專題12.解三角形范圍問題講義第1講：消角構(gòu)造三角函數(shù)例1.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（1）求角B；（2）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．解析：（1）由結(jié)合正弦定理可得：△ABC為銳角三角形，故.（2）結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.      第2講.對邊對角模型對邊對角模型是解三角形中最經(jīng)典的題型，在三角形中，倘若知道任意一邊與該邊所對角的大小，我們就可分別利用正弦定理+三角函數(shù)或者余弦定理+均值不等式的方法找到相關范圍.例2.在中，（1）求；（2）若，求周長的最大值.解析：（1）由正弦定理可得：，，.（2），即.（當且僅當時取等號），，解得：（當且僅當時取等號），周長，周長的最大值為.小結(jié)1.結(jié)合余弦定理：變式可得：此公式在已知的情況下，可得到和的等式，配合均值不等式，這樣就可實現(xiàn)周長或者面積的最值.   第3講.正弦定理邊角轉(zhuǎn)化在正弦定理中： 此時，我們并非一定需要對邊對角，實際上，只要知道任意一邊和一角，即可結(jié)合內(nèi)角和定理得到一組邊角定量關系，下面我通過例題予以分析.例2.的內(nèi)角對邊為，.（1）.求角的值；（2）.若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍．解析：(1)根據(jù)題意，由正弦定理得，因為，故，消去得．，因為故或者，而根據(jù)題意，故不成立，所以，又因為，代入得，所以.(2)因為是銳角三角形，由（1）知，得到，故，解得.又應用正弦定理，，由三角形面積公式有：.又因,故，故.故的取值范圍是 第4講.齊次邊型分式結(jié)構(gòu)在這一部分中，我們經(jīng)常會看到諸如：等結(jié)構(gòu)，這種類型當然還可利用正弦定理轉(zhuǎn)化為純角結(jié)構(gòu)，所以，我們只需要做的就是消元，把三個角消成一個角，或用均值不等式，或用一元函數(shù)處理.例3.（2022新高考1卷）記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，求；（2）求的最小值．解析：（1）由已知條件得：                  所以，即，由已知條件：，則，可得，所以，．2）由（1）知，則，，，由正弦定理       當且僅當時等號成立，所以的最小值為． 例4．在銳角中，，則的范圍是（   ）A． B． C． D．解析：在銳角中，，因為，，,所以，，解得，所以，，而，所以，所以由正弦定理可知：，因為，所以，所以，即.故選：A.           第5講. 余弦定理求角的最值余弦定理的最大特色就是齊次分式結(jié)構(gòu)，同時，在上的嚴格單調(diào)性保證了我們可以利用余弦函數(shù)的最值來找到角的最值.若，倘若再能找到這樣一個約束條件，代入余弦定理消掉，即可得到一個均值結(jié)構(gòu)，利用均值不等式即可求得最值，下面通過例題予以分析.例5.已知中，角的對邊分別為.若，則的最大值為（     ）A． B． C． D．解：∵，∴，∴由正弦定理得：，即，，則，（當且僅當，即時取等號），的最小值為.∵，∴，∴的最大值為.例6．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若，則角A的最大值為（   ）A． B． C． D．解析：因為，所以，進而可得因為，當且僅當時等號成立，所以又因為，所以角A的最大值為第6講. 秦九韶公式秦九韶公式求范圍是近年來解三角形?？荚囶}中熱門考察方向之一，相關內(nèi)容是人教版新教材的閱讀內(nèi)容，未來完全有可能出現(xiàn)在高考試題中.例7.秦九韶是我國南宋數(shù)學家，其著作《數(shù)書九章》中的大衍求一術、三斜求積術和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻．秦九韶把已知三邊長求三角形面積的方法，用公式表示為：，其中，，是的內(nèi)角，，的對邊．已知中，，，則面積的最大值為（       ）A． B． C． D．解析：由得，，即，所以，，所以，即時，．故選：A．例8.已知，，是的內(nèi)角，，的對邊．已知中，，則面積的最大值為（       ）A． B． C． D．解：中，因為，所以，則，即，又，則，即，則，所以，當時，面積取得最大值為，故選：A 第7講.爪型三角形與等面積方法如圖，設為的平分線，則設，那么有等面積可得：，進一步可得：，于是可以看到，倘若我們知道角與角平分線的長度，則可得到的轉(zhuǎn)化關系，配合均值不等式就可得到一些范圍問題.例9.（2022成都一診）在中，已知角，角的平分線AD與邊BC相交于點D，AD=2.則AB+2AC的最小值為___________.解析：，依題意是角的角平分線，由三角形的面積公式得，化簡得，，.當且僅當，時等號成立.故答案為：       第8講.斯特瓦爾特定理與均值不等式基本結(jié)論：如圖：當設為的邊中點時，.注：該結(jié)論還可由證得.更一般的情形即斯特瓦爾特定理，此處不再贅述，我們通過例題展示    例10.在中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足.（1）求角的大??；（2）若為的中點，且，求的最大值.解：（1）由正弦定理及得，由知，則，化簡得，.又，因此，.（2）由，又為的中點，則，等式兩邊平方得，所以，則，當且僅當時取等號，因此，的面積最大值為.例11．內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.（1）求角的大小；（2）是邊上一點，且，，求面積的最大值.解析：（1）因為，由正弦定理可得，又，所以，因為，所以，則，又，所以，因為，所以；（2）根據(jù)題意可得，所以，即，所以，當且僅當 等號成立所以，面積的最大值為.         第9講.恒等變換型目標函數(shù)這類最值問題的特點是利用恒等變換化簡函數(shù)，它們的目標函數(shù)往往不是上面的類型，而且有點“丑”，你需要做的就是耐心美化目標函數(shù)，直到找到可以入手的結(jié)構(gòu)！例12．已知在銳角中，角、、所對的邊分別為、、，且滿足，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．解析：由，知，，，，因為、，則，，因為正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，則，因為為銳角三角形，則，可得，則，，故選：A. 例13．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的取值范圍為（       ）A． B． C． D．解析：∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴或（不符合題意舍去），∴，∴，設，∵是銳角三角形，∴，∴，∴，∴，令，則，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，∴.故選：C． 第10講：構(gòu)造軌跡找范圍常見的軌跡有阿波羅尼斯圓，焦點三角形等，這些問題，實質(zhì)需要找到背后那個隱藏的軌跡.定義：已知平面上兩點，則所有滿足的動點的軌跡是一個以定比為內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓.若,則圓的半徑為，圓心為.例13.在三角形中，內(nèi)角、、對應的邊分別為、、，已知，．（1）求的面積；（2）若，求．解析：（1），解得：，，（2） 由(1)和余弦定理可得:，化簡得：消去，可得，即 注：在（1）中解得，再加之，這樣頂點的軌跡實際是一個阿氏圓，其實第二問可以求面積的最大值.

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