專題13.立體幾何中的向量方法進階訓(xùn)練1.直線的方向向量：點，那么直線的方向向量可為2.平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.注：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．3.平面的法向量確定通常有兩種方法：（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：（i）設(shè)出平面的法向量為；（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程；（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．（1）線線平行設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．（2）線面平行線面平行的判定方法一般有三種：①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．（3）面面平行①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．（1）線線垂直設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．（2）線面垂直①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．（3）面面垂直①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．②證明兩個平面的法向量互相垂直．知識點四、用向量方法求空間角（1）求異面直線所成的角已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，則．注：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．（2）求直線和平面所成的角如圖，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（易錯點）（3）求二面角如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.若分別為面的法向量，，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。?/span>②當(dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。?/span>知識點五、用向量方法求空間距離1.求點面距的一般步驟：①求出該平面的一個法向量；②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．即：點A到平面的距離，是平面的法向量，如下圖所示.                       2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．3. 點線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離 . 二．典例突破1.存在性問題.存在性問題突破的關(guān)鍵就是表示出動點的坐標(biāo)，一般利用定比分點的形式寫出動點坐標(biāo)，最后把欲求量表示成動點坐標(biāo)的函數(shù).例1．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F為棱PC上一點．（1）求證：平面平面PAD；（2）若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．解析：（1）證明：連接，因為底面為菱形，，所以是正三角形，是的中點，，又， 平面，平面，又平面，又平面，所以平面平面．（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個法向量．設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．例2．如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點O，．（1）求證：平面；（2）線段上是否存在點F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說明理由．解析：（1）∵，，∴，又O是中點∴∵平面平面，平面平面，平面，∴平面（2）∵底面是菱形，∴，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．又，所以，∴，設(shè)平面的法向量是，∴，令，則，假設(shè)線段上存在點F，且，∴，∴，∴，平方整理得：，∴或（舍）.∴時，即存在點F是中點時，與平面所成角的正弦值是．二．最值問題例3. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F分別為和的中點，D為棱上的點． （1）證明：；（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?解析：（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，，所以，又，所以平面．所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．所以，．由題設(shè)（）．（1）因為，所以，所以．（2）設(shè)平面的法向量為，因為，所以，即．令，則因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．所以.三．建系過程較復(fù)雜有一些問題中，建系過程相對較復(fù)雜，導(dǎo)致考生無法下手，這也充分表明了幾何論證的基礎(chǔ)性和重要性，下面通過兩個例子予以說明.例4.如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．（1）求到平面的距離；（2）設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．解析：（1）設(shè)到平面的距離為，，，所以，所以，所以到平面的距離為．（2）取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面,，則，所以，因為直三棱柱，所以，因為，所以平面，所以，由，所以，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，所以，，，，，平面BDC的法向量設(shè)為，平面BDA的法向量設(shè)為，，，，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，設(shè)二面角 的平面角為，則，所以二面角的正弦值為．例5．如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，平面平面，為中點.（1）求證：平面；（2）若，求二面角的余弦值大小.解析：（1）證明：設(shè)中點為，連接、，為等邊三角形，，，，，，即，， ，平面，平面，平面，為的中位線，，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，平面平面，平面DMN，平面；（2）設(shè)中點為，連接、，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，，、、共線，，，，，平面，平面.平面，平面平面，交線為，平面平面.設(shè)，則，在中，由余弦定理，得：，又，，，，，為中點，，建立直角坐標(biāo)系（如圖），則，，，.，，設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，，平面的法向量為，，二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.  

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