專題15.隱圓問(wèn)題的十大類型（備戰(zhàn)2024高考數(shù)學(xué)-大一輪36個(gè)核心專題）-教案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題15.隱圓問(wèn)題的十大類型隱圓問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中難度較大的一個(gè)跨單元主題，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量，解三角形，解析幾何等內(nèi)容，綜合性很高，更是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一！當(dāng)然，這部分內(nèi)容在課本上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓，圓的參數(shù)方程等，基于此，本節(jié)將系統(tǒng)梳理相關(guān)內(nèi)容，力爭(zhēng)做成一份全面，完整的隱圓資料.類型1. 利用圓的定義（到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡）確定隱形圓例 1.如果圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_______.解析：轉(zhuǎn)化為與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，求的取值范圍問(wèn)題，由兩圓相交的條件可知：.類型2.動(dòng)點(diǎn)滿足對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)的張角是（或者）確定隱形圓.該類型實(shí)質(zhì)就是直徑所對(duì)的圓周角為直角的應(yīng)用.例2.已知點(diǎn)在圓：上，點(diǎn)，，滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．2 C．1 D．0解析：設(shè)點(diǎn)，則，且，由，得，即，故點(diǎn)P的軌跡為一個(gè)圓心為，半徑為的圓，則兩圓的圓心距為，半徑和為，半徑差為，有，所以兩圓相交，滿足這樣的點(diǎn)P有2個(gè). 故選B.例3.已知點(diǎn)在動(dòng)直線上的投影為點(diǎn)M，若點(diǎn)，則的最大值為（）A．1 B． C．2 D．解析：由動(dòng)直線方程得，所以該直線過(guò)定點(diǎn)Q（1,3），所以動(dòng)點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，所以圓的半徑為圓心的坐標(biāo)為，所以點(diǎn)N到圓心的距離為，所以的最大值為. 故選：D.4．已知點(diǎn)P是圓C：的動(dòng)點(diǎn)，直線l：上存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A． B． C． D．解析：圓，圓心為，半徑為.依題意，是圓上任意一點(diǎn)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，故以為直徑的圓始終與圓相切，即圓的半徑的最小值是到直線距離的最大值，即，所以的最小值是. 故選：A5．已知是圓的一條弦，且，是的中點(diǎn)，當(dāng)弦在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則線段長(zhǎng)度的最小值是（）A． B． C． D．解析：由題可知：，圓心，半徑，又，是的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程，圓心為點(diǎn)，半徑為，若直線上存在兩點(diǎn)，使得恒成立，則以為直徑的圓要包括圓，點(diǎn)到直線的距離為，所以長(zhǎng)度的最小值為，故選：B．6．若對(duì)于圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)，，使得，則的最小值為_(kāi)_____.解析：由題設(shè)圓，故圓心，半徑為，所以到的距離，故直線與圓相離，故圓上點(diǎn)到直線的距離范圍為，圓上任意的點(diǎn)，直線上總存在不同兩點(diǎn)、，使，即以為直徑的圓包含圓，至少要保證直線上與圓最近的點(diǎn)，與圓上點(diǎn)距離最大值為半徑的圓包含圓，所以. 故答案為：10類型3.正弦定理對(duì)邊對(duì)角模型.由正弦定理可知，當(dāng)已知三角形任意一邊和該邊所對(duì)角大小時(shí)，即可得到外接圓半徑，即.7.在中，（1）求；（2）若，求周長(zhǎng)的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2）由余弦定理得：，即.（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），，解得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），周長(zhǎng)，周長(zhǎng)的最大值為.類型4. 動(dòng)點(diǎn)滿足對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)滿足：.分析：由于定值，設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)平面向量部分極化恒等式可得：，故動(dòng)點(diǎn)是以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.8．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F分別在邊AD，BC上，且，．點(diǎn)P在正方形ABCD的邊AD或BC上運(yùn)動(dòng)，若，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．2 C．4 D．6解析：由上述分析可知，故動(dòng)點(diǎn)是以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓.故此題中點(diǎn)以中點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，所以，共有4個(gè)點(diǎn)滿足條件.故選：C類型5. 動(dòng)點(diǎn)滿足對(duì)兩個(gè)定點(diǎn)滿足：.解析：由于，設(shè)中點(diǎn)為，則由向量關(guān)系與極化恒等式可知：，整理可得：，顯然動(dòng)點(diǎn)以為圓心，為半徑的圓.類型6. 阿波羅尼斯圓定義：已知平面上兩點(diǎn)，則所有滿足的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線為直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.解析：設(shè)．因?yàn)?/span>且由兩點(diǎn)間距離公式得，化簡(jiǎn)得．所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓．9.中，，，則的面積最大值為_(kāi)______.解析：由，見(jiàn)系代入得．設(shè)圓心為，顯然當(dāng)軸時(shí)，面積最大，此時(shí)．所以．類型7. “從動(dòng)點(diǎn)圓”，若為定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段的中點(diǎn)也在一個(gè)圓上. 本例證明見(jiàn)人教版選擇性必修教材87頁(yè)，例5.10.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程是__________.解析：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，B的坐標(biāo)為，，解得，點(diǎn)滿足，即，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，點(diǎn)的軌跡方程為：．類型8.圓的內(nèi)接四邊形與托勒密定理若四邊形對(duì)角互補(bǔ)，或者，則四點(diǎn)共圓.11．在平面四邊形ABCD中，，AD=3，BD=則CD的最小值為（　?。?/span>解析：如圖，可設(shè)，則，則由托勒密不等式可得：，代值可得：，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)四點(diǎn)共圓.A． B． C． D．類型9.向量隱圓12.已知向量滿足，且向量的夾角為，則的最大值為_(kāi)________.解析：依題夾角為，而向量的夾角為，故由四點(diǎn)共圓結(jié)論可知，向量的終點(diǎn)與四點(diǎn)共圓，則的最大值即為圓的直徑，由于則由正弦定理：.13.已知、、是平面向量，是單位向量．若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A． B． C．2 D．解析：設(shè)，則由得，由得因此，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑1，為選A.14已知平面向量、、滿足，，，則的最大值為（）A． B． C． D．解析：在平面內(nèi)一點(diǎn)，作，，，則，則，因?yàn)?/span>，則，故為等腰直角三角形，則，取的中點(diǎn)，則，所以，，所以，，因?yàn)?/span>，所以，，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)、同向時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：B. 類型10. 米勒?qǐng)A與最大視角米勒定理1：已知點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)且僅當(dāng)的外接圓與邊相切于點(diǎn)時(shí)，最大.13.已知點(diǎn).點(diǎn)為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_________.解析：如圖，設(shè)D是圓上不同于點(diǎn)P的任意一點(diǎn)，連結(jié)DA與圓交于點(diǎn)E，連接EC，由三角形外角的性質(zhì)，可知，由圓周角定理：，因此，當(dāng)且僅當(dāng)的外接圓與圓相切于點(diǎn)時(shí)，最大.此時(shí)，可設(shè)的外接圓圓心，由于此時(shí)三點(diǎn)共線且，而，則，解得：，于是，由正弦定理，則的最大值為.

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