點，那么直線的方向向量可為
2.平面的法向量定義：
直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量，那么過點A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合.
注：一個平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時，可適當(dāng)取平面的一個法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個法向量．
3.平面的法向量確定通常有兩種方法：
（1）幾何體中有具體的直線與平面垂直，只需證明線面垂直，取該垂線的方向向量即得平面的法向量；
（2）幾何體中沒有具體的直線，一般要建立空間直角坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：
（i）設(shè)出平面的法向量為；
（ii）找出（求出）平面內(nèi)的兩個不共線的向量的坐標(biāo)，；
（iii）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于的方程；
（iv）解方程組，取其中的一個解，即得法向量．由于一個平面的法向量有無數(shù)個，故可在代入方程組的解中取一個最簡單的作為平面的法向量．
知識點二：用向量方法判定空間中的平行關(guān)系
空間中的平行關(guān)系主要是指：線線平行、線面平行、面面平行．
（1）線線平行
設(shè)直線的方向向量分別是，則要證明，只需證明，即．
（2）線面平行
線面平行的判定方法一般有三種：
①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明，即．
②根據(jù)線面平行的判定定理：要證明一條直線和一個平面平行，可以在平面內(nèi)找一個向量與已知直線的方向向量是共線向量．
③根據(jù)共面向量定理可知，要證明一條直線和一個平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個不共線向量線性表示即可．
（3）面面平行
①由面面平行的判定定理，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行、線線平行即可．
②若能求出平面，的法向量，則要證明，只需證明．
知識點三、用向量方法判定空間的垂直關(guān)系
空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直、線面垂直、面面垂直．
（1）線線垂直
設(shè)直線的方向向量分別為，則要證明，只需證明，即．
（2）線面垂直
①設(shè)直線的方向向量是，平面的向量是，則要證明，只需證明．
②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直．
（3）面面垂直
①根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為證相應(yīng)的線面垂直、線線垂直．
②證明兩個平面的法向量互相垂直．
知識點四、用向量方法求空間角
（1）求異面直線所成的角
已知a，b為兩異面直線，A，C與B，D分別是a，b上的任意兩點，a，b所成的角為，
則．
注：兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時，應(yīng)取其補角作為兩異面直線所成的角．
（2）求直線和平面所成的角
如圖，設(shè)直線的方向向量為，平面的法向量為，直線與平面所成的角為，與的角為，則有．（易錯點）
（3）求二面角
如圖，若于于，平面交于，則為二面角的平面角，.
若分別為面的法向量，，則二面角的平面角或，即二面角等于它的兩個面的法向量的夾角或夾角的補角．
①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的大?。?br>②當(dāng)法向量的方向同時指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時，二面角的大小等于的夾角的補角的大?。?br>知識點五、用向量方法求空間距離
1.求點面距的一般步驟：
①求出該平面的一個法向量；
②找出從該點出發(fā)的平面的任一條斜線段對應(yīng)的向量；
③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對值再除以法向量的模，即可求出點到平面的距離．
即：點A到平面的距離，是平面的法向量，如下圖所示.

2.線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離，用求點面距的方法進行求解．
直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量．
3. 點線距
設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點P到直線l的距離 .
二．典例突破
1.存在性問題.存在性問題突破的關(guān)鍵就是表示出動點的坐標(biāo)，一般利用定比分點的形式寫出動點坐標(biāo)，最后把欲求量表示成動點坐標(biāo)的函數(shù).
例1．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點，F(xiàn)為棱PC上一點．
（1）求證：平面平面PAD；
（2）若G為PD的中點，，是否存在點F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
解析：（1）證明：連接，因為底面為菱形，，
所以是正三角形，是的中點，，又，
平面，平面，又平面，
又平面，所以平面平面．
（2）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點，直線AE，AD，AP分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，
所以，，．設(shè)平面的法向量，則即令，得平面的一個法向量．
設(shè)與平面所成的角為，則
，
解得或，即存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為，且或．
例2．如圖，四棱柱中，平面平面，底面為菱形，與交于點O，．
（1）求證：平面；
（2）線段上是否存在點F，使得與平面所成角的正弦值是？若存在，求出；若不存在，說明理由．
解析：（1）∵，，∴，又O是中點∴
∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面
（2）∵底面是菱形，∴，以O(shè)為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．則．
又，所以，∴，設(shè)平面的法向量是，∴，令，則，
假設(shè)線段上存在點F，且，
∴，∴，
∴，平方整理得：，∴或（舍）.
∴時，即存在點F是中點時，與平面所成角的正弦值是．
二．最值問題
例3. 已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?
解析：（1）因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以
因為，，所以，又，所以平面．
所以兩兩垂直．以為坐標(biāo)原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
所以，．由題設(shè)（）．
（1）因為，所以，所以．
（2）設(shè)平面的法向量為，因為，
所以，即．令，則
因為平面的法向量為，設(shè)平面與平面的二面角的平面角為，則．當(dāng)時，取最小值為，此時取最大值為．
所以.
三．建系過程較復(fù)雜
有一些問題中，建系過程相對較復(fù)雜，導(dǎo)致考生無法下手，這也充分表明了幾何論證的基礎(chǔ)性和重要性，下面通過兩個例子予以說明.
例4.如圖，直三棱柱的體積為，的面積為．
（1）求到平面的距離；
（2）設(shè)為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值．
解析：（1）設(shè)到平面的距離為，，
，所以，所以，所以到平面的距離為．
（2）取的中點，連接，因為，所以，因為平面平面，平面平面，所以平面,，則，所以，因為直三棱柱，所以，因為，所以平面，所以，由，所以，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，，，，，
平面BDC的法向量設(shè)為，平面BDA的法向量設(shè)為，
，，，所以，所以，設(shè)，則，所以，所以，設(shè)二面角 的平面角為，則，所以二面角的正弦值為．
例5．如圖，四棱錐的底面中，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，平面平面，為中點.
（1）求證：平面；
（2）若，求二面角的余弦值大小.
解析：（1）證明：設(shè)中點為，連接、，為等邊三角形，
，，，，，即，， ，平面，平面，
平面，為的中位線，，平面，平面，平面，、為平面內(nèi)二相交直線，
平面平面，平面DMN，平面；
（2）設(shè)中點為，連接、，為等邊三角形，是等腰三角形，且頂角，，，、、共線，，，，，平面，平面.平面
，平面平面，交線為，平面
平面.設(shè)，則，在中，由余弦定理，得：，又，，
，，，為中點，，
建立直角坐標(biāo)系（如圖），則
，，，.，，
設(shè)平面的法向量為，則，，取，則，
，平面的法向量為，，
二面角為銳角，二面角的余弦值大小為.

相關(guān)試卷

高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講04.重要的指對組合型函數(shù)及其應(yīng)用訓(xùn)練：

這是一份高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講04.重要的指對組合型函數(shù)及其應(yīng)用訓(xùn)練，共10頁。試卷主要包含了考察函數(shù)基本性質(zhì)，朗博不等式，凸凹反轉(zhuǎn)，設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線為．， 若，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。

高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講02.三角函數(shù)求最值的六種類型訓(xùn)練：

這是一份高三數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)微專題36講02.三角函數(shù)求最值的六種類型訓(xùn)練，共6頁。試卷主要包含了 與輔助角公式，二次函數(shù)型，分式型，求值域，求函數(shù)的最大值和最小值等內(nèi)容，歡迎下載使用。

最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講 專題36 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

這是一份最新高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講 專題36 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，文件包含高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題36空間向量在立體幾何中的應(yīng)用解析版docx、高考數(shù)學(xué)解題方法模板50講專題36空間向量在立體幾何中的應(yīng)用學(xué)生版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共269頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

第7章 微專題進階課7　立體幾何中的動態(tài)問題-2022屆高三數(shù)學(xué)

第7章 微專題進階課7　立體幾何中的動態(tài)問題-2022屆高三數(shù)學(xué)
高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8.7 立體幾何中的向量方法（講）

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題8.7 立體幾何中的向量方法（講）
高中數(shù)學(xué)高考7 第7講　立體幾何中的向量方法 新題培優(yōu)練

高中數(shù)學(xué)高考7 第7講　立體幾何中的向量方法 新題培優(yōu)練
高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題17 立體幾何中的向量方法（解析版）

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題17 立體幾何中的向量方法（解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部