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知識(shí)點(diǎn)一:對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
名師點(diǎn)睛1.逆向應(yīng)用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),可以將幾個(gè)對數(shù)式化為一個(gè)對數(shù)式,有利于化簡.2.對于每一條運(yùn)算性質(zhì),都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.如lg2[(-2)×(-3)]是存在的,但lg2(-2)與lg2(-3)均不存在,不能寫成lg2[(-2)×(-3)]=lg2(-2)+lg2(-3).3.性質(zhì)(1)可以推廣到真數(shù)為無限多個(gè)正因數(shù)相乘的情況,即lga(N1N2…Nk)=lgaN1+lgaN2+…+lgaNk.其中Nk>0,k∈N*.
微思考如何證明對數(shù)運(yùn)算的基本性質(zhì)?
提示 利用指對轉(zhuǎn)化及對數(shù)的定義.例:證明lga(MN)=lgaM+lgaN.證明:設(shè)lgaMN=t,則at=MN.設(shè)lgaM=m,所以am=M.設(shè)lgaN=n,則an=N,所以MN=aman=am+n=at,即m+n=t,即lga(MN)=lgaM+lgaN.
知識(shí)點(diǎn)二:對數(shù)換底公式 (a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1).
名師點(diǎn)睛1.換底公式成立的條件是公式中的每一個(gè)對數(shù)式都有意義.2.換底公式的意義就在于把對數(shù)式的底數(shù)改變,把不同底問題轉(zhuǎn)化為同底問題進(jìn)行化簡、計(jì)算和證明.換底公式在實(shí)際應(yīng)用中究竟換成以什么為底,要由具體已知的條件來確定,一般換成以10為底的常用對數(shù).
微思考如何證明對數(shù)換底公式?
問題1通過指數(shù)與對數(shù)的互化,思考如何通過指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證明對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)?
探究點(diǎn)一 對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用
問題2如何利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡以下各式?【例1】 計(jì)算下列各式的值:
解原式=2lg 5+2lg 2+lg 5×(1+lg 2)+(lg 2)2=2(lg 5+lg 2)+lg 5+lg 2(lg 5+lg 2)=2+lg 5+lg 2=2+1=3.
規(guī)律方法　對于底數(shù)相同的對數(shù)式的化簡、求值常用的方法(1)“收”,將同底的兩個(gè)對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù);(2)“拆”,將積(商)的對數(shù)拆成對數(shù)的和(差).對數(shù)式的化簡、求值一般是正用或逆用公式,要養(yǎng)成正用、逆用、變形應(yīng)用公式的習(xí)慣.lg 2+lg 5=1在計(jì)算對數(shù)值時(shí)會(huì)經(jīng)常用到,同時(shí)注意各部分變形要化到最簡形式.
探究點(diǎn)二 換底公式的應(yīng)用
問題3對數(shù)運(yùn)算中底數(shù)不同時(shí),如何處理?【例2】 計(jì)算下列各式的值:(1)lg89×lg2732;(2)(lg43+lg83)×
規(guī)律方法　1.換底公式的本質(zhì)是化異底為同底,主要用途是將一般對數(shù)化為常用對數(shù)或自然對數(shù),解決一般對數(shù)的求值問題.2.利用換底公式計(jì)算、化簡、求值的一般思路:
探究點(diǎn)三 有附加條件的對數(shù)求值問題
問題4能否利用指對數(shù)之間的互逆關(guān)系,求解等式中的參數(shù)?
解設(shè)ax=by=cz=k(k>0).∵a,b,c是不等于1的正數(shù),∴l(xiāng)g ax=lg k,lg by=lg k,lg cz=lg k.∴x=lgak,y=lgbk,z=lgck.∴l(xiāng)gka+lgkb+lgkc=0,即lgk(abc)=0.∴abc=1.
證明 設(shè)3x=4y=6z=m(m>0),則x=lg3m,y=lg4m,z=lg6m.
規(guī)律方法　條件求值問題的求解方法帶有附加條件的代數(shù)式求值問題,需要對已知條件和所求式子進(jìn)行化簡轉(zhuǎn)化,原則上是化為同底的對數(shù),以便利用對數(shù)的運(yùn)算法則.要整體把握對數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征,靈活運(yùn)用指數(shù)式與對數(shù)式的互化進(jìn)行解題.
2.(例2對點(diǎn)題)lg52×lg425等于(　　)A.-1B.C.1D.2
3.(例1對點(diǎn)題)已知m=lg 2,n=lg 3,用m,n表示lg 15=(　　)A.1+m+nB.1-m+nC.1+m-nD.1-m-n
解析 lg 15=lg(3×5)=lg 3+lg 5=lg 3+(1-lg 2)=n+(1-m)=1-m+n,故選B.

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

4.3 對數(shù)

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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