù)字時(shí)，往往可能現(xiàn)需要同構(gòu)（變形）出一個(gè)函數(shù)之后再來比較大小.例8. 已知且且且，則（）A. B. C. D. 解析：因?yàn)?/span>，故，同理，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，因?yàn)?/span>，故，即，而，故，同理，，，因?yàn)?/span>，故，所以.故選：D．例9.已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a，b均為大于1的實(shí)數(shù)，若，則（）A． B． C． D．解析：由，可得，即，設(shè)，可得，因?yàn)?/span>，可得，又因?yàn)?/span>，所以，即，所以，當(dāng)時(shí)，，可得函數(shù)在為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，即. 故選B.

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