考點(diǎn)一 衛(wèi)星運(yùn)行參量的分析
1．天體(衛(wèi)星)運(yùn)行問(wèn)題分析
將天體或衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)看成勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其所需向心力由萬(wàn)有引力提供．
2．物理量隨軌道半徑變化的規(guī)律
Geq \f(Mm,r2)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ma→a＝\f(GM,r2)→a∝\f(1,r2),m\f(v2,r)→v＝\r(\f(GM,r))→v∝\f(1,\r(r)),mω2r→ω＝\r(\f(GM,r3))→ω∝\f(1,\r(r3)),m\f(4π2,T2)r→T＝\r(\f(4π2r3,GM))→T∝\r(r3)))
即r越大，v、ω、a越小，T越大．(越高越慢)
3．人造衛(wèi)星
衛(wèi)星運(yùn)行的軌道平面一定通過(guò)地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的軌道是赤道軌道．
(1)極地衛(wèi)星運(yùn)行時(shí)每圈都經(jīng)過(guò)南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實(shí)現(xiàn)全球覆蓋．
(2)同步衛(wèi)星
①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同．
②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T＝24 h.
③高度固定不變，h＝3.6×107 m.
④運(yùn)行速率均為v＝3.1 km/s.
(3)近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星，其軌道半徑r＝R(地球半徑)，運(yùn)行速度等于第一宇宙速度v＝7.9 km/s(人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運(yùn)行速度)，T＝85 min(人造地球衛(wèi)星的最小周期)．
注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星．
1．同一中心天體的兩顆行星，公轉(zhuǎn)半徑越大，向心加速度越大．( × )
2．同一中心天體質(zhì)量不同的兩顆行星，若軌道半徑相同，速率不一定相同．( × )
3．近地衛(wèi)星的周期最?。? √ )
4．地球同步衛(wèi)星根據(jù)需要可以定點(diǎn)在北京正上空．( × )
5．極地衛(wèi)星通過(guò)地球兩極，且始終和地球某一經(jīng)線平面重合．( × )
6．不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不一定相同，但離地面的高度是相同的．( √ )
1．公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r＝R＋h.
2．同一中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量只與r有關(guān)；不同中心天體，各行星v、ω、a、T等物理量與中心天體質(zhì)量M和r有關(guān)．
考向1 衛(wèi)星運(yùn)行參量與軌道半徑的關(guān)系
例1 (2020·浙江7月選考·7)火星探測(cè)任務(wù)“天問(wèn)一號(hào)”的標(biāo)識(shí)如圖所示．若火星和地球繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3∶2，則火星與地球繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的( )
A．軌道周長(zhǎng)之比為2∶3
B．線速度大小之比為eq \r(3)∶eq \r(2)
C．角速度大小之比為2eq \r(2)∶3eq \r(3)
D．向心加速度大小之比為9∶4
答案 C
解析 軌道周長(zhǎng)C＝2πr，與半徑成正比，故軌道周長(zhǎng)之比為3∶2，故A錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝meq \f(v2,r)，得v＝eq \r(\f(GM,r))，得eq \f(v火,v地)＝eq \r(\f(r地,r火))＝eq \f(\r(2),\r(3))，故B錯(cuò)誤；由萬(wàn)有引力提供向心力有eq \f(GMm,r2)＝mω2r，得ω＝eq \r(\f(GM,r3))，得eq \f(ω火,ω地)＝eq \r(\f(r地3,r火3))＝eq \f(2\r(2),3\r(3))，故C正確；由eq \f(GMm,r2)＝ma，得a＝eq \f(GM,r2)，得eq \f(a火,a地)＝eq \f(r地2,r火2)＝eq \f(4,9)，故D錯(cuò)誤．
例2 (多選)(2020·江蘇卷·7改編)甲、乙兩顆人造衛(wèi)星質(zhì)量相等，均繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，甲的軌道半徑是乙的2倍．下列應(yīng)用公式進(jìn)行的推論正確的有( )
A．由v＝eq \r(gr)可知，甲的速度是乙的eq \r(2)倍
B．由a＝ω2r可知，甲的向心加速度是乙的2倍
C．由F＝Geq \f(Mm,r2)可知，甲的向心力是乙的eq \f(1,4)
D．由eq \f(r3,T2)＝k可知，甲的周期是乙的2eq \r(2)倍
答案 CD
解析 人造衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)有Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)，即v＝eq \r(\f(GM,r))，因此甲的速度是乙的eq \f(\r(2),2)倍，故A錯(cuò)誤；由Geq \f(Mm,r2)＝ma得a＝eq \f(GM,r2)，故甲的向心加速度是乙的eq \f(1,4)，故B錯(cuò)誤；由F＝Geq \f(Mm,r2)知甲的向心力是乙的eq \f(1,4)，故C正確；由開(kāi)普勒第三定律eq \f(r3,T2)＝k，繞同一天體運(yùn)動(dòng)，k值不變，可知甲的周期是乙的2eq \r(2)倍，故D正確．
考向2 同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體
例3 關(guān)于地球同步衛(wèi)星，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A．它的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同
B．它的周期、高度、速度大小都是一定的
C．我國(guó)發(fā)射的同步通訊衛(wèi)星可以定點(diǎn)在北京上空
D．我國(guó)發(fā)射的同步通訊衛(wèi)星必須定點(diǎn)在赤道上空
答案 C
解析 地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，選項(xiàng)A正確；根據(jù)Geq \f(Mm,r2)＝meq \f(v2,r)＝meq \f(4π2,T2)r可知，因地球同步衛(wèi)星的周期一定，則高度、速度大小都是一定的，選項(xiàng)B正確；我國(guó)發(fā)射的同步通訊衛(wèi)星若在除赤道所在平面外的任意點(diǎn)，假設(shè)實(shí)現(xiàn)了“同步”，那它的運(yùn)動(dòng)軌道所在平面與受到地球的引力就不在一個(gè)平面上，這是不可能的，因此同步衛(wèi)星必須定點(diǎn)在赤道上空，不可以定點(diǎn)在北京上空，故C錯(cuò)誤，D正確．
例4 (多選)如圖所示，衛(wèi)星a沒(méi)有發(fā)射，停放在地球的赤道上隨地球自轉(zhuǎn)；衛(wèi)星b發(fā)射成功，在地球赤道上空貼著地表做勻速圓周運(yùn)動(dòng)；兩衛(wèi)星的質(zhì)量相等．認(rèn)為重力近似等于萬(wàn)有引力．下列說(shuō)法正確的是( )
A．a(chǎn)、b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大小相等
B．b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度等于重力加速度g
C．a(chǎn)、b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度大小相等，都等于第一宇宙速度
D．a(chǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于地球同步衛(wèi)星的周期
答案 BD
解析 兩衛(wèi)星的質(zhì)量相等，到地心的距離相等，所以受到地球的萬(wàn)有引力相等．衛(wèi)星a在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力的一部分提供自轉(zhuǎn)的向心力，衛(wèi)星b在赤道上空貼著地表做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供公轉(zhuǎn)的向心力，因此a、b做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力大小不相等，A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)衛(wèi)星b，重力近似等于萬(wàn)有引力，萬(wàn)有引力全部用來(lái)提供向心力，所以向心加速度等于重力加速度g，B項(xiàng)正確；衛(wèi)星b在赤道上空貼著地表做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其速度就是最大的環(huán)繞速度，也是第一宇宙速度，衛(wèi)星a在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，向心力小于衛(wèi)星b的向心力，根據(jù)牛頓第二定律，衛(wèi)星a的線速度小于b的線速度，即a的線速度小于第一宇宙速度，C項(xiàng)錯(cuò)誤；a在赤道上隨地球自轉(zhuǎn)而做圓周運(yùn)動(dòng)，自轉(zhuǎn)周期等于地球的自轉(zhuǎn)周期，同步衛(wèi)星的周期也等于地球的自轉(zhuǎn)周期，所以a做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期等于地球同步衛(wèi)星的周期，D項(xiàng)正確．
例5 (多選)如圖所示，衛(wèi)星a、b、c沿圓形軌道繞地球運(yùn)行．a(chǎn)是極地軌道衛(wèi)星，在地球兩極上空約1 000 km處運(yùn)行；b是低軌道衛(wèi)星，距地球表面高度與a相等；c是地球同步衛(wèi)星，則( )
A．a(chǎn)、b的周期比c大
B．a(chǎn)、b的向心力大小一定相等
C．a(chǎn)、b的線速度大小相等
D．a(chǎn)、b的向心加速度比c大
答案 CD
解析 衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，eq \f(GMm,r2)＝meq \f(4π2,T2)r＝meq \f(v2,r)＝ma，解得T＝2πeq \r(\f(r3,GM))，v＝eq \r(\f(GM,r))，a＝eq \f(GM,r2)，a、b衛(wèi)星的軌道半徑相等，則周期相等，線速度大小相等，方向不同，向心加速度大小相等，c衛(wèi)星的軌道半徑大于a、b衛(wèi)星的軌道半徑，則c衛(wèi)星的向心加速度小于a、b的向心加速度，周期大于a、b的周期，故A錯(cuò)誤，C、D正確；衛(wèi)星的質(zhì)量未知，無(wú)法比較向心力的大小，故B錯(cuò)誤．
例6 (多選)地球同步衛(wèi)星離地心的距離為r，運(yùn)行速率為v1，向心加速度大小為a1，地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度大小為a2，地球的第一宇宙速度為v2，地球半徑為R.則下列關(guān)系式正確的是( )
A.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r2,R2) B.eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R) C.eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r)) D.eq \f(v1,v2)＝eq \f(r,R)
答案 BC
解析 因?yàn)榈厍蛲叫l(wèi)星的角速度和地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的角速度相同，根據(jù)公式a＝ω2r，則有eq \f(a1,a2)＝eq \f(r,R)，故A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于地球同步衛(wèi)星和以第一宇宙速度運(yùn)動(dòng)的近地衛(wèi)星，由萬(wàn)有引力提供做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力得到meq \f(v2,r)＝eq \f(GM,r2)m，所以eq \f(v1,v2)＝eq \r(\f(R,r))，故C正確，D錯(cuò)誤．
同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較
如圖所示，a為近地衛(wèi)星，軌道半徑為r1；b為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為r2；c為赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的物體，軌道半徑為r3.
考點(diǎn)二 宇宙速度
1．地球的第一宇宙速度的大小與地球質(zhì)量有關(guān)．( √ )
2．月球的第一宇宙速度也是7.9 km/s.( × )
3．同步衛(wèi)星的運(yùn)行速度一定小于地球第一宇宙速度．( √ )
4．若物體的發(fā)射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，則物體繞太陽(yáng)運(yùn)行．( √ )
1．第一宇宙速度的推導(dǎo)
方法一：由Geq \f(Mm,R2)＝meq \f(v12,R)，得v1＝eq \r(\f(GM,R))＝eq \r(\f(6.67×10－11×5.98×1024,6.4×106)) m/s≈7.9×103 m/s.
方法二：由mg＝meq \f(v12,R)得
v1＝eq \r(gR)＝eq \r(9.8×6.4×106) m/s≈7.9×103 m/s.
第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時(shí)它的運(yùn)行周期最短，Tmin＝2πeq \r(\f(R,g))＝2πeq \r(\f(6.4×106,9.8)) s≈5 075 s≈85 min.
2．宇宙速度與運(yùn)動(dòng)軌跡的關(guān)系
(1)v發(fā)＝7.9 km/s時(shí)，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
(2)7.9 km/sω2＝ω3
線速度
v1>v2>v3
向心加速度
a1>a2>a3
第一宇宙速度(環(huán)繞速度)
v1＝7.9 km/s，是物體在地面附近繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的最大環(huán)繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度
第二宇宙速度(逃逸速度)
v2＝11.2 km/s，是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度
第三宇宙速度
v3＝16.7 km/s，是物體掙脫太陽(yáng)引力束縛的最小發(fā)射速度

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