考點一 平拋運動的規(guī)律及應(yīng)用
平拋運動
1．定義：將物體以一定的初速度沿水平方向拋出，物體只在重力作用下的運動．
2．性質(zhì)：平拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
3．研究方法：化曲為直
(1)水平方向：勻速直線運動；
(2)豎直方向：自由落體運動．
4．基本規(guī)律
如圖，以拋出點O為坐標原點，以初速度v0方向(水平方向)為x軸正方向，豎直向下為y軸正方向．
1．平拋運動的加速度方向與速度方向總垂直．( × )
2．相等時間內(nèi)做平拋運動的物體速度變化量相同．( √ )
3．相等時間內(nèi)做平拋運動的物體速度大小變化相同．( × )
1．平拋運動物體的速度變化量
因為平拋運動的加速度為恒定的重力加速度g，所以做平拋運動的物體在任意相等時間間隔Δt內(nèi)的速度改變量Δv＝gΔt是相同的，方向恒為豎直向下，如圖所示．
2．兩個重要推論
(1)做平拋運動的物體在任意時刻(任意位置處)，有tan θ＝2tan α.(如圖所示)
推導(dǎo)：
eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(gt,v0),tan α＝\f(y,x)＝\f(gt,2v0)))→tan θ＝2tan α
(2)做平拋運動的物體在任意時刻的瞬時速度的反向延長線一定通過水平位移的中點，如圖所示，即xB＝eq \f(xA,2).
推導(dǎo)：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\c1(tan θ＝\f(yA,xA－xB),tan θ＝\f(vy,v0)＝\f(2yA,xA)))→xB＝eq \f(xA,2)
例1 (多選)如圖所示，x軸在水平地面上，y軸沿豎直方向．圖中畫出了從y軸上不同位置沿x軸正方向水平拋出的三個小球a、b和c的運動軌跡．小球a從(0,2L)處拋出，落在(2L,0)處；小球b、c從(0，L)處拋出，分別落在(2L,0)和(L,0)處．不計空氣阻力，下列說法正確的是( )
A．b和c運動時間相同
B．a(chǎn)的運動時間是b的兩倍
C．a(chǎn)和b加速度相同
D．b的初速度是c的兩倍
答案 ACD
解析 b、c拋出時的高度相同，小于a拋出時的高度，根據(jù)h＝eq \f(1,2)gt2得t＝eq \r(\f(2h,g))，知b、c的運動時間相同，a的運動時間是b的運動時間的eq \r(2)倍，B錯誤，A正確；由于a和b都做平拋運動，豎直方向只受重力，故a和b加速度相同，C正確；b、c的運動時間相同，b的水平位移是c的水平位移的兩倍，則b的初速度是c的初速度的兩倍，D正確．
例2 (2020·全國卷Ⅱ·16)如圖，在摩托車越野賽途中的水平路段前方有一個坑，該坑沿摩托車前進方向的水平寬度為3h，其左邊緣a點比右邊緣b點高0.5h.若摩托車經(jīng)過a點時的動能為E1，它會落到坑內(nèi)c點．c與a的水平距離和高度差均為h；若經(jīng)過a點時的動能為E2，該摩托車恰能越過坑到達b點.eq \f(E2,E1)等于( )
A．20 B．18 C．9.0 D．3.0
答案 B
解析 摩托車從a點做平拋運動到c點，水平方向：h＝v1t1，豎直方向：h＝eq \f(1,2)gt12，可解得v1＝eq \r(\f(gh,2))，動能E1＝eq \f(1,2)mv12＝eq \f(mgh,4)；摩托車從a點做平拋運動到b點，水平方向：3h＝v2t2，豎直方向：0.5h＝eq \f(1,2)gt22，解得v2＝3eq \r(gh)，動能E2＝eq \f(1,2)mv22＝eq \f(9,2)mgh，故eq \f(E2,E1)＝18，B正確．
考點二 與斜面或圓弧面有關(guān)的平拋運動
考向1 與斜面有關(guān)的平拋運動
例3 如圖所示，兩個高度相同的斜面，傾角分別為30°和60°，小球A、B分別由斜面頂端以相同大小的水平速度v0拋出，若兩球均落在斜面上，不計空氣阻力，則A、B兩球平拋運動過程( )
A．飛行的時間之比為1∶3
B．水平位移大小之比為1∶9
C．豎直下落高度之比為1∶3
D．落至斜面時速度大小之比為1∶3
答案 A
解析 對于A球，tan 30°＝eq \f(yA,xA)＝eq \f(\f(1,2)gtA2,v0tA)，解得tA＝eq \f(2v0tan 30°,g)，對于B球，tan 60°＝eq \f(yB,xB)＝eq \f(\f(1,2)gtB2,v0tB)，解得tB＝eq \f(2v0tan 60°,g)，所以eq \f(tA,tB)＝eq \f(tan 30°,tan 60°)＝eq \f(1,3)，由x＝v0t可知水平位移大小之比為1∶3，由y＝eq \f(1,2)gt2，可知豎直下落高度之比為1∶9，故A正確，B、C錯誤；落在斜面上的豎直分速度vyA＝gtA＝2v0tan 30°，vyB＝gtB＝2v0tan 60°，vA2＝vyA2＋v02，vB2＝vyB2＋v02，則落至斜面時vA＝eq \r(\f(7,3))v0，vB＝eq \r(13)v0，速度大小之比為eq \r(7)∶eq \r(39)，故D錯誤．
例4 如圖所示，從傾角為θ的足夠長的斜面頂端P以速度v0拋出一個小球，落在斜面上某處Q點，小球落在斜面上的速度與斜面的夾角為α，若把初速度變?yōu)?v0，小球仍落在斜面上，則以下說法正確的是( )
A．夾角α將變大
B．夾角α與初速度大小無關(guān)
C．小球在空中的運動時間不變
D．PQ間距是原來間距的3倍
答案 B
解析 根據(jù)tan θ＝eq \f(y,x)＝eq \f(\f(1,2)gt2,v0t)，解得t＝eq \f(2v0tan θ,g)，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則小球在空中的運動時間變?yōu)樵瓉淼?倍，C錯誤；根據(jù)x＝v0t＝eq \f(2v02tan θ,g)知，初速度變?yōu)樵瓉淼?倍，則水平位移變?yōu)樵瓉淼?倍，PQ＝eq \f(x,cs θ)，PQ間距變?yōu)樵瓉黹g距的4倍，D錯誤；末速度與水平方向夾角的正切值tan β＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)＝2tan θ，可知速度方向與水平方向夾角正切值是位移與水平方向夾角正切值的2倍，因為位移與水平方向夾角不變，則末速度與水平方向夾角不變，由幾何關(guān)系可知α不變，與初速度大小無關(guān)，A錯誤，B正確．
例5 (多選)如圖所示，傾角為30°的斜面體固定在水平地面上，斜面底端正上方某高度處有一小球以水平速度v0拋出，恰好垂直打在斜面上，已知重力加速度為g，不計空氣阻力．下列說法正確的是( )
A．小球從拋出到落在斜面上的運動時間為eq \f(\r(3)v0,g)
B．小球從拋出到落在斜面上的運動時間為eq \f(\r(3)v0,3g)
C．小球拋出時距斜面底端的高度為eq \f(5v02,g)
D．小球拋出時距斜面底端的高度為eq \f(5v02,2g)
答案 AD
解析 小球恰好垂直打在斜面上，根據(jù)幾何關(guān)系可得tan 60°＝eq \f(vy,v0)＝eq \f(gt,v0)，解得t＝eq \f(\r(3)v0,g)，故A正確，B錯誤；小球垂直打在斜面上，根據(jù)平拋運動規(guī)律，則有x＝v0t，y＝eq \f(1,2)gt2，小球落在斜面上，根據(jù)幾何關(guān)系得tan 30°＝eq \f(h－y,x)，將t＝eq \f(\r(3)v0,g)代入，聯(lián)立解得h＝eq \f(5v02,2g)，故D正確，C錯誤．
考向2 與圓弧面有關(guān)的平拋運動
例6 如圖所示，B為豎直圓軌道的左端點，它和圓心O的連線與豎直方向的夾角為α.一小球在圓軌道左側(cè)的A點以速度v0平拋，恰好沿B點的切線方向進入圓軌道．已知重力加速度為g，不計空氣阻力，則A、B之間的水平距離為( )
A.eq \f(v02tan α,g) B.eq \f(2v02tan α,g) C.eq \f(v02,gtan α) D.eq \f(2v02,gtan α)
答案 A
解析 由小球恰好沿B點的切線方向進入圓軌道可知，小球在B點時的速度方向與水平方向的夾角為α.由tan α＝eq \f(gt,v0)，x＝v0t，聯(lián)立解得A、B之間的水平距離為x＝eq \f(v02tan α,g)，選項A正確．
例7 如圖所示，科考隊員站在半徑為10 m的半圓形隕石坑(直徑水平)邊，沿水平方向向坑中拋出一石子(視為質(zhì)點)，石子在坑中的落點P與圓心O的連線與水平方向的夾角為37°，已知石子的拋出點在半圓形隕石坑左端的正上方，且到半圓形隕石坑左端的高度為1.2 m．取sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，重力加速度大小g＝10 m/s2，不計空氣阻力．則石子拋出時的速度大小為( )
A．9 m/s B．12 m/s
C．15 m/s D．18 m/s
答案 C
解析 由題意可知，小石子豎直方向的位移為h＝h1＋Rsin 37°，根據(jù)公式可得h＝eq \f(1,2)gt2，代入數(shù)據(jù)解得t＝1.2 s．小石子水平方向的位移為x＝R＋Rcs 37°，又x＝v0t，代入數(shù)據(jù)可得石子拋出時的速度大小為v0＝15 m/s，故選C.
考點三 平拋運動的臨界和極值問題
1．平拋運動的臨界問題有兩種常見情形：(1)物體的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度；(2)物體的速度方向恰好達到某一方向．
2．解題技巧：在題中找出有關(guān)臨界問題的關(guān)鍵字，如“恰好不出界”、“剛好飛過壕溝”、“速度方向恰好與斜面平行”、“速度方向與圓周相切”等，然后利用平拋運動對應(yīng)的位移規(guī)律或速度規(guī)律進行解題．
考向1 平拋運動的臨界問題
例8 如圖所示，窗子上、下沿間的高度H＝1.6 m，豎直墻的厚度d ＝0.4 m，某人在距離墻壁L＝1.4 m、距窗子上沿h ＝0.2 m 處的 P點，將可視為質(zhì)點的小物件以垂直于墻壁的速度v水平拋出，要求小物件能直接穿過窗口并落在水平地面上，不計空氣阻力，g＝10 m/s2.則可以實現(xiàn)上述要求的速度大小是( )
A．2 m/s B．4 m/s
C．8 m/s D．10 m/s
答案 B
解析 小物件做平拋運動，恰好擦著窗子上沿右側(cè)墻邊緣穿過時速度v最大．此時有：L＝vmaxt1, h＝eq \f(1,2)gt12，
代入數(shù)據(jù)解得：vmax＝7 m/s，
小物件恰好擦著窗口下沿左側(cè)墻邊緣穿過時速度v最小，
則有：L＋d＝vmint2，H＋h＝eq \f(1,2)gt22，
代入數(shù)據(jù)解得：vmin＝3 m/s，故v的取值范圍是3 m/s≤v≤7 m/s，故B正確，A、C、D錯誤．
考向2 平拋運動的極值問題
例9 某科技比賽中，參賽者設(shè)計了一個軌道模型，如圖所示．模型放到0.8 m高的水平桌子上，最高點距離水平地面2 m，右端出口水平．現(xiàn)讓小球在最高點由靜止釋放，忽略阻力作用，為使小球飛得最遠，右端出口距離桌面的高度應(yīng)設(shè)計為( )
A．0 B．0.1 m
C．0.2 m D．0.3 m
答案 C
解析 小球從最高點到右端出口，滿足機械能守恒，有mg(H－h(huán))＝eq \f(1,2)mv2，從右端出口飛出后小球做平拋運動，有x＝vt，h＝eq \f(1,2)gt2，聯(lián)立解得x＝2eq \r(?H－h(huán)?h)，根據(jù)數(shù)學(xué)知識知，當H－h(huán)＝h時，x最大，即h＝1 m時，小球飛得最遠，此時右端出口距離桌面高度為Δh＝1 m－0.8 m＝0.2 m，故C正確．
考點四 斜拋運動
1．定義：將物體以初速度v0斜向上方或斜向下方拋出，物體只在重力作用下的運動．
2．性質(zhì)：斜拋運動是加速度為g的勻變速曲線運動，運動軌跡是拋物線．
3．研究方法：運動的合成與分解
(1)水平方向：勻速直線運動；
(2)豎直方向：勻變速直線運動．
4．基本規(guī)律
以斜拋運動的拋出點為坐標原點O，水平向右為x軸的正方向，豎直向上為y軸的正方向，建立如圖所示的平面直角坐標系xOy.
初速度可以分解為v0x＝v0cs θ，v0y＝v0sin θ.
在水平方向，物體的位移和速度分別為
x＝v0xt＝(v0cs θ)t①
vx＝v0x＝v0cs θ②
在豎直方向，物體的位移和速度分別為
y＝v0yt－eq \f(1,2)gt2＝(v0sin θ)t－eq \f(1,2)gt2③
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt④
(1)斜拋運動中的極值
在最高點，vy＝0，由④式得到t＝eq \f(v0sin θ,g)⑤
將⑤式代入③式得物體的射高ym＝eq \f(v02sin2θ,2g)⑥
物體落回與拋出點同一高度時，有y＝0，
由③式得總時間t總＝eq \f(2v0sin θ,g)⑦
將⑦式代入①式得物體的射程xm＝eq \f(v02sin 2θ,g)
當θ＝45°時，sin 2θ最大，射程最大．
所以對于給定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上拋出時，射程最大．
(2)逆向思維法處理斜拋問題
對斜上拋運動從拋出點到最高點的運動，可逆過程分析，看成平拋運動，分析完整的斜上拋運動，還可根據(jù)對稱性求解某些問題．
例10 某同學(xué)在練習(xí)投籃時將籃球從同一位置斜向上拋出，其中有兩次籃球垂直撞在豎直放置的籃板上，運動軌跡如圖所示，不計空氣阻力，關(guān)于這兩次籃球從拋出到撞擊籃板的過程( )
A．兩次在空中運動的時間相等
B．兩次拋出時的速度相等
C．第1次拋出時速度的水平分量小
D．第2次拋出時速度的豎直分量大
答案 C
解析 將籃球的運動反向處理，即為平拋運動．由題圖可知，第2次運動過程中的高度較小，所以運動時間較短，故A錯誤．平拋運動在豎直方向上是自由落體運動，第2次運動過程中的高度較小，故第2次拋出時速度的豎直分量較小，故D錯誤．平拋運動在水平方向是勻速直線運動，水平射程相等，由x＝v0t可知，第2次拋出時水平分速度較大，第1次拋出時水平分速度較小，故C正確．水平分速度第2次大，豎直分速度第1次大，根據(jù)速度的合成可知，兩次拋出時的速度大小關(guān)系不能確定，故B錯誤．
例11 (2020·山東卷·16)單板滑雪U形池比賽是冬奧會比賽項目，其場地可以簡化為如圖甲所示的模型：U形滑道由兩個半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°.某次練習(xí)過程中，運動員以vM＝10 m/s的速度從軌道邊緣上的M點沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α＝72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點進入軌道．圖乙為騰空過程左視圖．該運動員可視為質(zhì)點，不計空氣阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2，sin 72.8°＝0.96，cs 72.8°＝0.30.求：
(1)運動員騰空過程中離開AD的距離的最大值d；
(2)M、N之間的距離L.
答案 (1)4.8 m (2)12 m
解析 (1)在M點，設(shè)運動員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分速度為v1，由運動的合成與分解規(guī)律得
v1＝vMsin 72.8°①
設(shè)運動員在ABCD面內(nèi)垂直AD方向的分加速度為a1，由牛頓第二定律得
mgcs 17.2°＝ma1②
由運動學(xué)公式得d＝eq \f(v12,2a1)③
聯(lián)立①②③式，代入數(shù)據(jù)得
d＝4.8 m④
(2)在M點，設(shè)運動員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分速度為v2，
由運動的合成與分解規(guī)律得v2＝vMcs 72.8°⑤
設(shè)運動員在ABCD面內(nèi)平行AD方向的分加速度為a2，由牛頓第二定律得
mgsin 17.2°＝ma2⑥
設(shè)騰空時間為t，由運動學(xué)公式得
t＝eq \f(2v1,a1)⑦
L＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2⑧
聯(lián)立①②⑤⑥⑦⑧式，代入數(shù)據(jù)得L＝12 m⑨
課時精練
1．如圖，拋球游戲中，某人將小球水平拋向地面的小桶，結(jié)果球落在小桶的前方．不計空氣阻力，為了把小球拋進小桶中，則原地再次水平拋球時，他可以( )
A．增大拋出點高度，同時增大初速度
B．減小拋出點高度，同時減小初速度
C．保持拋出點高度不變，增大初速度
D．保持初速度不變，增大拋出點高度
答案 B
解析 設(shè)小球平拋運動的初速度為v0，拋出點離桶的高度為h，水平位移為x，根據(jù)h＝eq \f(1,2)gt2，可得平拋運動的時間為：t＝eq \r(\f(2h,g))，則水平位移為：x＝v0t＝v0eq \r(\f(2h,g)).增大拋出點高度，同時增大初速度，則水平位移x增大，不會拋進小桶中，故A錯誤．減小拋出點高度，同時減小初速度，則水平位移x減小，可能會拋進小桶中，故B正確．保持拋出點高度不變，增大初速度，則水平位移x增大，不會拋進小桶中，故C錯誤．保持初速度不變，增大拋出點高度，則水平位移x增大，不會拋進小桶中，D錯誤．
2．(2021·浙江1月選考·9)某一滑雪運動員從滑道滑出并在空中翻轉(zhuǎn)時經(jīng)多次曝光得到的照片如圖所示，每次曝光的時間間隔相等．若運動員的重心軌跡與同速度不計阻力的斜拋小球軌跡重合，A、B、C和D表示重心位置，且A和D處于同一水平高度．下列說法正確的是( )
A．相鄰位置運動員重心的速度變化相同
B．運動員在A、D位置時重心的速度相同
C．運動員從A到B和從C到D的時間相同
D．運動員重心位置的最高點位于B和C中間
答案 A
解析 由于運動員的重心軌跡與同速度不計阻力的斜拋小球軌跡重合，故可以利用斜拋運動規(guī)律分析，根據(jù)Δv＝gΔt(其中Δt為曝光的時間間隔)知，相鄰位置運動員重心速度變化相同，所以A項正確；A、D位置速度大小相等，但方向不同，所以B項錯誤；A到B為5個時間間隔，而C到D為6個時間間隔，所以C項錯誤；根據(jù)斜拋運動規(guī)律，當A、D處于同一水平高度時，從A點上升到最高點的時間與從最高點下降到D點的時間相等，所以C點為軌跡的最高點，D項錯誤．
3.(2021·江蘇省1月適應(yīng)性考試·5)某生態(tài)公園的人造瀑布景觀如圖所示，水流從高處水平流出槽道，恰好落入步道邊的游泳池中．現(xiàn)制作一個為實際尺寸eq \f(1,16)的模型展示效果，模型中槽道里的水流速度應(yīng)為實際的( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,8) D.eq \f(1,16)
答案 B
解析 由題意可知，水流出后做平拋運動的水平位移和豎直位移均變?yōu)樵瓉淼膃q \f(1,16)，由h＝eq \f(1,2)gt2，得t＝eq \r(\f(2h,g))，所以時間變?yōu)閷嶋H的eq \f(1,4)，水流出的速度v＝eq \f(x,t)，由于水平位移變?yōu)閷嶋H的eq \f(1,16)，時間變?yōu)閷嶋H的eq \f(1,4)，則水流出的速度為實際的eq \f(1,4)，故選B.
4.如圖，斜面上a、b、c三點等距，小球從a點正上方O點拋出，做初速度為v0的平拋運動，恰落在b點．若小球初速度變?yōu)関，其落點位于c，則( )
A．v0

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