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學習單元3　函數(shù)的應用(二)
學習函數(shù)的最終目的是應用.通過冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本初等函數(shù)的學習,明確了具體函數(shù)特定性質的應用.為了突出函數(shù)在一般意義上的廣泛應用,本單元進一步學習函數(shù)的應用(二),具體知識結構圖如右:
本單元一是采用從特殊到一般的方式,讓我們從函數(shù)的角度認識方程,了解用二分法求方程近似解的思路、步驟和算法,體會函數(shù)與方程的思想,培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng);二是初步掌握函數(shù)模型的應用,認識數(shù)學的價值,培養(yǎng)數(shù)學建模素養(yǎng).
知識點:三種常見函數(shù)模型的增長速度比較
ax>kx>lgax
名師點睛1.對數(shù)函數(shù)y=lgbx(b>1)在區(qū)間(0,+∞)上,隨著x的增長,增長得越來越慢,圖象就像是漸漸地與x軸平行一樣,盡管在一定范圍內(nèi),lgbx可能會大于xc,但是由于lgbx的增長慢于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時就會有l(wèi)gbx1)和冪函數(shù)y=xc(x>0,c>0),在區(qū)間(0,+∞)上,無論c比a大多少,盡管在x的一定變化范圍內(nèi),ax會小于xc,但由于ax的增長快于xc的增長,因此總存在一個x0,當x>x0時,就會有ax>xc.3.當?shù)讛?shù)a>1時,指數(shù)函數(shù)y=ax的值增長非常快,這種現(xiàn)象稱之為“指數(shù)爆炸”.
微思考為什么存在一個x0,當x>x0時,ax>xn>lgax(a>1,n>0)一定成立?
提示 當a>1,n>0時,由y=ax,y=xn,y=lgax的增長速度,知存在x0,當x>x0時,圖象由上而下依次對應指數(shù)、冪、對數(shù)函數(shù),故一定有ax>xn>lgax.
問題1在同一個坐標軸畫出冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象,對比圖象,思考三類函數(shù)的增長速度快慢問題.遇到實際問題,如何選用適合的函數(shù)來擬合,以減少誤差?
探究點一 幾種函數(shù)模型增長的差異
問題2一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增長速度如何?代數(shù)方式如何發(fā)現(xiàn)其增長特征?【例1】 (1)下列函數(shù)中,當x→+∞時,增長速度最快的是(　　)A.y=2 021xB.y=x2 021C.y=lg2 021xD.y=2 021x
解析 比較指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和一次函數(shù)的圖象,指數(shù)函數(shù)增長最快.
(2)四個自變量y1,y2,y3,y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表:
則關于x呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是　　　　　.?
解析以爆炸式增長的變量呈指數(shù)型函數(shù)變化.從表格中可以看出,四個變量y1,y2,y3,y4均是從2開始變化,且都是越來越大,但是增長速度不同,其中變量y2的增長速度最快,畫出它們的圖象(圖略),可知變量y2關于x呈指數(shù)型函數(shù)變化.
規(guī)律方法　常見的函數(shù)模型及增長特點(1)線性函數(shù)模型:線性函數(shù)模型y=kx+b(k>0)的增長特點是直線上升,其增長速度不變.(2)指數(shù)函數(shù)模型:能用指數(shù)型函數(shù)f(x)=abx+c(a,b,c為常數(shù),a>0,b>1)表達的函數(shù)模型,其增長特點是隨著自變量x的增大,函數(shù)值增長的速度越來越快,常稱之為“指數(shù)爆炸”.(3)對數(shù)函數(shù)模型:能用對數(shù)型函數(shù)f(x)=mlgax+n(m,n,a為常數(shù),m>0,x>0,a>1)表達的函數(shù)模型,其增長的特點是開始階段增長得較快,但隨著x的逐漸增大,其函數(shù)值變化得越來越慢,常稱之為“蝸牛式增長”.(4)冪函數(shù)模型:能用冪型函數(shù)f(x)=axα+b(a,b,α為常數(shù),a≠0,α≠1)表達的函數(shù)模型,其增長情況由a和α的取值確定.
探究點二 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)模型比較
問題3能否根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度的差異,通過圖象判斷函數(shù)類型呢?【例2】 已知函數(shù)f(x)=2x和g(x)=x3的圖象如圖,設兩個函數(shù)的圖象相交于點A(x1,y1)和B(x2,y2),且x1g(x);當x1g(1),f(2)1)可供選擇.(參考數(shù)據(jù):lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)(1)試判斷哪個函數(shù)模型更合適,并求出該函數(shù)模型的解析式;(2)約經(jīng)過幾個月該水域中水葫蘆面積至少是當初投放的100倍?

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4.5 函數(shù)的應用（二）

版本： 人教A版 (2019)

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