專題9處理多元函數(shù)范圍（最值）問題的八大視角1.均值不等式2.柯西不等式3.三角代換4.利用等高線與鉛垂線消元5.尋找?guī)缀我饬x6.切線分析7.同構(gòu)8.一些重要的多元結(jié)論例1．記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，．已知．（1）求的值：（2）求的最大值．解析：（1）由余弦定理可得，代入，得到，化簡得，即.由正弦定理可得，即，展開得，即，所以．（2）由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．因?yàn)?/span>，所以，所以的最大值為.例2．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．（1）求；（2）求的最小值．解析：（1）由余弦定理知，所以，由,得，即,又因?yàn)?/span>，所以，即，在中，，所以．（2）由（1）知，則，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．2.柯西不等式柯西不等式：若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.或者中至少有一方全為零.例3．已知橢圓：與雙曲線：有相同的焦點(diǎn)， 橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為， P為橢圓與雙曲線的交點(diǎn)，且則的最大值為（    ）A． B．          C．      D．解析：設(shè)P為第一象限的交點(diǎn)，，，在中，由余弦定理得，即，則，化簡得，即，則，由柯西不等式得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故選：D例4．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，則　　A．的準(zhǔn)線為 B．直線與相切 C． D．解析：點(diǎn)在拋物線上，，解得，拋物線的方程為，準(zhǔn)線方程為，選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于，，則，直線的方程為，聯(lián)立，可得，解得方程有兩個(gè)相等的根，故直線與拋物線相切，選項(xiàng)正確；根據(jù)對(duì)稱性及選項(xiàng)的分析，不妨設(shè)過點(diǎn)的直線方程為，與拋物線在第一象限交于，，，，聯(lián)立，消去并整理可得，則，，，由柯西不等式可得：，由于等號(hào)在時(shí)才能取到，故等號(hào)不成立，選項(xiàng)正確；，選項(xiàng)正確．故選：．3.三角代換例5．若，滿足，則　　A． B． C． D．解析：由可得，，令，則，，，故錯(cuò)，對(duì)，，，故對(duì)，錯(cuò)，故選：．例6．已知點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（    ）A． B． C．6 D．5解析：由，令，則，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為.故選：A例7．實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（    ）A．        B．        C．            D．解析：由題意得，即點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在曲線上，表示兩點(diǎn)距離的平方，不妨設(shè)，則到直線的距離為，故的最小值為，當(dāng)時(shí)取等號(hào).故選：A4.等高線與鉛垂線例8．已知，，若，則的最小值是（    ）A．2 B． C． D．解析：令，即，所以，，，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以，所以，的最小值是.故選：D例9．已知函數(shù)，，若成立，則n－m的最小值為（    ）A． B．C． D．解析：令，則，，∴，，即，，，∴，有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；∴，即的最小值為.故選：A.5.尋找?guī)缀我饬x例10．已知，則y的最小值為（   ）A． B． C． D．解析：y的最小值即為上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的距離的平方的最小值.，令，解得：，又，故圖象上與平行的切線在圖像上的切點(diǎn)為.于是圖像上的點(diǎn)與上的點(diǎn)的最短距離為點(diǎn)到的距離，即最短距離，則，y的最小值為.故選：B.例111．已知，，則的最小值為（    ）A． B． C． D．解析：由，則點(diǎn)在函數(shù)上，，則點(diǎn)在函數(shù)上，則表示、兩點(diǎn)的距離的平方，要求的最小值，即求的最小值，當(dāng)過的點(diǎn)切線與直線平行時(shí)，點(diǎn)到直線的距離即為的最小值，由可得，所以，解得，所以，即，所以到的距離，即，所以的最小值為；故選：C例12．已知且，則的最小值是（    ）A． B． C． D．8解析：代數(shù)式可以看成點(diǎn)到點(diǎn)距離的平方，點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，表示單位圓上的點(diǎn)，點(diǎn)表示曲線上的點(diǎn)，如下圖所示：，由，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為：，此時(shí)直線與直線垂直于點(diǎn)，交圓于點(diǎn)，由數(shù)形結(jié)合思想可以確定：當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)用到點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，故選：B6.切線分析例13.若直線和的圖象相切，則的最小值為________.解析：設(shè)和的圖象相切于點(diǎn)，因?yàn)?/span>，所以的圖象在點(diǎn)P處的切線方程為，即,從而，，所以，設(shè)，則，所以，，故在上，在上，從而,所以的最小值為0. 例14.已知直線是曲線的一條切線，則的最大值是________.解析：設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線方程為，整理得：，所以，，從而，設(shè)，則，所以，,從而在上，在上，故，即的最大值為.7.同構(gòu)例15．已知函數(shù)，.若存在，使得成立，則的最大值為（   ）A．B．C． D．解析：，，由于，則，同理可知，，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，對(duì)恒成立，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，同理可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，，則，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則.當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.所以，.故選：C.例16．已知函數(shù)，，若，，則的最大值為（       ）A． B． C． D．由題意得，，，即，令函數(shù)，則，所以，時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，作函數(shù)的圖象.由圖可知，當(dāng)時(shí)，有唯一解，故，且，∴.設(shè)，，則，令解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，即的最大值為.故選：D.8.幾個(gè)特殊的結(jié)論（1）.先介紹兩個(gè)函數(shù)：，. 這兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)要注意，首先，一定是一個(gè)零點(diǎn)，其次，當(dāng)滿足一定條件時(shí)，還會(huì)再有兩個(gè)零點(diǎn)出現(xiàn)，并且，這兩個(gè)函數(shù)有一個(gè)很重要的特點(diǎn)，若，則有，這就意味著剩下的兩個(gè)零點(diǎn)會(huì)有隱含關(guān)系：，這個(gè)關(guān)系在解決相關(guān)多極值點(diǎn)問題時(shí)至關(guān)重要！例17．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，其中，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．解析：定義域?yàn)?/span>，顯然，若是零點(diǎn)，則，，所以也是零點(diǎn)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)，則，所以，，當(dāng)時(shí)，結(jié)合定義域和判別式易知恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，不符合題意；當(dāng)時(shí)，設(shè)的兩根分別為，易知，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)，，所以由零點(diǎn)存在定理易知有三個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.綜上，的取值范圍是故選：B（2）常見結(jié)論：設(shè)函數(shù)，若且，證明：當(dāng)時(shí),，由于,即,即當(dāng)時(shí),由于,即,即例18．設(shè)函數(shù)，有四個(gè)實(shí)數(shù)根，，，，且，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．解析: 由分段函數(shù)知:時(shí)且遞減;時(shí)且遞增;時(shí),且遞減;時(shí),且遞增;∴的圖象如下:有四個(gè)實(shí)數(shù)根且,由圖知:時(shí)有四個(gè)實(shí)數(shù)根, 且, 又, 由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):, 可得, 由在上單增, 可知,所以故選: 

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