第八章模型3用假設(shè)存在思想快解存在性探索題模型（含解析）2024年高考數(shù)學(xué)三輪沖刺考點(diǎn)歸納-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【問題背景】存在性探索問題題目構(gòu)思精巧，解題方法靈活，對(duì)于分析問題、解決問題的能力要求比較高，是高考命題的熱點(diǎn)之一，由于這類問題的結(jié)論有兩種可能，所以具有開放性特點(diǎn)，解題思路往往有兩種：一是由已知直接證明存在性.二是在假設(shè)存在的條件下，根據(jù)條件解出相關(guān)量，代入已知條件進(jìn)行檢驗(yàn)，如果滿足條件，則存在，否則不存在.其中用假設(shè)存在思想的思路是解決存在性探索題的常見解法.
【解決方法】
【典例1】（2024廣西貴百9月聯(lián)考）已知雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支交于A，B兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得為定值？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)及該定值；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
解析（1）由雙曲線方程得漸近線方程為.
設(shè)，則根據(jù)題意知焦點(diǎn)到漸近線的距離，
所以雙曲線的方程為.
（2）【套用模型】
第一步：整體審題，進(jìn)行假設(shè).
假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè).
第二步：結(jié)合已知，進(jìn)行推理、運(yùn)算.
依題意，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，與雙曲線方程聯(lián)立并消元得關(guān)于的方程.
設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系知，
所以.
若要上式為定值，則必須有，解得，所以.
第三步：判斷結(jié)論.
故在軸上存在點(diǎn)滿足，即為定值，為－1.
【典例2】（2024湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)9月月考）如圖1，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為正方形，平面ABCD，，，是線段BF上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)和直線AD的平面與FC，EC分別交于P，Q兩點(diǎn).
（1）若M為BF的中點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中作出線段PQ，并說明P，Q的位置及理由；
（2）線段BF上是否存在點(diǎn)，使得直線AC與平面所成角的正弦值為？若存在，求出MB的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析（1）如圖2，取P為FC的中點(diǎn)，Q為EC靠近點(diǎn)E的三等分點(diǎn)，連接PQ，MP，QD，AM.
理由如下：
由四邊形ABCD為正方形得，，又平面平面FBC，
所以平面FBC.
又平面平面為FB的中點(diǎn)，所以P為FC的中點(diǎn).
因?yàn)?，，CD，平面平面DCE，
所以AB，平面DCE，又，，平面ABF，
所以平面平面DCE，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以?br>又AM平分，所以DQ平分.
又，所以為EC的三等分點(diǎn)，從而作出線段PQ
（2）【套用模型】
第一步：整體審題，進(jìn)行假設(shè)
由題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸的正方向，建立如圖2所示的空間直角坐標(biāo)系，則.
于是，假設(shè)存在點(diǎn)，設(shè)，，
【難點(diǎn)突破】觀察圖形，由于，因而點(diǎn)的橫坐標(biāo)與豎坐標(biāo)和為2，縱坐標(biāo)為0
第二步：結(jié)合已知，進(jìn)行推理、求解運(yùn)算.
則，設(shè)平面DAM的法向量為，
則由得取，則，即.
設(shè)直線AC與平面所成角為，則，
由已知得直線AC與平面所成角的正弦值為，則，
解得，所以.
第三步：判斷結(jié)論.
易知若與點(diǎn)或重合時(shí)，不滿足題意，所以滿足題設(shè)的點(diǎn)存在，此時(shí).
【典例3】（2024四川成都蓉城聯(lián)盟8月入學(xué)聯(lián)考）已知橢圓過點(diǎn)，且上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
解析（1）因?yàn)闄E圓的上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的距離為，所以.
因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以.
由可得，所以橢圓的方程為.
（2）【套用模型】
第一步：整體審題，進(jìn)行假設(shè).
假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使得，即存在點(diǎn)，使得.
第二步：結(jié)合已知，進(jìn)行推理、運(yùn)算.
如圖4，當(dāng)直線與軸不重合時(shí)，設(shè)其方程為，設(shè)，
由得關(guān)于的方程，則，
解得或，所以，則.
所以，所以，
又，所以，解得，所以.
當(dāng)直線與軸重合時(shí)，A，B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，
【易錯(cuò)提醒】此處容易漏掉對(duì)特殊情況的判斷
若，則顯然成立.
第三步：給出結(jié)論.
綜上所述，在軸上存在點(diǎn)滿足題意.
（23-24高三上·浙江湖州·一模）
1．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且的坐標(biāo)為. 曲線上的動(dòng)點(diǎn)滿足當(dāng)直線的斜率都存在時(shí)，.
(1)求曲線的方程；
(2)已知直線過點(diǎn)且與曲線交于兩點(diǎn)，問是否存在定點(diǎn)，使得直線關(guān)于軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.
（23-24高三上·四川南充·期中）
2．已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)使得的最大值為3？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
（23-24高三上·湖北武漢·期末）
3．已知橢圓的離心率為，右頂點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上異于左右頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，的面積最大值為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)設(shè)直線交軸于，其中，直線交橢圓于另一點(diǎn)，直線分別交直線于點(diǎn)和，是否存在實(shí)數(shù)使得四點(diǎn)共圓，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
（23-24高三上·山東濱州·期末）
4．如圖，已知正方體中，點(diǎn)分別在棱和上，.
(1)求平面與平面的夾角的余弦值；
(2)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
（2024高三·全國·專題練習(xí)）
5．在長方體中，，．
(1)在邊上是否存在點(diǎn)，使得，為什么？
(2)當(dāng)存在點(diǎn)，使時(shí)，求的最小值，并求出此時(shí)二面角的正弦值．
（23-24高三上·陜西咸陽·期末）
6．如圖所示，在三棱錐中，已知平面，
(1)證明：
(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由．
（2023·全國·模擬預(yù)測(cè)）
7．已知橢圓（，）的離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足分別為，，記，，的面積分別為，，，試問：是否存在正數(shù)，使得，，總成等比數(shù)列？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（23-24高三上·北京·階段練習(xí)）
8．已知橢圓：的離心率為，長軸長為4，過橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，在軸上是否存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等？若存在，求點(diǎn)坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由.
（23-24高三上·四川達(dá)州·期末）
9．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，短軸的兩個(gè)頂點(diǎn)與構(gòu)成面積為的正方形.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，軸上是否存在定點(diǎn)，使點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（22-23高三上·江蘇常州·期末）
10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線的右支相切于點(diǎn)，與平行的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn).是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案：
1．(1)
(2)存在，
【分析】（1）由題意，化簡并整理即可，注意.
（2）設(shè)，，由題意，即，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立結(jié)合韋達(dá)定理即可求解.
【詳解】（1）由題意設(shè)，且，
又，化簡并整理得，
曲線的方程為.
（2）假設(shè)存在滿足題意，并設(shè)，
聯(lián)立，得，
則.
因?yàn)橹本€關(guān)于軸對(duì)稱，所以，
即，
即對(duì)任意成立，所以，
即假設(shè)成立，存在定點(diǎn)滿足題意.
2．(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解；
（2）求出的表達(dá)式，用令，則，化函數(shù)為二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解．
【詳解】（1）∵函數(shù)是偶函數(shù)，
∴，即，
∴，∴；
（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m．
由題意，可得，
，．
令，則，．
令，．
∵函數(shù)的圖象開口向下，對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)，即時(shí)，，解得（舍去）
當(dāng)，即時(shí)，
，解得（負(fù)舍）；
當(dāng)，即時(shí)，
，解得（舍去）．
綜上，存在實(shí)數(shù)m使得的最大值為3，此時(shí)實(shí)數(shù)m的值為．
3．(1)；
(2)不存在，理由見解析.
【分析】（1）由給定的離心率及面積的最大值，列式計(jì)算即得.
（2）假定存在符合條件的實(shí)數(shù)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)，設(shè)直線BC方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及四點(diǎn)共圓所得關(guān)系推理計(jì)算出即可判斷得解.
【詳解】（1）由橢圓的離心率為，得，解得，
設(shè)，而，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
于是，解得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假設(shè)存在，使得四點(diǎn)共圓，
由（1）知，設(shè)，顯然直線不垂直于y軸，設(shè)直線的方程為：，
由消去x得，
，，
直線的方程為：，則，同理，
由四點(diǎn)共圓，得，即，
于是，則，從而直線的斜率有，
即，整理得，
而
，因此，解得與矛盾，
所以不存在實(shí)數(shù)使得四點(diǎn)共圓.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及動(dòng)直線與圓錐曲線相交滿足某個(gè)條件問題，可設(shè)直線方程為，再與圓錐曲線方程聯(lián)立結(jié)合已知條件探求k，m的關(guān)系，然后推理求解.
4．(1)
(2)存在，
【分析】（1）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出平面法向量可得結(jié)果；
（2）設(shè)，利用線面平行的向量表示即可求得，求出.
【詳解】（1）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸?軸，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體的棱長為3，由已知可得平面的法向量為，
易知，所以，
設(shè)平面的法向量為，
所以，取，則，
所以
設(shè)平面與平面夾角為，
所以.
（2）假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面，
由可得，
設(shè)，
所以，
所以，
若平面，
可知，
所以，即
故在線段上存在點(diǎn)使得平面.
5．(1)答案見解析
(2)的最小值為：，二面角的正弦值為
【分析】（1）假設(shè)存在，根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可分析求出結(jié)果；
（2）結(jié)合第一小問的結(jié)果，做出二面角的平面角，進(jìn)而即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）
如圖，假設(shè)在上存在點(diǎn)，且．
∵，且平面，∴平面，
由平面，可得．
設(shè)，則．
∵，∴，于是．
化簡得．∴．
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在點(diǎn)滿足；
②當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使，此時(shí)，且的最小值是4．
（2）
由（1）知的最小值是4；
當(dāng)時(shí)，，即是的中點(diǎn)，作，垂足為，則．
過作，連結(jié)．∵平面，∴．
又，則是二面角的平面角．
在中
．
∴，即二面角的正弦值為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
6．(1)證明見解析
(2)存在，是上靠近的三等分點(diǎn)
【分析】（1）由平面可得，結(jié)合，根據(jù)線面垂直判定定理證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，求平面，平面的法向量，利用向量夾角公式求法向量夾角，由條件列方程確定點(diǎn)的位置.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，則，
又因?yàn)?，，平面?br>所以平面．
（2）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，
以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，與平行的直線為z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
可得，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，可得，
因?yàn)樵诰€段上（不含端點(diǎn)），可設(shè)，，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，則，，可得，
由題意可得，
且，由題意可得，解得或（舍去），
所以存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，此時(shí)是上靠近的三等分點(diǎn)．
7．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)已知條件，列出關(guān)于，，的方程組，求解即可求得橢圓方程．
（2）假設(shè)存在滿足題意的正數(shù)，設(shè)直線的方程，以及，，結(jié)合題意判斷出，，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，計(jì)算，的表達(dá)式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)，列式求解，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)闄E圓（，）的離心率為，所以．
當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)時(shí)，的面積最大，此時(shí)，
所以，解得，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）假設(shè)存在正數(shù)，使得，，總成等比數(shù)列，
由已知得，直線的斜率存在且不為0，點(diǎn)，在軸的同側(cè)，

設(shè)直線的方程為，，，，
把代入中，可得，
即直線與橢圓的交點(diǎn)為，不妨取點(diǎn)，
則過點(diǎn)和的直線為，代入，
得，，即方程有兩等根，即與橢圓相切，
切點(diǎn)為，故設(shè)，則，聯(lián)立，
消去整理得，
需滿足，則，．
因?yàn)?，，?br>所以
，
，
要使得，，總成等比數(shù)列，
則應(yīng)有，
即，解得（舍負(fù)），
所以存在，使得，，總成等比數(shù)列．
【點(diǎn)睛】難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求法以及直線和橢圓的位置關(guān)系中的面積問題，涉及到等比數(shù)列以及是否存在的探究性問題，綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量大；難點(diǎn)在于假設(shè)存在符合題意的參數(shù)后，要表示出相關(guān)三角形面積，并計(jì)算，的值，計(jì)算過程要結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡，比較復(fù)雜，且都是關(guān)于字母參數(shù)的計(jì)算，要格外細(xì)心.
8．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率以及長軸長求出，即可求得答案；
（2）假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)，使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓方程，可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合假設(shè)得，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系式化簡，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）由題意知橢圓：的離心率為，長軸長為4，
設(shè)橢圓焦距為2c，故，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）由題意可得，假設(shè)在軸上存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等；

由題意可設(shè)直線，設(shè)，，
聯(lián)立，整理得，
由于直線l過橢圓焦點(diǎn)，必有，
則，
由軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等，可知直線，關(guān)于x軸對(duì)稱，
即，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
整理得，即，
解得，即此時(shí)在軸上存在一點(diǎn)，使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)l即為x軸，A，B為橢圓長軸上的兩端點(diǎn)，此時(shí)也滿足題意，
綜合知x軸存在一點(diǎn)（異于點(diǎn)），使軸上任意點(diǎn)到直線，的距離均相等，且.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了橢圓方程的求解，以及直線和橢圓位置關(guān)系中的探究性問題，解答的關(guān)鍵在于第二問探究形問題，解答時(shí)要假設(shè)存在，進(jìn)而明確問題的含義，即為直線，關(guān)于x軸對(duì)稱，即，由此結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，化簡求值，即可解決問題.
9．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)題意列式求，即可得結(jié)果；
（2）分析可知，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理運(yùn)算求解.
【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，
由題意可得，解得，
所以橢圓的方程為
（2）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，可知直線與橢圓必相交，
假設(shè)存在滿足題意的點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，
由，可得，
易知，設(shè)，
則有，
因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等，
所以平分，則，
即
= ，
又因?yàn)椋裕?br>代入，即有，解得，
即定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)或直線的斜率不存在也滿足題意，
故軸上存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)到直線的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
10．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)已知列出關(guān)于方程組，求解即可得出答案；
（2）假設(shè)存在.設(shè)，有.由雙曲線方程求得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線的斜率為，結(jié)合斜率的定義以及已知構(gòu)造方程組，得出及其斜率，進(jìn)而設(shè)出的方程為，，.聯(lián)立直線的方程，求出坐標(biāo)，表示出.聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出，再根據(jù)假設(shè)，化簡運(yùn)算，求解即可得出答案.
【詳解】（1）由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，右焦點(diǎn)，
右焦點(diǎn)到其中一條漸近線，即的距離.
則由已知可得，解得，
所以，雙曲線的方程為.
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.
由題意知點(diǎn)在第一象限，其坐標(biāo)為，
則①.
因?yàn)殡p曲線的右支，所以，
由可得，，
求導(dǎo)可得，，
根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，直線的斜率為.
又直線經(jīng)過點(diǎn)以及點(diǎn)，所以，
所以有②.
由①②可解得，，，點(diǎn)，，
所以，直線的方程為，即，直線的斜率為.
設(shè)直線的方程為，，，
聯(lián)立可得，
即，，
所以，.
聯(lián)立可得，，
恒成立.
由韋達(dá)定理可得，.
因?yàn)槎荚谥本€上，
所以，
所以，，
所以，
，
所以，.
因?yàn)椋?br>所以，假設(shè)成立.
所以，存在實(shí)數(shù)，使得，且.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由雙曲線方程求得，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出直線的斜率為，結(jié)合斜率的定義以及已知構(gòu)造方程組，得出點(diǎn)的坐標(biāo)以及切線的斜率.

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多